贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第二次模拟考试数学理试题Word版含解析

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贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期
第二次模拟考试数学理试题
一、选择题(每小题5分,共60分)
【题文】1、设全集是R ,函数)(x )(x f 2
-1x =的定义域为M ,则M C R 为( ) A.[]11,- ()1,1.-B C.(][)∞+-∞-,11, D.),(),(∞+∞11-- 【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】D 由1-x 2≥0,得-1≤x ≤1,即M=[-1,1],又全集为R , 所以∁R M=(-∞,-1)∪(1,+∞).故选D . 【思路点拨】根据函数的定义域求出范围,再求补集。

【题文】2若复数z 满足
i i 34z 4-3+=)(,则z 的虚部为( ) A.-4 B.54-
C.4
D.5
4
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】
D ∵复数z 满足(3-4i )z=|4+3i|,∴z=
4334
i i +-= 5(34
)
25
i + =
【思路点拨】由题意可得 z= z=
4334i i +-=
【题文】3、在数列{},21,121==a a a n 中,若2
11
12+++
=n n n a a a )(*∈N n ,则该数列的通项公式为( ) A.n a n 1=
B.12+=n a n
C.22+=n a n
D.n
a n 3= 【知识点】等差数列D2
【答案解析】1n a
=+
211n n a a +=+【题文】4、设α表示平面,b a ,表示两条不同的直线,给定下列四个命题:
αα⊥⇒⊥b b a a ,//1)(,αα⊥⇒⊥b a b a ,//2)(,αα//,3b b a a ⇒⊥⊥)( b a b a //,4⇒⊥⊥αα)(其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(2)( 4) C.(3)(4) D.(2)(3)
【知识点】 空间中的平行关系 ,
空间中的垂直关系G4 G5
【答案解析】B 如图在长方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1
中,令直线A 1B 1=a ,B 1C 1=b ,底面ABCD=α,显然a ∥α,a ⊥b ,但b ∥α,故①假命题; 类似的令AA 1=a ,AD=b ,底面ABCD=α,显然满足a ⊥α,a ⊥b ,但b ⊂α,故③假命题;对于②④,根据两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也
垂直于这样平
面;以及垂直于同一个平面的两条直线互相平行.知②④都是真命题.
【思路点拨】对于①与③,可以利用长方体中的线(棱)与面(表面、或对角面)间的关系进行判断;
对于②与④,根据线面垂直的性质定理判断.
【题文】5、在由y=0,y=1,x=0,x=π四条直线围成的区域内任取一点,这点没有落在x y sin =和x 轴围成区域内的概率是( ) A.1-
π
2
B.
π
2
C.
21 D.π
3 【知识点】几何概型K3
【答案解析】A 设y=sinx 和x 轴所围成区域面积为S 1.则S 1=

⎰sinxdx=-cosx
π=2.
积为S 2,则所求概率p=
【题文】6、在ABC ∆中,已知D 是AB 边上一点,若→
AD
=2→
DB ,→→

+=CB CA CD λ3
1,则λ的值为( )
32.A B.31 C.31- D.3
2-
【知识点】 单元综合F4
【答案解析】A 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点∵2,AD DB =3CB ,

CD CA AD =+=23CA AB +
=CA +23(CB -CA )=13CA +2
3
CB ∴λ=【思路点拨】本题要求字母系数,办法是把CD 表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的一致,
即用
CA 和CB 表示,画图观察,从要求向量的起点出发,沿着三角形的边走到终点,把求出的结果和
给的条件比较,写出λ.
【题文】7、下边方框中为一个求20个数的平均数的程序,则在横线上应填的语句为( ) A. 20i > B. 20i < C. 20i >= D. 20i <=
【知识点】算法与程序框图L1
【答案解析】A 由程序的功能是求20个数的平均数,
则循环体共需要执行20次,由循环变量的初值为1,步长为1, 故当循环20次时,此时循环变量的值为21应退出循环,又因直到型循环是满足条
件退出循环,i >20时退出循环.故选A
【思路点拨】由程序的功能是求20个数的平均数,则循环体共需要执行20
次,由循环变量的初值为1,步长为1,故当循环20次时,此时循环变量的值为21应退出循环,又由直到型循环是满足条件退出循环,故易得结论.
【题文】8、设变量x,y 满足约束条件⎪⎩

