广东高二高中数学期中考试带答案解析

广东高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，则（）
A．B．C．D．
2.如果直线与直线垂直，那么等于（）．
A．B．C．D．
3.在等差数列中，，则（）
A．12B．16
C．20D．24
4.满足以下条件的三角形无解的是（）
A．B．
C．D．
5.下列命题中，正确的是（）
A．B．常数数列一定是等比数列
C．若，则D．
6.设实数满足不等式组，则的最大值为（）
A．13B．10.5
C．10D．0
7.要得到函数的图像,只要将函数的图像（）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
8.已知公差不为0的等差数列满足，成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A．-3B．-2
C．3D．2
9.在中,、、分别是角、、的对边，若,则（）A．B．C．D．
10.已知三角形的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18B．21
C．24D．15
11.由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）
A．B．C．D．
12.已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．
二、填空题
1.函数定义域是___________
2.在中，，那么__________.
3.已知直线l经过点和点，若点（）在直线l上移动且在第一象限内，则的最大值为_________
4.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
三、解答题
1.在等差数列中，
（1）求数列的通项；
（2）若，求数列的前项和.
2.已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
3.设的内角所对应的边分别为，且，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
4.如图，四面体中，、分别是、的中点，
（1）求证：平面
（2）求证：平面；
5.已知数列的前项和为，且数列中，，点在直线
上.
（1）求数列, 的通项和；
（2）设，求数列的前项和，并求满足的最大正整数.
6.某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第天的实验需投入实验费用为元，实验30天共投入实验费用17700元.
（1）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；
（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元.为了保证产品质量，至少需
进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）
广东高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由中不等式解得：，，即
由中解得：
则
故答案选
2.如果直线与直线垂直，那么等于（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】两直线垂直，
，
，故选．
3.在等差数列中，，则（）
A．12B．16
C．20D．24
【答案】B
【解析】下标和都为，根据等差数列的性质，有.
【考点】等差数列.
4.满足以下条件的三角形无解的是（）
A．B．
C．D．
【解析】A项，，所以角有两个解，故A项不符合题意；B项，，与A项同理，角也有两个解，故B项不符合题意；C项，，所以角是直角，仅有一个解，故C项不符合题意；D项，，所以无解，故D项符合题意.故本题正确答案为D.【考点】利用正弦定理解三角形.
5.下列命题中，正确的是（）
A．B．常数数列一定是等比数列
C．若，则D．
【答案】C
【解析】对于A,,A错误；对于B,常数数列不一定是等比数列,如,B错误；对于C,若，C正确；对于D,时,时,,D错误.所以C选
项是正确的.
【考点】命题的判断.
6.设实数满足不等式组，则的最大值为（）
A．13B．10.5
C．10D．0
【答案】A
【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.
【考点】线性规划.
7.要得到函数的图像,只要将函数的图像（）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【解析】y＝cos2x向左平移个单位得y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)，选C项．
8.已知公差不为0的等差数列满足，成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A．-3B．-2
C．3D．2
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，首项为，所以，因为成等比数列，所以有，计算得，所以，故选D.
【考点】等差等比数列的通项及性质.
9.在中,、、分别是角、、的对边，若,则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
【考点】正、余弦定理的应用.
10.已知三角形的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18B．21
C．24D．15
【答案】D
【解析】不妨设三角形的三边分别为，且，设公差为，三个角分别为，则
，若，因为三边不相等，则必有角大于，矛盾，舍去；若，则
，周长为，故选D.
【考点】解三角形.
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中
标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第
三步：求结果.
11.由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）
A．B．C．D．
【解析】
为图中的阴影部分，为图中两平行直线之间的部分，由题意可知所求概率
故答案选
12.已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
作出函数的图象如图所示，的对称轴为，若原方程有个不同的根，则在内有且仅有个值，由对称轴可知，另外一个根，在内，即方程，在内各有一个根，，故选A.
【方法点睛】巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组），再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画
出函数的图象，然后数形结合求解.
二、填空题
1.函数定义域是___________
【答案】
【解析】由题意可知：
解得
故答案为
2.在中，，那么__________.
【答案】或
【解析】在中，
，
，
是三角形的内角，
3.已知直线l经过点和点，若点（）在直线l上移动且在第一象限内，则的最大值为_________
【答案】
【解析】由斜率公式可得斜率为
故直线的方程为
则
当时，
故答案为
点睛：本题求的最大值，可以考虑降元，由二元转化为一元，由题意可知点（）在直线l上移动且在第一象
限内，这样就建立了、的数量关系，利用一元二次函数求得最值。

