贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第二次模拟考试数学理试题Word版含解析

贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期
第二次模拟考试数学理试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
【题文】1、设全集是R ，函数)(x )(x f 2
-1x =的定义域为M ，则M C R 为（ ） A.[]11，- ()1,1.-B C.(][)∞+-∞-，11, D.），（），（∞+∞11-- 【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】D 由1-x 2≥0，得-1≤x ≤1，即M=[-1，1]，又全集为R ， 所以∁R M=（-∞，-1）∪（1，+∞）．故选D ． 【思路点拨】根据函数的定义域求出范围，再求补集。

【题文】2若复数z 满足
i i 34z 4-3+=）（，则z 的虚部为（ ） A.-4 B.54-
C.4
D.5
4
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】
D ∵复数z 满足（3-4i ）z=|4+3i|，∴z=
4334
i i +-= 5(34
)
25
i + =
【思路点拨】由题意可得 z= z=
4334i i +-=
【题文】3、在数列{},21,121==a a a n 中，若2
11
12+++
=n n n a a a ）（*∈N n ,则该数列的通项公式为（ ） A.n a n 1=
B.12+=n a n
C.22+=n a n
D.n
a n 3= 【知识点】等差数列D2
【答案解析】1n a
=+
211n n a a +=+【题文】4、设α表示平面，b a ,表示两条不同的直线，给定下列四个命题：
αα⊥⇒⊥b b a a ,//1）（，αα⊥⇒⊥b a b a ,//2）（,αα//,3b b a a ⇒⊥⊥）（ b a b a //,4⇒⊥⊥αα）（其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(2)( 4) C.(3)(4) D.(2)(3)
【知识点】 空间中的平行关系 ,
空间中的垂直关系G4 G5
【答案解析】B 如图在长方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1
中，令直线A 1B 1=a ，B 1C 1=b ，底面ABCD=α，显然a ∥α，a ⊥b ，但b ∥α，故①假命题； 类似的令AA 1=a ，AD=b ，底面ABCD=α，显然满足a ⊥α，a ⊥b ，但b ⊂α，故③假命题；对于②④，根据两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也
垂直于这样平
面；以及垂直于同一个平面的两条直线互相平行．知②④都是真命题．
【思路点拨】对于①与③，可以利用长方体中的线（棱）与面（表面、或对角面）间的关系进行判断；
对于②与④，根据线面垂直的性质定理判断．
【题文】5、在由y=0,y=1,x=0,x=π四条直线围成的区域内任取一点，这点没有落在x y sin =和x 轴围成区域内的概率是（ ） A.1-
π
2
B.
π
2
C.
21 D.π
3 【知识点】几何概型K3
【答案解析】A 设y=sinx 和x 轴所围成区域面积为S 1．则S 1=
0π
⎰sinxdx=-cosx
π=2．
积为S 2，则所求概率p=
【题文】6、在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若→
AD
=2→
DB ，→→
→
+=CB CA CD λ3
1,则λ的值为（ ）
32.A B.31 C.31- D.3
2-
【知识点】 单元综合F4
【答案解析】A 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点∵2,AD DB =3CB ，
∴
CD CA AD =+＝23CA AB +
=CA +23(CB -CA )=13CA +2
3
CB ∴λ=【思路点拨】本题要求字母系数，办法是把CD 表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，
即用
CA 和CB 表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和
给的条件比较，写出λ．
【题文】7、下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为（ ） A. 20i > B. 20i < C. 20i >= D. 20i <=
【知识点】算法与程序框图L1
【答案解析】A 由程序的功能是求20个数的平均数，
则循环体共需要执行20次，由循环变量的初值为1，步长为1， 故当循环20次时，此时循环变量的值为21应退出循环，又因直到型循环是满足条
件退出循环，i ＞20时退出循环．故选A
【思路点拨】由程序的功能是求20个数的平均数，则循环体共需要执行20
次，由循环变量的初值为1，步长为1，故当循环20次时，此时循环变量的值为21应退出循环，又由直到型循环是满足条件退出循环，故易得结论．
【题文】8、设变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+-≤--0
1-0220
22y x y x y x ，则S=11++x y 的取值范围是（ ）
A.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡231， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡121， C.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡221， D.[]21，
【知识点】简单的线性规划问题E5
【答案解析】D 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
的可行域如下图所示：根据题意，
【思路点拨】先根据已知中，变量x ，y
满足约束条件220
22010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，画出满足约束条件的可行域，