⎨⎧≥+≥+-≤--0
1-0220
22y x y x y x ,则S=11++x y 的取值范围是( )
A.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡231, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡121, C.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡221, D.[]21,
【知识点】简单的线性规划问题E5
【答案解析】D 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
的可行域如下图所示:根据题意,
【思路点拨】先根据已知中,变量x ,y
满足约束条件220
22010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
,画出满足约束条件的可行域,
的几何意义,我们结合图象,利用角点法,
【题文】9、已知直线0634:1=+-y x l 和直线,1:2-=x l 抛物线x y 42
=上一动点P 到直线
的距离之和的最小值是和21l l ( )
A.
553 B.2 C.5
11
D.3 【知识点】抛物线及其几何性质H7
【答案解析】A 直线l 2:x=-1为抛物线y 2=4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到l 2的距离等于P 到抛物
线的焦点F (l 2,0)的距离,故本题化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (l 2,0)和直线l 2的距离之和最小,最小值为F (l 2,0)到直线l 2:4x-3y+6=0的距离,即d= 406
25
-+==2,故选A .
【思路点拨】先确定x=-1为抛物线y 2=4x 的准线,再由抛物线的定义得到P 到l 2的距离等于P 到抛物
线的焦点F (l 2,0)的距离,进而转化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (l 2,0)和直线l 2的距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值.
【题文】10、设函数ax x x f m
+=)(的导函数为12)(+='x x f ,则数列)()(1*
∈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧N n n f 的前n 项和是( ) A.
1+n n B.12++n n C.1-n n D.n
n 1+ 【知识点】数列求和D4
【答案解析】
【题文】11、设)为整数(0,,>m m b a ,若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记作
)(mod m b a ≡,已知),10(mod ,222120
20202202120
b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为( )
A.2011
B.2012
C.2009
D.2010 【知识点】二项式定理J3
【答案解析】A a=1+21
20C +222
20C +…+22020
20C =(1+2)20=320=(80+1)5,∵a ≡b (mod10),∴b 的个位
必须为1.故选A .
【思路点拨】利用二项式定理可得a=(1+2)20=(80+1)5,要满足a ≡b (mod10),则b 的个位必须为1.
【题文】12、函数1log )(cos )(2-==x x g x x f 与函数π的图像所有交点的横坐标之和为( ) A.0 B.2 C.4 D.6 【知识点】函数与方程 B9
【答案解析】C 由图象变化的法则可知:
y=log 2x 的图象作关于y 轴的对称后和原来的一起构成y=log 2|x|的图象,
由中点坐标公式可得:x A +x D =2,x B +x C =2 故所有交点的横坐标之和为4, 故选C
.【思路点拨】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象,由对称性可得答案.
二.填空题(每小题5分,共20分) 【题文】13.三棱锥D-ABC 及三视图中的主视图和左视图分别是如图所示,则棱BD 的长为_________.
【知识点】 空间几何体的三视图和直观图G2
由主视图知CD ⊥平面ABC ,设AC 中点为E ,则BE ⊥AC ,且AE=CE=2;
=4,
=【思路点拨】由主视图知CD ⊥平面ABC 、B 点在AC 上的射影为AC 中点及AC 长, 左视图可知CD 长及△ABC 中变AC 的高,利用勾股定理即可求出棱BD 的长. 【题文】14.当a x x x ≥-+>1
1
1时,不等式恒成立,则实数a 的最大值为_________.
【知识点】2
a b
+≤
E6
【答案解析】3 由已知,只需a 小于或等于x +
x +
−1+11x -+1≥213=,当且仅当x −1=
【题文】15.已知函数).)(1()()(a x x a x f x f -+='的导函数若a x x f =在)(处取得极大值,则a 的取值范围是_________.
【知识点】导数的应用B12 【答案解析】(-1,0).∵f ′(x )=a (x+1)(x-a )且f (x )在x=a 处取到极大值,
则必有x <a 时,f ′(x )=a (x+1)(x-a )>0,且x >a 时,f ′(x )=a (x+1)(x-a )<0,当a ≥0时,不成立,当-1<a <0时,有x <a 时,f ′(x )>0,x >a 时,f ′(x )<0,符合题意;当a ≤-1时,有x <a 时,f ′(x )<0,x >a 时,f ′(x )>0,f (x )在x=a 处取到极小值,综合可得:1<a
范围是________. 【知识点】直线与圆H4
∴-
【思路点拨】由弦长公式得,当圆心到直线的距离等于1时,弦长等于2
解此不等式求出k 的取值范围.
三、解答题(17~21题每小题12分,共60分) 【题文】17.
已知函数.),12
cos(2)(R x x x f ∈-

