江苏省苏州市常熟市中考数学调研试卷(月份)

2018 年江苏省苏州市常熟市中考数学调研试
卷（4 月份）
参照答案与试卷解读
一、选择题：本大题共有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．在每题所给出的四个选项中，恰有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题纸相应地点上．
1．（ 3 分）（
2018?抚顺）﹣
5 的倒数是（
）
A ． 5
B ．
C ．﹣5
D ．
考点： 倒数．
剖析：
乘积是 1 的两数互为倒数，所以﹣ 5 的倒数是﹣ ．
解答：
解：﹣ 5 与﹣ 的乘积是 1，
所以﹣ 5 的倒数是﹣ ．
应选 D ．
评论： 本题主要考察倒数的观点：乘积是
1 的两数互为倒数．
2．（ 3 分）（ 2018?眉山）以下运算中正确的选项是（
）
3 6
2 2 2
2
B ． （ 2a+b ）（ 2a ﹣b ）
2 A ． 3a+2a=5a
C ． 2a ?a =2a
D ． （ 2a+b ） =4a +b
=4a 2﹣b 2
考点 ： 平方差公式；归并同类项；同底数幂的乘法；完整平方公式．
剖析： 分别依据归并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完整平方公式进行逐个计算即可．
解答： 解： A 、错误，应为 3a+2a=5a ；
B 、（ 2a+b ）（ 2a ﹣ b ） =4a
2
3 5
C 、错误，应为
2a ?a =2a ；
2
2
2
D 、错误，应为（ 2a+b ） =4a +4ab+b ． 应选 B ．
评论： 本题比较简单，解答本题的重点是熟知以下观点：
（ 1）同类项：所含字母同样，而且所含字母指数也同样的项叫同类项；
（ 2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；
（ 3）平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法
的平方差公式．
（ 4）完整平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍，叫做完整平方公式．
3．（ 3 分）（ 2009?昆明）某班 5 位同学的身高（单位： M ）为：，，，，．这组数据
（ ）
A ． 中位数是
B ．众数是
C ． 均匀数是
D ．极差是
考点 ： 众数；算术均匀数；中位数；极差．
剖析： 依据中位数，众数，均匀数，极差的定义分别求出，就能够进行判断． 解答： 解： A 、把这五个数按从小到大的次序摆列获得第三个为 ，即中位数是
B 、 1.6 出现了两次所认为众数．即 B 正确．
C 、由均匀数的公式得均匀数为 ．所以 C 错误．
D 、极差为 ．所以 D 错误．
应选 B ．
．所以
A 错误；
评论： 本题考察的是均匀数、众数和中位数．要注意，当所给数占有单位时，所求得的均匀数、众数和中
2﹣ b 2
，正确；
位数与原数据的单位同样，不要漏单位．
4．（ 3 分）（ 2003?南京）假如，那么 x 的取值范围是（）
A ． x≤2
B ． x＜ 2C． x≥2D． x＞ 2
考点：二次根式的性质与化简．
剖析：已知等式左侧为算术平方根，结果x﹣ 2 为非负数，列不等式求范围．
解答：解：假如，
必有 x﹣ 2≥0，即 x≥2．应选 C．
评论：本题主要考察二次根式的化简方法的运用：a＞ 0 时，=a； a＜0 时，=﹣ a； a=0 时，=0．
5．（ 3 分）（ 2018?枣庄）已知是二元一次方程组的解，则 a﹣ b 的值为（）
A ．﹣1
B ． 1C． 2D． 3
考点：二元一次方程的解．
专题：计算题；压轴题．
剖析：
依据二元一次方程组的解的定义，将代入原方程组，分别求得a、 b 的值，而后再来求 a﹣b 的值．
解答：
解：∵已知是二元一次方程组的解，
∴
由① +②，得
a=2，③
由① ﹣② ，得
b=3，④
∴a﹣b=﹣ 1；
应选 A．
评论：本题考察了二元一次方程组的解法．二元一次方程组的解法有两种：代入法和加减法，不论哪一种方法，目的都是“消元”．
6．（ 3 分）（ 2008?台湾）某段地道全长9 公里，有一辆汽车以每小时60 公里到 80 公里之间的速率经过该地道．以下何者可能是该车经过地道所用的时间（）
A ．6 分钟B．8 分钟C．10 分钟D．12 分钟
