模糊数学论文

模糊数学论文
姓名：张益群
学号：2015111165
学院：经济管理学院
专业：应用经济学
摘要: 自从有了模糊数学，人们总习惯于追求精确性和清晰性。

随着科学技术的发展，人们对客观世界存在的大量模糊现象产生了越来越浓厚的兴趣，希望也能用数学的方法清楚地表述和处理模糊现象。

以下简要介绍模糊数学是怎样产生的，模糊数学的发展以及模糊数学的应用，并以模糊数学在土地资源评价中的应用为例介绍模糊数学的实际应用。

关键字: 模糊数学；起源；实际应用
1 模糊数学的起源和发展
1.1 传统数学的局限性
我们都知道，利用传统数学的精确性，人们可以设计远程炮弹，甚至洲际导弹，将误差压缩在很小的范围内; 电子计算机能在几个小时内将圆周率计算到小数点后十万位; 电子计算机能在几小时内将圆周率计算到小数点后十万位，能在几分钟内解出含有1000 个未知数的方程组，其速度之快令人惊叹,, 一句话，传统数学的精确性有目共睹，它的广泛应用举不胜举。

但是，客观世界还存在着另一个普遍现象——模糊现象。

例如从倾盆大雨到绵绵细雨，这一自然现象的变化是逐渐的，什么叫大雨? 什么叫中雨? 什么叫小雨?没有明确的界限。

又比如老师们常常用“优”、“良”、“差”诸等级来评定学生的学习成绩，但什么是优? 什么是良? 什么是差呢? 彼此的界限又在哪里呢? 如果90 分以上（含90 分）为优，那么89 分就是良。

90 分与89 分仅有一分之差，而概念“优”与“良” 却差别很大，这样的评分显然不科学。

模糊现象反映到人们的思维中，便形成了没有明确的内涵和外延的模糊概念，如“一堆”、“老年人”、“中等”“附近”、“高”与“矮”、“很大”与“很小”、“浓” 与“淡”，“好看”与“难看”等等。

这些都是模糊的概念。

科学的发展，伴随着数学的全面渗透等等，一些过去与数学关系不大的学科，如教育学，语言学，管理学等人文学科，都迫切需要定量化和数学化。

但是，当人们应用传统数学的思想方法去处理客观现实中的模糊现象时却遇到了实质性的困难，比如讲，一个拥有2000 人的师范学校的门卫员，能够根据一些模糊印象判断进出门的人是否是本校的教职工或学生，可是，如果让计算机来识别进出门的是谁，那它就得按照精确的数学方法，测量来人的身高，体重，胖瘦，手臂摆动的角度，走路的速度及声音频率等一大堆数据，而且还要精确到小数点后几十位才行。

如果有人一时长胖了一些，与计算机原来存储信息不一致，那它就“六亲不认了” 。

可见，传统数学思想方法对模糊事物是无能为力的。

诸如上述问题，使人们意识到，有必要寻找一种描述，处理模糊事物的方法。

1.2 模糊数学的产生
认识到研究模糊性的重要性和积极意义，是科学史上的一件大事。

这个功绩属于美国著名的科学家查德教授。

长期以来，查德围绕决策控制与其有关的一系列重要问题的研究，逐步意识到传统数学方法的局限性。

他指出:“如果深入研
究人类的认识过程，我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包
袱，这一点是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。

” 1965年，他发表了一篇《模糊集合》的论文，这标志着模糊数学的诞生。

查德第一次把模糊性和数学统一在一起，他的观
点不是让数学放弃严格性去迁就模糊性，而是要把数学
方法打入具有模糊现象的“禁区”，也就是说要把数学吸收人脑处理模糊现象的优点，以精确对模糊，用精确的数量关系来表达模糊概念及其关系。