(1)求)6

-
f 的值:
(2))3
2(),2,23(,53cos π
θππθθ+∈=
f 求若 【知识点】 两角和与差的正弦、余弦C5 (1)f (−
6π)=−6π−12π)=−4
π
)=×2=1
(2)因为
cos θ=
∈(32π,2π)所以sin θ=−45
所以sin2θ=2sin θcos θ=2×(−4
5
)×35=−2425
cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=(35)2−(−45)2=−7
25
所以f (2θ+3π)=θ+3π−12π)=θ+4
π
)=cos2θ−sin2θ
=−
725
−(−24)=17
【题文】18.某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关若有失败即结束,后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯关的机会,已知某人前三关每关通过的概率都是3
2
,后两关每关通过的概率都是
2
1。

(1)求该人获得奖金的概率。

(2)设该人通过的关数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望。

【知识点】离散型随机变量及其分布列K8
∴该人获得奖金的概率为P=P (A 1A 2A 3A 4A 5)+P (A 1A 2A 34A A 4A 5)+P (A 1A 2A 3A 45A A 5)
×23
×427;
23×3×12×12×1
2
×;
(A 1A 2A 3A 4A 5)+P (A 1A 2A
3
4A A 4A 5)+P (A 1A 2A 3A 45A A 5),即可求得结论;
(2)确定变量的取值,求出相应的概率,即可求随机变量ξ的分布列及数学期望.
【题文】19.如图,在斜三棱柱的中点,、分别是、中,点111111AA C A E O C B
A ABC -
111C B A AO 面⊥.已知2
π
=
∠BCA ,.21=
==BC AC AA
(1)证明:11//C AB OE 面;
(2)求异面直线C A AB 11与所成的角; (3)求所成角的正弦值与面1111B
AA C A 。

【知识点】空间角 空间中的平行关系G11 G4
(Ⅰ)证明:∵
点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点, ∴OE ∥AC 1,又∵EO ⊄平面AB 1C 1,AC 1⊂平面AB 1C 1, ∴OE ∥平面AB 1C 1.
(Ⅱ)如图建系O-xyz ,A (0,0,
),
A 1(0,−10),E (0,

12
,),
C 1(0,1,0),B 1(2,10),C (0,2,).
(Ⅱ)∵
1AB =(2,1,,1AC =(0,3,-),∴1AB •1AC =0,
即∴AB 1⊥A 1C ,∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. (Ⅲ)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ,∵ 11AC =(0,2,0),
11A B =(2,2,0),
11A A =(0,1
,)设平面AA 1
B 1
的一个法向量是n =(x ,y ,z )
则111100A B n A
A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220x y y z +=⎧⎪⎨=⎪

不妨令x=1,可得n =(1,−1,,
∴sin θ
=cos <
11
AC ,n >=
7
=
【思路点拨】
(Ⅰ)证明OE ∥AC 1,然后证明OE ∥平面AB 1C 1 (Ⅱ)通过
1AB •1AC =0,证明AB 1
⊥A 1
C ,推出异面直线AB 1
与A 1
C 所成的角为9°.
(Ⅲ)设A 1
C 1
与平面AA 1
B 1
所成角为θ,设平面AA 1
B 1
的一个法向量是n =(x ,yz )利用11110
A B n A A n ⎧⋅
=⎪⎨
⋅=⎪⎩推出n =(1,−1,
3
),通过
sin θ=cos <11AC ,n >7
=
, 求出A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值.
【题文】20.已知椭圆C :,
的离心率为2
2
)0(12222>>=+b a b y a x 以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切.过点(m,0)作圆的切线l 交椭圆C 于A,B 两点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)将的OAB ∆面积表示为m 的函数,并求出面积的最大值。

【知识点】
直线与圆锥曲线H8
+y 2

(1)由题意,e 2
=( c a )2= 222a b
a -=
+y 2
=1;
(2)由题意,设直线l 的方程为x=ky+m ,(|m|≥1),由22
1
2x y x ky m ⎧+⎪⎨⎪=+⎩
= 消去x 得,
(k 2+2)y 2+2kmy+m 2-2=0.
=
1
m
m

+
【思路点拨】(1)由离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
得到椭圆的方程;
(2)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出|AB|的距离,表示出△OAB的面积,利用基本不等式求最值.
【题文】21.已知函数x
a
x
x
f ln
)
(+
=在1
=
x处的切线l与直线0
2=
+y
x垂直,函数bx
x
x
f
x
g-
+
=2
2
1
)
(
)
(。