考点：一元一次不等式的应用．
剖析：依据地道的全长和汽车行驶的速度范围，列出不等式求解，可将汽车经过地道所用的时间范围求出．
解答：
≤t≤，
解：依题意得：
∵ 60 公里 /时 =1 公里 /分钟， 80 公里 /时 =公里 /分钟 =公里 /分钟，
即≤t≤9，
解得≤t≤9，
应选 B
评论：本题主假如读懂题意，列出不等式求解即可．
7．（ 3 分）（ 2009?甘孜州）以下命题中，真命题是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线垂直的四边形是菱形
C．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
考点：正方形的判断；菱形的判断；矩形的判断；命题与定理．
剖析：依据正方形，矩形，菱形的判断方法对各个命题进行剖析，从而获得答案．
解答：解：A 、应当是两条对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项是假命题；
B、应当是两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故该选项是假命题；
C、
应当是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故是假命题；D、切
合矩形的判断，故该命题是真命题；
应选 D．
评论：本题主要考察学生对正方形的判断，菱形的判断，矩形的判断的理解及运用，解题的重点是熟记各样特别四边形的判断方法．
8．（ 3 分）（ 2018?松北区二模）假如正比率函数y=ax （ a≠0）与反比率函数 y=（b≠0）的图象有两个交
点，此中一个交点的坐标为（﹣3，﹣ 2），那么另一个交点的坐标为（）
A ．（2， 3）B．（3，﹣ 2）C．（﹣ 2，3）D．（3，2）
考点：反比率函数图象的对称性．
专题：惯例题型．
剖析：利用待定系数法求出两函数解读式，而后联立两解读式，解方程组即可获得另一交点的坐标；
或依据两交点对于原点对称求解．
解答：解：由题设知，﹣2=a?（﹣ 3），（﹣ 3） ?（﹣ 2） =b，
解得 a=，b=6，
联立方程组得，
解得，，
所以另一个交点的坐标为（3， 2）．
或：利用正比率函数与反比率函数的图象及其对称性，可知两个交点对于原点对称，所以另一个交
点的坐标为（ 3， 2）．
应选 D．
评论：本题考察了反比率函数图象的对称性，联立两函数解读式求交点坐标是常用的方法，也是基本的方法，需娴熟掌握，此外，利用对称性求解更简单，且不简单犯错．
9．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，△ ABC 中，∠ A=30 °，沿 BE 将此三角形对折，又沿 BA ′再一次对折，C 点落在 BE 上的 C′处，此时
∠ C′DB=80 °，则原三角形的∠ABC 的度数为（）
A ．60°
B ．75°
C ． 78°
D ． 82°
考点 ： 翻折变换（折叠问题）．
剖析： 依据翻折变换的性质可得∠
ABE= ∠ A ′BE ，∠ CBD= ∠ A ′BE ，∠ CDB= ∠C ′DB ，从而获得 ∠ ABE= ∠ A ′BE= ∠CBD ，设∠ CBD=x ，则∠ ABC=3x ，而后在 △ABC 中，利用三角形的内角和定 理表示出∠ C ，在 △BCD 中利用三角形内角和定理表示出∠ C ，列出方程求出 x 的值，即可得解．
解答： 解：∵△ ABC 沿 BE 对折，
∴∠ ABE= ∠A ′BE ，
再沿 BA ′对折一次， C 点落在 BE 上的 C ′处， ∴∠ CBD= ∠A ′BE ，∠ CDB= ∠ C ′DB=80 °， ∴∠ ABE= ∠A ′BE= ∠ CBD ， 设∠ CBD=x ，则∠ ABC=3x ，
在 △ABC 中，∠ C=180°﹣∠ A ﹣∠ ABC=180 °﹣ 30°﹣ 3x=150°﹣ 3x ，在 △BCD 中，∠ C=180°﹣∠ CBD ﹣∠ CDB=180 °﹣ x ﹣ 80°=100°﹣ x ，
∴ 150°﹣3x=100 °﹣ x ， 解得 x=25 °，
∴∠ ABC=3x=3 ×25°=75 °． 应选 B ．
评论： 本题考察了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完整重合获得