4.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间上是减函数,所以当时,，所以.
【考点】不等式恒成立，二次函数求最值.
【方法点晴】本题考查的不等式恒成立问题，恒成立,即所以问题转化为二次函数
在区间上的最小值问题，是开口向上的二
次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间上是减函数,所以当时,，所以.
三、解答题
1.在等差数列中，
（1）求数列的通项；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】建立方程组求出首项和公差，即可求数列的通项
由（1）得的通项，即可求出，代入数列中，运用等比数列求得前项和解析：(1)设等差数列的公
差为，由已知得
解得，即
(2)因为，所以，于是
，令，则，显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前项和
.
2.已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由不等式的解集为，再由和是一元二次方程的两根，利
用韦达定理，列出方程组，即可求解的值；（2）因不等式的解集为，分和讨论，
即可求解实数的取值范围.
试题解析：（1）由不等式的解集为，
可知，-3和-1是一元二次方程的两根，（2分）
所以，解得. （4分）
（2）因不等式的解集为，
若，则不等式，此时，不合题意；（6分）
若，则，解得（9分）
综上实数的取值范围为. （10分）
【考点】一元二次不等式的应用.
3.设的内角所对应的边分别为，且，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）; （2）;
【解析】（1）对进行边角转换结合两角和差正弦公式得，再由正弦定理得；（2）由三角形三个内角关系结合两角和差正弦公式得，再由三角形面积公式得.
试题解析：
（1）根据边角转换得
（2）
4.如图，四面体中，、分别是、的中点，
（1）求证：平面
（2）求证：平面；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】连接,利用线面平行的判定定理即可证出平面
连接,由，知，由，知，
在中，由已知可得而，可以得到，由此可以证明平面
解析：（1）证明：连结，、分别是、的中点，，又平面，平面，
平面
（2）证明：连结，在中，由已知可得而平面.
点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，证明线面垂直时运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得垂直。

5.已知数列的前项和为，且数列中，，点在直线
上.
（1）求数列, 的通项和；
（2）设，求数列的前项和，并求满足的最大正整数.
【答案】（1），；（2）4
【解析】略
6.某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第天的实验需投入实验费用为元，实验30天共投入实验费用17700元.
（1）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；
（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元.为了保证产品质量，至少需
进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）实验开始后，每天的试验费用构成公差为，首项为的等差数列，通过等差数列的求和公式计算出这天所投入的试验费用，然后便可求出的值，再利用等差数列的求和公式求出天内总计的试验费用，然后再求出每天的平均试验费用，利用基本不等式便可求出平均每天耗资最少时试验的天数；（2）先求出实
际耗资的连续函数，，讨论和的大小关系即可解得的取值范围为．试题解析：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为，首项为，
∴试验30天共花费试验费用为，
解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设试验天，平均每天耗资为元，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
，
当且仅当，即时取等号，
综上得，，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设平均每天实际耗资为元，则
．．．．．．．．．．．8分
当，即时，
，因为，
所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当，即时，当时，取最小值，
且，
综上得，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【考点】函数的实际应用；均值不等式.
【方法点晴】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、
函数最值的方法，才能快速正确地求解．形如形式的问题突破口在利用均值不等式找到等号成
立的条件，进而和定义域比较即可.。