因此，模糊数学决不是模模糊糊的学科，而是以数学的手段分析与处理模糊事物的学科。

1・3模糊数学的发展
模糊数学目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。

理论研究主
要是经典数学概念的模糊化。

由于模糊集自身的层次结构，使得这种理论研究更加复杂，当然也因而更具吸引力。

目前已形成了模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊测度及模糊计算机等
模糊数学分支。

应用研究主要是对模糊性之内在规律的探讨，对模糊逻辑及模糊信息处理技术的研究。

模糊数学的应用范围已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。

特别是在模糊控制、模式识别、聚类分析、系统评价、数据库、系统决策、人工智能及信息处理等方面取得了显著的成就。

从1965年算起，模糊集与系统理论(或简单地说成模糊理论)已走过了32 年的风雨路程，如今已发展成一门独立的学科。

参与这个学科研究的国度遍布全球，研究人员与日俱增，
模糊新产品不断问世，模糊技术不断被应用到高精尖领域。

因此，可以毫不夸张地说，全球性的“模糊热”已经形成。

目前，模糊理论方面的专业学术杂有：Fuzzy Setsand Systems 模糊集与系统,国际模糊系统协会会刊，德国承办)，模糊系统与数学中国模糊系统协会会刊，国防科技大学承办)，J.FuzzyMath(模糊数学杂志，美国)，BUSEFAL(模糊集及其应用研究快报，法国)，IEEE Tran sactio ns on Fuzzy System(IEEE模糊系统，美国电气和电子工程师学会主办)。

2模糊数学的主要内容
2.1模糊数学的基本概念
1. 模糊集(Fuzzy set )
定义1设X是论域，称映射A: X^[0,1]为X上的模糊集合(Fuzzy set ) 简称F集，记为A。

称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。

称A( •)为F集A的隶属函数。

(1)模糊集合的表示：U二卩1，比,••…,u n｝，A(u)称为元素u属于模糊集A的
A(u d +A(u2)+....+A(u n)，或
隶属度；则模糊集可以表示为：A =
U1 U2 U n
A 二｛A(uJ,A(u2),.•…,A(u n)｝，A =｛(u1,A(ud),(u2,A(u2)),.•…,(u n,A(u n))｝。

(2)模糊集合的运算：
A 二｛A(uJ,A(u2),.....,A(u n)｝，
B 二｛B(uJ,B(u2),.....BJ)｝，
并集：A_. B={A(uJ B(uJ,A(U2)Bg),.•…AU) B(U n)},
交集：A B={A(uJ B(U I),A(U2) B(U2),.....A(U n) B(5)},
补集：A c={1 _A(uJ,1 —Ag),.....1-A(U n)},
包含：若-u U,有A(u) ^B(u),则有A B。

2. 幕集
定义2称论域X上的F集的全体集合F(X)・A|A:X > [0,1p 为X上的F-幕集。

3. 模糊集的，截集
定义3已知U上模糊子集A : U > [0,1], u》A(u)(-u・U)对■ [0,1]，则称
A^ = {u|u€U,A(u)钠为模糊集A的九-截集；称Ak={u|uEU,A(u)M}为模
*
糊集A的■-强截集；，称为A ,、A ,的置信水平或阈值。

■
4. 三角范数、反三角范数
定义4称二元函数T：[0,1]*[0,1] [0,1]为三角模或三角范数，简称T-
范数，满足以下条件：若a, b, c, d€ [0,1]，有：
交换律：T(a，b)=T(b，a)
结合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))
单调性：a< c，b< d 时，T(a，b) < T(c，d) 边界条件：T(a，1)=a，T(0，a)=0 定义5称二元函数S：[0,1]*[0,1] [0,1]为反三角范数，简称S-范数，
满足以下条件：若a，b，c，d€ [0,1]，有：
交换律：S(a，b)=S(b，a)
结合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))
单调性：a< c，b< d 时，S(a，b) < S(c，d)
边界条件：S(a，1)=1，S(0，a)=a
2.2模糊数学的基本定理
1. 模糊截积
定义6已知U上模糊子集A : U > [0,1], u》A(u)(-u・U)，对■ [0,1]，A也
是U上模糊集，其隶属函数为：「A)(u)「A(u),(-u • U)；称为A为，与A的
模糊截积。

2. 分解定理1已知模糊子集A F(U)，则A二一A .o
推论1:对w u 乏U, A(u) = 丸乏[0,1], A }。

3. 分解定理2已知模糊子集A -F(U)，则A = A
沖0,1] 农
推论2:对w uEU,A(u)=v{h& “0,1], U E A /。

*
3模糊数学的实际应用
3.1模糊技术
所谓模糊技术就是利用模糊数学的基本理论在具体实现模糊控制、模糊识别、模糊诊断、模糊预测及模糊推理等的过程中，积累起来的经验、知识和技巧。