∠ ABE= ∠ A ′BE= ∠CBD ，而后在两个三角形内表示出∠ C 是解题的重点，也是本题的难点．
10．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，⊙ O 是以原点为圆心， 为半径的圆，点 P 是直线 y= ﹣ x+6 上 的一点，过点 P 作⊙ O 的一条切线 PQ ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6﹣
D ．3 ﹣1
考点 ： 一次函数综合题． 专题 ： 计算题；压轴题．
剖析： 由 P 在直线 y= ﹣ x+6 上，设 P （ m ， 6﹣m ），连结 OQ ， OP ，由 PQ 为圆 O 的切线，获得
PQ ⊥ OQ ，在直角三角形 OPQ 中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出 PQ 的最小值．
解答： 解：∵ P 在直线 y= ﹣ x+6 上，
∴设 P 坐标为（ m ， 6﹣ m ），
连结 OQ ， OP ，由 PQ 为圆 O 的切线，获得 PQ ⊥ OQ ，
2 2 2
在 Rt △OPQ 中，依据勾股定理得： OP =PQ +OQ ，
2
2
2
2=2m 2
﹣ 12m+34=2
2
∴PQ =m +（ 6﹣ m ） ﹣ （ m ﹣ 3） +16， 则当 m=3 时，切线长 PQ 的最小值为 4． 应选 B ．
评论： 本题考察了一次函数综合题，波及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函
数的性质，娴熟掌握二次函数的性质是解本题的重点．
二、填空题：本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分．把答案直接填在答题纸相对应的地点上．
11．（ 3 分）（ 2005?梅州）计算：（ a ﹣ b ）﹣（ a+b ） = ﹣ 2b ． 考点 ： 整式的加减．
剖析： 本题考察整式的加法运算，要先去括号，而后归并同类项． 解答： 解：（ a ﹣ b ）﹣（ a+b ） =a ﹣ b ﹣ a+b= ﹣2b ． 评论： 整式的加减运算实质上就是去括号、归并同类项．
12．（ 3 分）（ 2018?贵港）因式分解： x 2
﹣ x= x （x ﹣ 1）
．
考点 ： 因式分解 -提公因式法． 剖析： 提取公因式 x 即可．
解答： 解： x 2
﹣ x=x （x ﹣ 1）．
评论： 本题主要考察提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的重点． 13．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，直线
AB ∥CD ，∠ A=70 °，∠ C=40 °，则∠ E 等于 30 度．
考点 ： 平行线的性质；三角形的外角性质．
专题 ： 研究型．
剖析： 先依据平行线的性质求出∠ EFD 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 解答： 解：∵直线 AB ∥ CD ，∠ A=70 °，
∴∠ EFD= ∠ A=70 °，
∵∠ EFD 是 △ CEF 的外角，
∴∠ E=∠ EFD ﹣∠ C=70°﹣ 40°=30 °． 故答案为： 30．
评论： 本题考察的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答本题的重
点．
14．（ 3 分）（ 2009?广安）一个等腰三角形的两边长分别是 2cm 、 5cm ，则它的周长为 12 cm ．
考点 ： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题 ： 压轴题．
剖析： 本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种状况议论．
解答： 解： ① 腰长为 5 时，三边为 5、 5、 2，知足三角形的性质，周长 =5+5+2=12cm ；
② 腰长为 2cm 时， ∵ 2+2=4＜ 5，
∴不知足组成三角形．所以周长为 12cm ．
故填 12．
评论： 本题考察了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目必定要想到两种
状况，分类进行议论，还应考证各样状况能否能组成三角形进行解答，这点特别重要，也是解题的重点．