(1)求实数a的值
(2)若函数)
(x
g存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(3)设)
(
,
2
1
2
1
x
x
x
x<是函数)
(x
g的两个极值点,若
2
7

b,求)
(
)
(
2
1
x
g
x
g-的最小值。

【知识点】导数的应用B12
x2-(b-1)x,∴g′(x)=
1
x
+x−(b−1)=
x 2-(b-1)x ,∴g ′
(x )=1x
+x −(b −1)= 2(-1x b x -)x+1
x 12−x 22)−(b −1)(x 1−x 2)=ln 12x x +12(x 12−x 22)−(x 1+x 2)(x 1−x 2)
=ln 12x x −12(2212
12
x x x x -)=ln 12x x −12(12x x -21x
x ),

h ′
(t )=1t −12(1+1
t
)=−22(1)2t t -<0,
(2
))由已知得
g ′
(x )=1
x
+x −(b −1)= (3)由
g ′
(x )=1
x
+x −(b −1)= 由题意知g ′(x )<0在(0,+
∞)上有解,x >0,设μ(x )=x 2-(b-1)x+1,由此利用构造成法和导数性质能求出g (x 1)-g (x 2)的最大值.
四、选做题(从22~24题中任选一题,在答题卡相应的位置涂上标志,多涂、少涂以22题计分) 【题文】22、(满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ,
60B ∠=︒,F 在AC 上,且AE AF =.
(1) 证明:B ,D ,H ,E 四点共圆; (2) 证明:CE 平分DEF ∠.
【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1 【答案解析】(I )略(II )略
(I )在△ABC 中,因为∠B=60°所以∠BAC+∠BCA=120° 因为AD ,CE 是角平分线所以∠AHC=120°
于是∠EHD=∠AHC=120°因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B ,D ,H ,E 四点共圆 (II )连接BH ,则BH 为∠ABC 得平分线,得∠HBD=30°
由(I )知B ,D ,H ,E 四点共圆所以∠CED=∠HBD=30°又∠AHE=∠EBD=60° 由已知可得,EF ⊥AD ,可得∠CEF=30°所以CE 平分∠DEF
【思路点拨】(I ),要证明B ,D ,H ,E 四点共圆,根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可
(II )由(I )知B ,D ,H ,E 四点共圆可得∠CED=30°,要证CE 平分∠DEF ,只要证明∠CEF=30°即可
【题文】23、(满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数),C 2:8cos ,
3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数).
(1) 化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2) 若C 1上的点P 对应的参数为t =2
π
,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:32,
2x t y t
=+⎧⎨
=-+⎩ (t 为参
数)距离的最小值.
【知识点】 选修4-4 参数与参数方程N3
29
y =
(1)把曲线C 1:
x=-4cos t
3sin y t +⎧⎨
=+⎩
(t 为参数) 化为普通方程得:(x+4)2+(y-3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(-4,3),半径1的圆;把C 2:
8cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩2
19
y +=,
把直线C 3:
322x t
y t
=+⎧⎨
=-+⎩(t 为参数)化为普通方程得:x-2y-7=0,
设Q 的坐标为Q (8cos θ,3sin θ),故M (-2+4cos θ,2+
所以M 到直线的距离d=
(其中sin α=
【思路点拨】(1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线C 1表示一
个圆;曲线C 2表示一个椭圆;
(2)把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标,然后把直线的参数方程化为普通方程,根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标,利用中点坐标公式表示出M 的坐标,利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.
【题文】24、(满分10分)选修4-5:不等式选讲
如图,O 为数轴的原点,A ,B ,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点,设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. (1) 将y 表示成x 的函数;
(2) 要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值? 【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】(1)y=[]
160100,10802(10,20]10160(20,30]x x x x x x ⎧-∈⎪
-∈⎨⎪-∈⎩
(2)x ∈[9,23]
(1)由题设,CO=x ,CA=|10-x|,CB=|20-x|,
故y=4×|10-x|+6×|20-x|,x ∈[0,30]即
y=[]
160100,10802(10,20]10160(20,30]x x x x x x ⎧-∈⎪
-∈⎨⎪-∈⎩
(2)令y ≤70,
当x ∈[0,10]时,由160-10x ≤70得x ≥9,故x ∈[9,10] 当x ∈(10,20]时,由80-2x ≤70得x ≥5,故x ∈(10,20] 当x ∈(20,30]时,由10x-160≤70得x ≤23,故x ∈(20,23] 综上知,x ∈[9,23]
【思路点拨】(1)由题设描述CO=x ,CA=|10-x|,CB=|20-x|,由y 表示C 到A 距离4倍与C 道B 距离
的6倍的和,直接建立函数关系即可,由于解析式含有绝对值号,故可以将解析式转换
成分段函数. (2)对(1)中的函数进行研究利用其单调性与值域探讨x 的取值范围即可.。

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