的几何意义，我们结合图象，利用角点法，
【题文】9、已知直线0634:1=+-y x l 和直线,1:2-=x l 抛物线x y 42
=上一动点P 到直线
的距离之和的最小值是和21l l （ ）
A.
553 B.2 C.5
11
D.3 【知识点】抛物线及其几何性质H7
【答案解析】A 直线l 2：x=-1为抛物线y 2=4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物
线的焦点F （l 2，0）的距离，故本题化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F （l 2，0）和直线l 2的距离之和最小，最小值为F （l 2，0）到直线l 2：4x-3y+6=0的距离，即d= 406
25
-+=＝2，故选A ．
【思路点拨】先确定x=-1为抛物线y 2=4x 的准线，再由抛物线的定义得到P 到l 2的距离等于P 到抛物
线的焦点F （l 2，0）的距离，进而转化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F （l 2，0）和直线l 2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．
【题文】10、设函数ax x x f m
+=)(的导函数为12)(+='x x f ，则数列)()(1*
∈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧N n n f 的前n 项和是（ ） A.
1+n n B.12++n n C.1-n n D.n
n 1+ 【知识点】数列求和D4
【答案解析】
【题文】11、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作
)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,222120
20202202120
b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为（ ）
A.2011
B.2012
C.2009
D.2010 【知识点】二项式定理J3
【答案解析】A a=1+21
20C +222
20C +…+22020
20C =（1+2）20=320=（80+1）5，∵a ≡b （mod10），∴b 的个位
必须为1．故选A ．
【思路点拨】利用二项式定理可得a=（1+2）20=（80+1）5，要满足a ≡b （mod10），则b 的个位必须为1．
【题文】12、函数1log )(cos )(2-==x x g x x f 与函数π的图像所有交点的横坐标之和为（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 【知识点】函数与方程 B9
【答案解析】C 由图象变化的法则可知：
y=log 2x 的图象作关于y 轴的对称后和原来的一起构成y=log 2|x|的图象，
由中点坐标公式可得：x A +x D =2，x B +x C =2 故所有交点的横坐标之和为4， 故选C
.【思路点拨】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．
二．填空题（每小题5分，共20分） 【题文】13.三棱锥D-ABC 及三视图中的主视图和左视图分别是如图所示，则棱BD 的长为_________.
【知识点】 空间几何体的三视图和直观图G2
由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE ⊥AC ，且AE=CE=2；
=4，
=【思路点拨】由主视图知CD ⊥平面ABC 、B 点在AC 上的射影为AC 中点及AC 长， 左视图可知CD 长及△ABC 中变AC 的高，利用勾股定理即可求出棱BD 的长． 【题文】14.当a x x x ≥-+>1
1
1时，不等式恒成立，则实数a 的最大值为_________.
【知识点】2
a b
+≤
E6
【答案解析】3 由已知，只需a 小于或等于x +
x +
−1+11x -+1≥213=，当且仅当x −1＝
【题文】15.已知函数).)(1()()(a x x a x f x f -+='的导函数若a x x f =在)(处取得极大值，则a 的取值范围是_________.
【知识点】导数的应用B12 【答案解析】（-1，0）．∵f ′（x ）=a （x+1）（x-a ）且f （x ）在x=a 处取到极大值，
则必有x ＜a 时，f ′（x ）=a （x+1）（x-a ）＞0，且x ＞a 时，f ′（x ）=a （x+1）（x-a ）＜0，当a ≥0时，不成立，当-1＜a ＜0时，有x ＜a 时，f ′（x ）＞0，x ＞a 时，f ′（x ）＜0，符合题意；当a ≤-1时，有x ＜a 时，f ′（x ）＜0，x ＞a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）在x=a 处取到极小值，综合可得：1＜a
范围是________. 【知识点】直线与圆H4
∴-
【思路点拨】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2
解此不等式求出k 的取值范围．
三、解答题（17～21题每小题12分，共60分） 【题文】17.
已知函数.),12
cos(2)(R x x x f ∈-
=π
（1）求)6
(π
-
f 的值：
（2）)3
2(),2,23(,53cos π
θππθθ+∈=
f 求若 【知识点】 两角和与差的正弦、余弦C5 （1）f (−
6π)＝−6π−12π)＝−4
π
)＝×2＝1
（2）因为
cos θ＝
∈(32π，2π)所以sin θ＝−45
所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2×(−4
5
)×35＝−2425
cos2θ＝cos 2θ−sin 2θ＝(35)2−(−45)2＝−7
25
所以f (2θ+3π)＝θ+3π−12π)＝θ+4
π
)＝cos2θ−sin2θ
=−
725
−(−24)＝17
【题文】18.某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯关的机会，已知某人前三关每关通过的概率都是3
2
，后两关每关通过的概率都是
2
1。