模糊技术已渗透到自然科学、社会科学及工程技术的几乎全部领域，像电力、电子、核物理、石油、化工、机械、冶金、能源、材料、交通、医疗、卫生、林业、农业、地质、地理、地震、建筑、水文、气象、环保、管理、法律、教育、心理、体育、军事和历史等领域，都有其成功应用的范例。

近几年来，模糊技术已被列入我国的多种攻关计划.1988年，国家自然科学基金委员会组织全国35所高校及研究机构开展了“模糊信息处理与机器智能”重大联合攻关项目的研究，并拨专款135万元予以支持；1994年，国家经济贸易委员会拨资上亿元开发模糊技术产品；国家技术监督局专门成立了模糊技术标准化工作组，制定各种模糊产品
的国家标准；1991年9月，中国微机学会单片机公共实验室曾组织召开全国家电模糊控制会议，在会上，由全国21个家用电器厂联合倡议成立了“中国家用电器模糊控制促进会”；据《中国青年报》1997年12月16日报道,春兰集团正组织数名博士后联合攻关，投巨资开发21世纪的高新技术一一模糊控制电动车。

中国模糊系统协会理事长、中国科学院院士刘应明教授已在全国性的学术会议上表示，中国要下大气力开发模糊技术，并首先在模糊家电上取得突破。

因此，不久将会看到国产的模糊控制家用电器陆续上市。

在国外，各种模糊技术成果和模糊产品已逐渐由实验室走向社会，并取得了明显的社会效益和巨大的经济效益。

3.2模糊数学在数据挖掘中的应用
(一)模糊聚类分析的在数据挖掘的应用实例
例：设某地区设置有11个雨量站，其分布图见图5-1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表5-1中。

现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？
年序号X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11
1276324159413292258311303175243320 2251287349344310454285451402307470 3192433：563479502221220 [320411232 4246232243281267310273315285327352 5291311502388330410352267603290292
6r 466158；178M64203502320
1240[278350
7258327432401361381301413402199421 8453365357452384420482228360316252
9r 158271；308 1 283410201179
1430[342185
10324406235520442520358343251282371应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。

我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。

一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”
（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。

问题求解假设为使问题简化，特作如下假设
（1）每个观测站具有同等规模及仪器设备；
（2）每个观测站的经费开支均等；
具有相同的被裁可能性。

分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分
析，原始数据如上。

求解步骤
表3-1年降雨量列入
其中X =丄厂X ik
10 k =1
，i = 1, 2，, ,11， X j 1 n
=X jk ， j = 1，2，,
,11
o
1. 利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵
-X i ) ||(X jk -X j ) |
n 1
' (X jk -X j )2]
2 k 4
n
'j(X ik
k =1
r =
5
n [■- (X ik
-X i ) k #
用C#语言编程计算出模糊相似关系矩阵(―儿11 ,
1.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.6710.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584
0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.511
0.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.7261.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.6761.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688
.0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.6881.000
对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求
R 2
*4
：R 4
即t ( R )
4
*
=R =R 0注：R 是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵。

1.000
0.861 1
0.697 0.697
1
0.861 0.996 0.697 1
0.861 0.996 0.697 0.992 1
0.861 0.995 0.697 0.922 0.922
1
0.994 0.861 0.697 0.861 0.861 0.861
1
0.719 0.719 0.697 0.719 0.719 0.719 0.719 1 0.697 0.697 0.962 0.697 0.697 0.697 0.697 0.676
0.688 0.688 0.688 0.688 0.688 0.688 0.688 0.688 卫.719
0.719 0.697 0.719 0.719 0.719 0.719 0.688 R
1
0.697 1 0.697 0.688 1 得到模糊相似矩阵R
R=
=0.995 时，可分为 8 类，即{X 2，X 4，X 5,X 6},{ X 1}，{X 3},{ X 7},{ X 8}，
{X 9}，{X 10
},{ X 11
}；
■ =0.994 时，可分为 7 类{X
2，X
4，X
5, X 6},{ X 1
, X 7}，{X 3} ,{ X 8
}，{X 9}， {X 10
},{ X 11
};
=0.962 时，可分为 6 类{X
2，X
4，X 5,X 6},{ X 1,X 7}，{X 3，X 9
} ,{ X 8
}， {X 10
},{ X 11
};
丄0.719 时，可分为 5 类{X2，X 4，X 5,X 6},{ X 1, X 7}，{X 3，X 9} ,{ X 8，
-
'1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 R
0.996 =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
故第二行（列），第四行（列）完全一致，故 将观测站分为9类｛X 2，X 4，X 5｝,｛ X 1
｝，｛X 3
X
10
},{
X 11
这表明，若只裁减一个观测站，可以裁 X 2，
测站，则要降低置信水平’，对不同的’作同样分析，得到
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 10 0 0
0 10 0
0 0 10 0
1 一 X 2,X 4同属一类，所以此时可以 } , {X 6
},{ X 7},{ X 8} , {X 9},
X
4
中的一个。