15．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）若方程 x 2
﹣ 2x ﹣2499=0 的两根为 x 1、x 2，且 x 1 ＞x 2，则 x 1﹣ x 2 的值为
100 ．
考点 ： 解一元二次方程 -因式分解法． 专题 ： 计算题．
剖析： 先配方获得（ x ﹣ 1） 2﹣502
=0，而后把方程左侧分解后转变为
x ﹣ 1+50=0 或 x ﹣ 1﹣ 50=0，再解两
个一次方程获得 x 1、 x 2（x 1＞ x 2），最后计算 x 1﹣ x 2．
解答： 解：∵ x 2
﹣ 2x+1﹣ 2500=0，
2
2
∴（ x ﹣ 1） ﹣50 =0 ，
∴（ x ﹣ 1+50）（ x ﹣ 1﹣ 50） =0， ∴ x ﹣1+50=0 或 x ﹣ 1﹣ 50=0 ∴ x 1=51， x 2=﹣ 49，
∴ x 1﹣ x 2=51 ﹣（﹣ 49） =100． 故答案为 100．
评论： 本题考察认识一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右侧变形为
0，再把方程左侧分解为两个一次 式的乘积，这样原方程转变为两个一元一次方程，而后解一次方程即可获得一元二次方程的解． 16．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）一盒内有四张牌，分别标志号码 1、2、 3、 4．已知小明以每次取一张 且取后不放回的方式取两张牌，若每一种结果发生的时机都同样，则这两张牌的号码数总和是奇数的概率
是 ．
考点 ： 列表法与树状图法．
专题 ： 计算题．
剖析： 列表得出所有等可能的状况数，找出号码和为奇数的状况数，即可求出所求的概率． 解答： 解：列表以下：
1 2
3
4
1
﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1） 2
（1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） 3
（1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） 4
（1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ 所有等可能的状况数有 12 种，此中号码和是奇数的状况数有 8 种，
则P= =．
故答案为：
评论： 本题考察了树状图与列表法，用到的知识点为：概率
=所讨状况数与总状况数之比．
17．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，连结 AE 、 BD 、 CF ，则图中灰
色四边形的周长为 2+ ．
考点：正多边形和圆．
剖析：
依据正六边形的性质得出BC=1=CD=GH ， CG==HD ，从而得出四边形CDHG 的周长．
解答：解：如图：
∵ABCDEF 为正六边形，
∴∠ ABC=120 °，∠ CBG=60 °，
又∵ BC=1=CD=GH ，
∴ CG= =HD ，
∴四边形 CDHG 的周长 =（1+）×2=2+ ．
故答案为： 2+ ．
评论：本题主要考察的是正多边形和圆，先依据已知得出GH=1 以及 CG 的长是解题重点．
18．（ 3 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，已知双曲线y=（k＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与
直角边 AB 订交于点C．点 A 在 x 轴上．若△ DOC 的面积为3，则 k= 4．
考点：反比率函数系数k 的几何意义．
专题：压轴题．
剖析：过双曲线上随意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=|k|．
解答：解：如图，过 D 点作 DE ⊥ x 轴，垂足为E．
∵Rt△OAB 中，∠OAB=90 °，
∴ DE∥AB ，
∵D为 Rt△OAB 斜边 OB 的中点 D，
∴ DE 为 Rt△ OAB 的中位线，
∵△ OED ∽△ OAB ，
∴= ．
∵双曲线的解读式是，
∴S△AOC=S△DOE= k，
∴S△AOB =4S△DOE=2k ，