（1）求该人获得奖金的概率。

（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

【知识点】离散型随机变量及其分布列K8
∴该人获得奖金的概率为P=P （A 1A 2A 3A 4A 5）+P （A 1A 2A 34A A 4A 5）+P （A 1A 2A 3A 45A A 5）
×23
×427；
23×3×12×12×1
2
×；
（A 1A 2A 3A 4A 5）+P （A 1A 2A
3
4A A 4A 5）+P （A 1A 2A 3A 45A A 5），即可求得结论；
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．
【题文】19.如图，在斜三棱柱的中点，、分别是、中，点111111AA C A E O C B
A ABC -
111C B A AO 面⊥.已知2
π
=
∠BCA ,.21=
==BC AC AA
(1)证明:11//C AB OE 面;
(2)求异面直线C A AB 11与所成的角； (3)求所成角的正弦值与面1111B
AA C A 。

【知识点】空间角 空间中的平行关系G11 G4
（Ⅰ）证明：∵
点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1．
（Ⅱ）如图建系O-xyz ，A (0，0，
)，
A 1(0，−10)，E (0，
−
12
，)，
C 1（0，1，0），B 1（2，10），C (0，2，)．
（Ⅱ）∵
1AB ＝(2，1，，1AC ＝(0，3，-)，∴1AB •1AC ＝0，
即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°． （Ⅲ）设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，∵ 11AC ＝(0，2，0)，
11A B ＝(2，2，0)，
11A A ＝(0，1
，)设平面AA 1
B 1
的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )
则111100A B n A
A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220x y y z +=⎧⎪⎨=⎪
⎩
不妨令x=1，可得n ＝(1，−1，，
∴sin θ
＝cos ＜
11
AC ,n ＞＝
7
=
【思路点拨】
（Ⅰ）证明OE ∥AC 1，然后证明OE ∥平面AB 1C 1 （Ⅱ）通过
1AB •1AC ＝0，证明AB 1
⊥A 1
C ，推出异面直线AB 1
与A 1
C 所成的角为9°．
（Ⅲ）设A 1
C 1
与平面AA 1
B 1
所成角为θ，设平面AA 1
B 1
的一个法向量是n ＝(x ，yz )利用11110
A B n A A n ⎧⋅
=⎪⎨
⋅=⎪⎩推出n ＝(1，−1，
3
)，通过
sin θ＝cos ＜11AC ,n ＞7
=
, 求出A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．
【题文】20.已知椭圆C ：，
的离心率为2
2
)0(12222>>=+b a b y a x 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切.过点（m,0）作圆的切线l 交椭圆C 于A,B 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）将的OAB ∆面积表示为m 的函数，并求出面积的最大值。

【知识点】
直线与圆锥曲线H8
+y 2
＝
（1）由题意，e 2
=( c a )2= 222a b
a -=
+y 2
＝1；
（2）由题意，设直线l 的方程为x=ky+m ，（|m|≥1），由22
1
2x y x ky m ⎧+⎪⎨⎪=+⎩
＝ 消去x 得，
（k 2+2）y 2+2kmy+m 2-2=0．
=
1
m
m
≤
+
【思路点拨】（1）由离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
得到椭圆的方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|的距离，表示出△OAB的面积，利用基本不等式求最值．
【题文】21.已知函数x
a
x
x
f ln
)
(+
=在1
=
x处的切线l与直线0
2=
+y
x垂直，函数bx
x
x
f
x
g-
+
=2
2
1
)
(
)
(。

（1）求实数a的值
（2）若函数)
(x
g存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设)
(
,
2
1
2
1
x
x
x
x<是函数)
(x
g的两个极值点，若
2
7
≥
b,求)
(
)
(
2
1
x
g
x
g-的最小值。

