2019年人教版 高中数学 选修2-2作业及测试：课时作业2导数的几何意义
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答案：B
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：设切点为(x0，y0)，∵f′(x)＝li ＝li (2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2.∴切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
即2x0＝－1，得x0＝－ ，y0＝ ，
即P .
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11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：∵y′|x＝1＝li
＝li ＝li (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
答案：A
12．已知曲线f(x)＝ ，g(x)＝ 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为__________________．
答案：A
5．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：由导数定义求得y′＝2x，
∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，
∴y′＝2x＝2⇒x＝1，即切点为(1,1)，
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，
解析：由 得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝ ，
得f′(x)＝li ＝li ＝ ，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝ (x－1)．
即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
13．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
解析：设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x .
2019年编·人教版高中数学
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()
A．4B．16
C．8 D．2
解析：因为 ＝ ＝4x＋2Δx，所以
f′(x)＝li ＝li (4x＋2Δx)＝4x.
则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.
答案：C
2．已知曲线y＝ 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为()
解析：li ＝li (a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b，所以b＝2，即 ＝2.
答案：2
8．给出下列四个命题：
①若函数f(x)＝ ，则f′(0)＝0；
②曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线；
③曲线y＝ 在点(0,0)处没有切线；
④曲线y＝2x3上一点A(1,2)处的切线斜率为6.
所以切点坐标为 ，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝ ＝ ，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为 .
(2)在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
①平行于直线y＝4x－5；
②垂直于直线2x－6y＋5＝0；
③与x轴成135°的倾斜角．
分别求出该点的坐标．
解析：(1)设切点P(x0，y0)，
由y′＝li ＝li
＝li (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8，
x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1.
故所求切点为P(2,1)．
(2)f′(x)＝li
＝li ＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
①因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0· ＝－1，得x0＝－ ，y0＝ ，
即P .
③因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.
即2x－y－1＝0，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案：3
7．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 ＝________.
因y′＝li ＝li ＝2x.
∴k＝y′|x＝x0＝2x0.
因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
将点(1，－3)代入，得－3－x ＝2x0－2x ，
∴x －2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3.
当x0＝－1时，k＝－2；
当x0＝3时，k＝6.
∴所求直线的斜率为－2或6.
当x0＝－1时，y0＝1，切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0；
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵y′＝li ＝ x＝ ，∴x＝1，∴切点的横坐标为1.
答案：A
3．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()
A．－4 B．0
C．4 D．－2
解析：因为Δy＝－2(Δx)2，所以 ＝－2Δx，li ＝li (－2Δx)＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.
解析：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率
k＝y′|x＝1
＝li
＝li (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．(1)已知曲线y＝2标．
其中正确命题的序号是________．
解析：①f(x)＝ 在点x＝0处导数不存在．
②y＝x3在点(0,0)处切线方程为y＝0.
③y＝ 在点(0,0)处切线方程为x＝0.
④k＝y′|x＝1＝li ＝6.
故只有④正确．
答案：④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
当x0＝3时，y0＝9，切线方程为y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0.
14．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x )，则y′|x＝x0＝li ＝2x0＝1，所以x0＝ ，
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：设切点为(x0，y0)，∵f′(x)＝li ＝li (2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2.∴切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
即2x0＝－1，得x0＝－ ，y0＝ ，
即P .
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11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：∵y′|x＝1＝li
＝li ＝li (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
答案：A
12．已知曲线f(x)＝ ，g(x)＝ 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为__________________．
答案：A
5．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：由导数定义求得y′＝2x，
∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，
∴y′＝2x＝2⇒x＝1，即切点为(1,1)，
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，
解析：由 得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝ ，
得f′(x)＝li ＝li ＝ ，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝ (x－1)．
即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
13．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
解析：设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x .
2019年编·人教版高中数学
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()
A．4B．16
C．8 D．2
解析：因为 ＝ ＝4x＋2Δx，所以
f′(x)＝li ＝li (4x＋2Δx)＝4x.
则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.
答案：C
2．已知曲线y＝ 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为()
解析：li ＝li (a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b，所以b＝2，即 ＝2.
答案：2
8．给出下列四个命题：
①若函数f(x)＝ ，则f′(0)＝0；
②曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线；
③曲线y＝ 在点(0,0)处没有切线；
④曲线y＝2x3上一点A(1,2)处的切线斜率为6.
所以切点坐标为 ，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝ ＝ ，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为 .
(2)在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
①平行于直线y＝4x－5；
②垂直于直线2x－6y＋5＝0；
③与x轴成135°的倾斜角．
分别求出该点的坐标．
解析：(1)设切点P(x0，y0)，
由y′＝li ＝li
＝li (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8，
x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1.
故所求切点为P(2,1)．
(2)f′(x)＝li
＝li ＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
①因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0· ＝－1，得x0＝－ ，y0＝ ，
即P .
③因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.
即2x－y－1＝0，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案：3
7．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 ＝________.
因y′＝li ＝li ＝2x.
∴k＝y′|x＝x0＝2x0.
因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
将点(1，－3)代入，得－3－x ＝2x0－2x ，
∴x －2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3.
当x0＝－1时，k＝－2；
当x0＝3时，k＝6.
∴所求直线的斜率为－2或6.
当x0＝－1时，y0＝1，切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0；
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵y′＝li ＝ x＝ ，∴x＝1，∴切点的横坐标为1.
答案：A
3．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()
A．－4 B．0
C．4 D．－2
解析：因为Δy＝－2(Δx)2，所以 ＝－2Δx，li ＝li (－2Δx)＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.
解析：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率
k＝y′|x＝1
＝li
＝li (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．(1)已知曲线y＝2标．
其中正确命题的序号是________．
解析：①f(x)＝ 在点x＝0处导数不存在．
②y＝x3在点(0,0)处切线方程为y＝0.
③y＝ 在点(0,0)处切线方程为x＝0.
④k＝y′|x＝1＝li ＝6.
故只有④正确．
答案：④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
当x0＝3时，y0＝9，切线方程为y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0.
14．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x )，则y′|x＝x0＝li ＝2x0＝1，所以x0＝ ，