由 S△AOB﹣ S△AOC=S△OBC=2S△DOC=6，得 2k﹣ k=6，
解得 k=4 ．
故答案为： 4．
评论：
主要考察了反比率函数中 k 的几何意义，即过双曲线上随意一点引x 轴、 y 轴垂
线，所得三角形面积为|k|，是常常考察的一个知识点；这里表现了数形联合的思想，做此类题一
定要正确理解 k 的几何意义．
三、解答题：本大题共11 小题，共76 分，把解答过程写在答题纸相应的地点上，解答时应写出必需的计
算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水署名笔．
19．（ 5 分）（ 2009?沈阳）计算：．
考点：实数的运算；实数的性质；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．
1
剖析：﹣
依据实数的运算法例挨次计算，注意：（﹣）=﹣3．
解答：解：原式 =2﹣3﹣+1=﹣2．
评论：本题考察二次根式的化简、负整数指数幂的观点、绝对值的有关知识和实数的有关运算，比较简单，是对学生基本观点和基本技术的一种考察．
20．（ 5 分）（ 2018?常熟市模拟）化简求值：，此中，．
考点：分式的化简求值．
专题：研究型．
剖析：先依据分式混淆运算的法例把原式进行化简，再把a、 b 的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式 =÷
=×
=，
当 a=﹣1，b=+1 时，原式 =﹣．
评论：本题考察的是分式的化简求值，熟知分式混淆运算的法例是解答本题的重点．
21．（ 5 分）（ 2018?常熟市模拟）x 取哪些整数值时，不等式5x+2 ＞3（ x﹣ 1）与x﹣ 1＜ 5﹣x 都成立？
考点：一元一次不等式组的整数解．
剖析：先求出不等式组的解集，在取值范围内能够找到整数解．
解答：
解：依据题意解不等式组得
﹣＜x＜3．
故 x 取整数﹣ 2，﹣ 1， 0， 1， 2，时，不等式5x+2 ＞3（ x﹣ 1）与x﹣ 1＜ 5﹣x 都成立．
评论：考察了一元一次不等式组的整数解，解答本题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要依据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22．（ 6 分）（ 2018?常熟市模拟）解方程：．
考点：解分式方程．
剖析：本题考察解分式方程的能力，察看可得最简公分母是（x+2 ）（ x﹣ 2），方程两边乘以最简公分母，能够把分式方程化为整式方程，再求解．
解答：解：方程两边同乘以（ x+2）（ x﹣ 2），得
x（ x﹣ 2） +（x+2 ）（ x+2） =8 ，
2
x +x ﹣2=0 ，即（ x﹣ 1）（ x+2） =0，
解得 x1=1， x2=﹣2．
查验： x2=﹣ 2 是原方程的增根．
故原方程的解为： x=1．
评论：考察认识分式方程，（ 1）解分式方程的基本思想是“转变思想”，把分式方程转变为整式方程求解．（ 2）解分式方程必定注意要验根．
23．（ 6 分）（ 2018?常熟市模拟）为响应建设“漂亮农村”，大桥村在河岸上栽种了柳树和香樟树，已知种
植柳树的棵数比香樟树的棵数多22 棵，栽种香樟树的棵树比总数的三分之一少 2 棵．问这两种树各样了多少棵？
考点：二元一次方程组的应用．
剖析：设栽种柳树x 棵，栽种樟树y 棵，依据题目之间的数目关系成立方程求出其解即可．
解答：解：设栽种柳树x 棵，栽种樟树y 棵，由题意，得
，
解得：．
答：栽种柳树38 棵，栽种樟树16 棵．
评论：本题考察了列二元一次方程组解实质问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时依据题意之间的数目关系成立方程是重点．
24．（ 6 分）（ 2018?随州）为了增强食品安全管理，有关部门对某大型商场的甲、乙两种品牌食用油共抽
取 18 瓶进行检测，检测结果分红“优异“、“合格“和“不合格”三个等级，数据办理后制成以下折线
统计图和扇形统计图．
（ 1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（ 2）在该超购置一瓶乙品牌食用油，请预计能买到“优异”等级的概率是多少？
考点：折线统计图；扇形统计图；概率公式．
专题：图表型；数形联合．
剖析：（ 1）读折线统计图可知，不合格等级的有 1 瓶，读扇形统计图可知甲种品牌有不合格的，且只有