【知识点】导数的应用B12
x2-（b-1）x，∴g′(x)＝
1
x
+x−(b−1)=
x 2-（b-1）x ，∴g ′
(x )＝1x
+x −(b −1)= 2(-1x b x -）x+1
x 12−x 22)−(b −1)(x 1−x 2)=ln 12x x +12(x 12−x 22)−(x 1+x 2)(x 1−x 2)
=ln 12x x −12(2212
12
x x x x -)=ln 12x x −12(12x x -21x
x )，
则
h ′
(t )＝1t −12（1+1
t
）＝−22(1)2t t -＜0，
（2
））由已知得
g ′
(x )＝1
x
+x −(b −1)= （3）由
g ′
(x )＝1
x
+x −(b −1)= 由题意知g ′（x ）＜0在（0，+
∞）上有解，x ＞0，设μ（x ）=x 2-（b-1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g （x 1）-g （x 2）的最大值．
四、选做题（从22～24题中任选一题，在答题卡相应的位置涂上标志，多涂、少涂以22题计分） 【题文】22、（满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，
60B ∠=︒，F 在AC 上，且AE AF =.
(1) 证明：B ,D ,H ,E 四点共圆； (2) 证明：CE 平分DEF ∠.
【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1 【答案解析】（I ）略（II ）略
（I ）在△ABC 中，因为∠B=60°所以∠BAC+∠BCA=120° 因为AD ，CE 是角平分线所以∠AHC=120°
于是∠EHD=∠AHC=120°因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B ，D ，H ，E 四点共圆 （II ）连接BH ，则BH 为∠ABC 得平分线，得∠HBD=30°
由（I ）知B ，D ，H ，E 四点共圆所以∠CED=∠HBD=30°又∠AHE=∠EBD=60° 由已知可得，EF ⊥AD ，可得∠CEF=30°所以CE 平分∠DEF
【思路点拨】（I ），要证明B ，D ，H ，E 四点共圆，根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可
（II ）由（I ）知B ，D ，H ，E 四点共圆可得∠CED=30°，要证CE 平分∠DEF ，只要证明∠CEF=30°即可
【题文】23、（满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数），C 2：8cos ,
3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
(1) 化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2) 若C 1上的点P 对应的参数为t =2
π
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：32,
2x t y t
=+⎧⎨
=-+⎩ （t 为参
数）距离的最小值.
【知识点】 选修4-4 参数与参数方程N3
29
y =
（1）把曲线C 1：
x=-4cos t
3sin y t +⎧⎨
=+⎩
（t 为参数） 化为普通方程得：（x+4）2+（y-3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，3），半径1的圆；把C 2：
8cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩2
19
y +=，
把直线C 3：
322x t
y t
=+⎧⎨
=-+⎩（t 为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q 的坐标为Q （8cos θ，3sin θ），故M （-2+4cos θ，2+
所以M 到直线的距离d=
（其中sin α=
【思路点拨】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一
个圆；曲线C 2表示一个椭圆；
（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
【题文】24、（满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，A ,B ,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. (1) 将y 表示成x 的函数；
(2) 要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ 【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】（1）y=[]
160100,10802(10,20]10160(20,30]x x x x x x ⎧-∈⎪
-∈⎨⎪-∈⎩
（2）x ∈[9，23]
（1）由题设，CO=x ，CA=|10-x|，CB=|20-x|，
故y=4×|10-x|+6×|20-x|，x ∈[0，30]即
y=[]
160100,10802(10,20]10160(20,30]x x x x x x ⎧-∈⎪
-∈⎨⎪-∈⎩
（2）令y ≤70，
当x ∈[0，10]时，由160-10x ≤70得x ≥9，故x ∈[9，10] 当x ∈（10，20]时，由80-2x ≤70得x ≥5，故x ∈（10，20] 当x ∈（20，30]时，由10x-160≤70得x ≤23，故x ∈（20，23] 综上知，x ∈[9，23]
【思路点拨】（1）由题设描述CO=x ，CA=|10-x|，CB=|20-x|，由y 表示C 到A 距离4倍与C 道B 距离
的6倍的和，直接建立函数关系即可，由于解析式含有绝对值号，故可以将解析式转换
成分段函数． （2）对（1）中的函数进行研究利用其单调性与值域探讨x 的取值范围即可．。