新教材高中数学2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)一元二次不等式及其解法课件人教版必修第一册

2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知 不是一元二次不等式．

＋1＞0的解集为R.]
B.x13＜x＜1

C．∅
D．R
3．不等式x2－2x－5>2x的解集
{x|x>5 或 x<－1} [由 x2－2x－
是________．
5>2x，得 x2－4x－5>0，因为 x2－4x
－5＝0 的两根为－1,5，
故 x2－4x－5>0 的解集为{x|x<－
为( )
A.xx＞3或x＜－12

－12.]
B.x－12≤x≤3

C.xx≥3或x≤－12

D．R
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4
为( )
－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x
A.x－1＜x＜13

.

含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行 讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ [解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0， ∵1a<1，∴x<1a或x>1.
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为x|x≠2.
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为x23<x<1
1．解下列不等式 (1)2x2－3x－2>0； (2)x2－4x＋4>0； (3)－x2＋2x－3<0； (4)－3x2＋5x－2>0.
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为xx<－12或x>2

.

(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的 解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素 均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都 是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不 等式 y＞0
求方程 y＝0 的解
有两个不相等的实 数根 x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实 数根 x1＝x2＝ －2ba
没有 实数根
或 y 画函数 y＝ax2＋bx＋
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解 集为R，则a1>＋04，a<0， 解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的 解集为R.
C [3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集 3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两
个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向
上，所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3

.

(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94

.

(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向
上，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数 为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的 判别式. 3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无 实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集.
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
___{_x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足 什么条件？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式及其解法
学习目标
核心素养
1.掌握一元二次不等式的解法(重
点).
通过一元二次不等式的学习，培养
2.能根据“三个二次”之间的关系 数学运算素养.
解决简单问题(难点).
自主预习 探新知
1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式．
1 或 x>5}．]
4．不等式－3x2＋5x－4&g＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可
知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]
合作探究 提素养
一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－841≥0； (3)－2x2＋3x－2<0.