1 瓶，由此可求出甲种品牌的数目，据此解答即可．
（ 2）依据随机事件概率大小的求法，找准两点：① 切合条件的状况数目；② 所有状况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：（ 1） 1÷10%=10 （瓶）， 18﹣ 10=8（瓶），
即甲种品牌有10 瓶，乙种品牌有8 瓶．（ 2）∵甲，乙优异瓶总数为10 瓶，此中甲品牌食用油的
优异占到60%，
∴甲的优异瓶数为10×60%=6（瓶）
∴乙的优异瓶数为：10﹣（ 10×60%）=4（瓶），
又∵乙种品牌共有8 瓶，
∴能买到“优异”等级的概率是=．
评论：本题考察的是扇形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不一样的统计图中获得必需的信息是解决问题的重点．
25．（ 8 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90 °， AD 是中线， E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 BE 的延伸线于 F，连结 CF．
（1）求证： AD=AF ；
（2）假如 AB=AC ，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
考点：正方形的判断；全等三角形的判断与性质；直角三角形斜边上的中线．
剖析：（ 1）由 E 是 AD 的中点， AF ∥ BC ，易证得△ AEF ≌△ DEB ，即可得 AD=BD ，又由在△ ABC 中，∠ BAC=90 °， AD 是中线，依据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得
AD=BD=CD= BC ，即可证得： AD=AF ；
（2）由 AF=BD=DC ，AF ∥ BC ，可证得：四边形 ADCF 是平行四边形，又由 AB=AC ，依据三线合一的性质，可得 AD ⊥BC， AD=DC ，既而可得四边形 ADCF 是正方形．
解答：（ 1）证明：∵ AF ∥ BC ，
∴∠ EAF= ∠ EDB ，
∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE ，
在△AEF 和△ DEB 中，
，
∴△ AEF ≌△ DEB （ ASA ），
∴AF=BD ，
∵在△ ABC 中，∠ BAC=90 °， AD 是中线，
∴AD=BD=DC= BC ，
∴AD=AF ；（ 2）解：四边形 ADCF 是正方形．
∵AF=BD=DC ， AF ∥ BC ，
∴四边形 ADCF 是平行四边形，
∵AB=AC ， AD 是中线，
∴AD⊥BC，
∵ AD=AF ，
∴四边形ADCF 是正方形．
评论：本题考察了正方形的判断、平行四边形的判断与性质以及全等三角形的判断与性质．本题难度适中，注意掌握数形联合思想的应用．
26．（ 8 分）（ 2018?太原）如图，某校综合实践活动小组的同学欲丈量公园内一棵树DE 的高度．他们在这棵树正前面一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点
C 处，测得树顶端
D 的仰角为60°．已知 A 点的高度 AB 为 2M ，台阶 AC 的坡度为（即AB：BC=），且 B、 C、
E 三点在同一条直线上．请依据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽视不计）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：应用题；压轴题．
剖析：经过结构直角三角形分别表示出BC 和 AF ，获得有关的方程求解即可．
解答：解：如图，过点 A 作 AF ⊥ DE 于 F，
则四边形ABEF 为矩形，
∴AF=BE ，EF=AB=2 ，
设 DE=x ，
在 Rt△CDE 中， CE==，
在 Rt△ABC 中，∵AB=2 ，
∴ BC=2，
在 Rt△AFD 中， DF=DE ﹣EF=x ﹣ 2，
∴ AF==（x﹣2），
∵AF=BE=BC+CE ，
∴（ x﹣ 2） =2+，
解得 x=6 ．
评论：本题考察认识直角三角形的知识，解题的重点是正确的结构直角三角形并选择正确的边角关系求解．