若要裁掉更多的观
X 11
},{
X 10
}；
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
再具体分析图3-1，我们可以看到X6虽然和X2,X4 , X5分为一类，但X6和X2'X4 , X5观测点相距较远，撤去X6是不太合适的，保留X6而撤去X2,X4 , X5就更不合适了。

因此还是将其分为6类，即{X2，X4,X5},{ X6},{ X1, X7}，{X3，X9} ,{ X8，X l1},{ X l0},依据每类最少保留一个站的原则，最多可撤去5个站。

实际应该撤去哪几个站就应该依据其他条件来确定了。

（二）模糊综合评价法评价某河流水质
例：待测河流取样所得数据SS含量79，DO 7.04，CDOMN 4.92, NH^ N
0.51,单位均为mg/L。

试确定该河流的水质情况属于哪一个等级? 根据有关规定，水质分级标准
如下表所示：
1、建立评价对象因素数集U =（U1，U2，U3，U4，U5，）,水质等级评价集合
V（V1，V2，V3，V4，V5，），通过比较实测数据与等级划分标准，只取前四个等级来判别，得到的矩阵：
50 150 250 350「
7.5 6 5 3
A =
2 4 6 8
0.15 0.5 1 1.5 一
评价对象 B = (79,7.04,4.92,0.51)T
2、对数据进行标准化。

这里采用单个只占总体的比值来进行标准化，评价集合
a
A 进行标准化：5得到标准化矩阵
按照这种方法对B 进行标准化得D =(0.09875,0.1705,0.246,0.1619)T 3、贴近度的计算。

矩阵D 与矩阵C 某列的贴近度显示了该样本与某种等级的接 近程度，程度高的可近似归为该等级。

这里采用相对距离贴近度:
c d =1 亠 」 (i =1,2,3,4, j =1,2,3,4),由此可以得到贴近度矩阵：
max© )「min(q )
0. 9033 303 763333 30. 43 0. 0966667
0. 9 5 6 2 50. 8 7 708330. 7104167. 04375 R = 0. 5133 303 846666 7). 82 0. 4866667
0 7333 404 992603 0. 637025 90. 2666556
4、权向量的计算。

在水环境评价中，污染因子的数量越来越多，单个因子对水 环境的重要性各不相同，确定单个因子的权值对最终的评价结果影响较大。

考虑 到不同的污染因子对河流污染程度的贡献率不同， 在不同等级下，相同污染因子
对污染程度的贡献率也可能不同，所以这里将不同等级下污染因子的贡献率分开 来计算。

根据之前得到标准化的矩阵 C,确定第j 等级下，不同污染因子的权重
5、最终隶属度的计算： 河流水质属于第j 等级的程度P j =打*W j ,由此计算可
得 p^ 0.7989669, p 2 = 0.8649225 p 3 = 0.6437019, p 4 = 0.222582，取他们的最大 值时所对应的等级即为该河流的所属级别， k p j =0.8649225。

_ 0.0625
0.1875 0.3125 0.4375 0.1600
0.2 0.24 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 .0.047619 0.1587302 0.3174603 0.4761905
二.a ij
j 丄
C
r ij 0.168865
0.432293 W =
0.270183 0.128659 0.251263 0.268014 0.268014 0.212709 0.267103 0.205135 0.256419 0.271343 0.255297 0.233414 0.233414 0.277874 ，所以得到权向量集
二 C j i 壬
所以该河流的水质情况属于第二级别。

河流水质情况况良好。

3.3 模糊数学的应用前景
模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。

利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。

模式识别是计算机应用的重要领域之一。

人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。

如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。

在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。

在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。

模糊数学这种相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。

参考文献
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