27．（ 8 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，正方形 ABCD 中，点 A 、 B 的坐标分别为（ 0， 10）（ 8，4），点 C 在第一象限，且 CE⊥ x 轴于 E 点，动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从 A 出发沿 A ﹣ B﹣ C﹣ D 以每秒
1 个单位的速度作匀速运动，同时点Q（ 1， 0）以同样的速度在x 轴上沿正方向运动，当P 点抵达 D 点时，两点同时停止，设运动时间为t 秒．
（ 1）当点 Q 运动至（， 0）时，则动点P 在BC边上；
（ 2）求正方形点 C 坐标；
（ 3）问能否存在t（ 0≤t≤10）值，使△ OPQ 的面积最大？若存在，求出t 值；若不存在，说明原因．
考点：相像形综合题．
剖析：（ 1）依据题意，得出正方形的边长，联合P， Q 点的速度，剖析可得答案；
（ 2）在 Rt△ AFB 中，过点 C 作 CE⊥ x 轴于点 E，与 FB 的延伸线交于点H，易得
△ ABF ≌△ BCH ，从而可得 C 得坐标；
（ 3）过点 P 作 PM ⊥ y 轴于点 M ， PN⊥ x 轴于点 N，易得△APM ∽△ ABF ，依据相像三角形的性质，有==，设△OPQ的面积为S，计算可得答案．
解答：解：（ 1）过点 B 作 BF ⊥ y 轴于点 F，
依据题意， AF=10 ﹣ 4=6，BF=8 ，
∴ AB==10 ，
∴当点 Q 运动至（， 0）时，运动时间为：﹣（秒），
∴动点 P 在 BC 边上；（ 2）过点 C 作 CE⊥ x 轴于点 E，与 FB 的延伸线交于点H ．
∵∠ ABC=90 °=∠AFB= ∠ BHC
∴∠ ABF+ ∠ CBH=90 °，∠ ABF= ∠ BCH ，∴∠ FAB= ∠
CBH ，在△ABF 和△BCH 中
，
∴△ ABF ≌△ BCH （ AAS ）．
∴AF=BH=6 ， CH=BF=8 ，
∴OE=FH=8+6=14 ， CE=8+4=12 ．
∴所求 C 点的坐标为（ 14， 12）．（ 3）过点 P 作 PM⊥ y 轴于点 M ， PN⊥ x 轴于点 N ，则
△APM ∽△ ABF ．
∴= =．
∴= = ．
∴AM= t， PM= t ．
∴P N=OM=10 ﹣ t， ON=PM= t．
∵开始时Q（ 1， 0），动点 Q 以同样速度在x 轴正半轴上运动，
∴OQ=1+t ，
设△OPQ 的面积为S（平方单位）
∴ S=×（10﹣t）（ 1+t ） =5+t﹣t2（ 0≤t≤10）
∵a=﹣＜ 0
∴当 t==时，△ OPQ的面积最大．
故答案为： BC ．
评论：本题主要考察了相像形与函数的综合应用，要娴熟掌握相像的性质和正方形的性质，并能够将他们与二次函数的应用有效的联合起来；解决此类问题，注意数形联合得思想的运用．
28．（ 9 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，在梯形ABCD 中， AB ⊥ BC，AD ∥ BC ，极点 D ，C 分别在射线AM 、 BN 上运动，点 E 是 AB 上的动点，在运动过程中一直保持DE ⊥ CE，且 AD+DE=AB （各动点都不与 A ，B 重合）．经过C、 D、 E 三点作圆．请研究以下 2 个问题：
（ 1）当 AB=8 时，若动点 E 恰巧是过C、 D、 E 三点的圆与AB 的切点，求CD 长？
（ 2）当 AB=a 时，说明△BEC 的周长等于2a．
考点 ： 圆的综合题．
剖析： （ 1）先设圆心为 O ，连结 OE ，依据 OE ⊥AB ， AB ⊥ BC ，AD ∥ BC ，得出 OE ∥ AD ∥BC ，
AE=BE=4 ，则 OE 是梯形 ABCD 的中位线，设 2
2
2
，求出 AD=x ，则 DE=8 ﹣ x ，得出 4
+x =（ 8﹣ x ） AD=3 ，依据 AB ⊥ BC ， AD ∥BC ，得出∠ AED+ ∠ADE=90 °，依据∠ AED+ ∠ BEC=90 °，得出
∠ AED= ∠ BEC ，则 △ADE ∽△ BEC ，得出
= ，最后依据 OE= （ 3 ） = ，即可得出
CD=2OE= ．
2
2
（ 2）设 AD=x ， AE=m ，则 DE=a ﹣x ，在 Rt △ ADE 中，得出 a ﹣ m =2ax ，再依据
△ ADE ∽△ BEC ，得出
= ，则 C △BEC = =2a ．
解答： 解：（ 1）∵ DE ⊥ CE ，
∴ CD 是过 C 、D 、E 三点作圆得直径，设圆心为 O ，并连结 OE ，
∵点 E 恰巧是过 C 、D 、E 三点的圆与 AB 的切点，
∴ OE ⊥AB ，
又∵ AB ⊥BC ，AD ∥BC ，
∴ OE ∥AD ∥ BC ， ∵ OC=OD ， ∴ AE=BE=4 ，
∴ OE 是梯形 ABCD 的中位线，
设 AD=x ，则 DE=8 ﹣ x ，
2
2
2
， ∴ 4 +x =（ 8﹣ x ） 解得： x=3 ，即 AD=3 ， ∵ AB ⊥BC ，AD ∥BC ， ∴∠ A= ∠B=90 °，
∴∠ AED+ ∠ADE=90 °， ∵ DE ⊥CE ，
∴∠ AED+ ∠BEC=90 °， ∴∠ AED= ∠BEC ， ∵△ ADE ∽△ BEC ，
∴
= ，
∴ BC= ，
∴OE= （3
）= ，
∴ CD=2OE= ．（ 2）设 AD=x ， AE=m ，则 DE=a ﹣ x ，
在 Rt △ADE 中，（ a ﹣ x ）2=m 2+x 2
，
2
2
∴ a ﹣m =2ax ，
又∵△ ADE ∽△ BEC ，
∴
=
，
∴ C △BEC =
=2a ，
即 △BEC 的周长等于 2a ．
评论：本题考察了圆的综合，用到的知识点是相像三角形的判断与性质，勾股定理，利用了转变及整体代入的数学思想．
29．（ 10 分）（ 2018?常熟市模拟）如图，抛物线
2
y=ax +bx（ a＞ 0）与双曲线 y= 订交于点 A， B．已知
点 A 的坐标为（ 1， 4），点 B 在第三象限内，连结AB 交 y 轴于点 E，且 S△BOE= S△ AOB （ O 为坐标
原点）．
（ 1）求此抛物线的函数关系式；
（ 2）过点 A 作直线平行于 x 轴交抛物线于另一点C．问在 y 轴上能否存在点 P，使△ POC 与△OBE 相似，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请简要说明原因；
（ 3）抛物线与 x 轴的负半轴交于点 D，过点 B 作直线 l ∥y 轴，点 Q 在直线 l 上运动，且点Q 的纵坐标为t，尝试究：当 S△AOB＜S△QOD＜ S△BOC时，求 t 的取值范围．
考点：二次函数综合题．
专题：综合题；压轴题．
剖析：（ 1）第一求得反比率函数的解读式，而后求得点 B 的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解读式即可；
（ 2）依据△POC 与△ OBE 相像，获得 OP=4 或 8，从而求得点 P 的坐标即可；
（ 3）求得点 Q、点 E、点 D 的坐标，从而表示出S△AOB =3，S△QOD=，S△BOC=8，获得 3＜＜ 8，从而求得 t 的取值范围；
解答：
解：（ 1）点 A （ 1， 4）在双曲线 y=上，得 k=4
∵S△BOE= S△AOB，
∴|x A|： |x B|=1： 2
∴x B=﹣ 2，
∵点 B 在双曲线y=上，
∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣ 2）
2
∵点 A ，B 都在 y=ax +bx （ a＞0）上，
∴
解得：
所求的二次函数的解读式为： y=x 2
+3x；（ 2）∵点 C 坐标为（﹣ 4， 4），若点 P 在 y 轴的正半轴，则∠
POC=45 °，不切合题意．
所以点 P 在 y 轴的负半轴上，则∠POC=45 °
此时有∠ POC=∠ BOE=135 °，
所以或时，
△POC 与△ OBE 相像
∴OP=4 或 8．
所以点 P 的坐标为（ 0，﹣ 4）或（ 0，﹣ 8）；（ 3）设点 Q 的坐标为（﹣ 2， t）
∵直线 AB 经过点 A （1， 4）， B （﹣ 2，﹣ 2）
∴直线 AB 的函数关系式为y=2x+2
∴E（ 0， 2）
2
由 y=x +3x 可知点 D （﹣ 3， 0）．
∵ S△AOB =3， S△QOD=，S△BOC=8
∴3＜＜8
当 t≥0 时， 2＜ t＜
当 t＜ 0 时，﹣＜t＜﹣2
综上： 2＜ t＜或﹣＜t＜﹣2
评论：本题考察了二次函数的综合题目，第一问的解答重点是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会依据相像三角形的性质求线段的长，波及到了分类议论的数学思想，此类综合题目，难度较大，注意逐渐剖析．。