【精选3份合集】2018-2019学年佛山市考前冲刺必刷卷数学试题二

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．在数轴上到原点距离等于3的数是( )
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．不知道
【答案】C
【解析】根据数轴上到原点距离等于3的数为绝对值是3的数即可求解.
【详解】绝对值为3的数有3，-3.故答案为C.
【点睛】
本题考查数轴上距离的意义，解题的关键是知道数轴上的点到原点的距离为绝对值.
2．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为1．若AA'=1，则A'D等于（）
A．2 B．3 C ．2
3
D
．
3
2
【答案】A
【解析】分析：由S△ABC=9、S△A′EF=1且AD为BC边的中线知S△A′DE=
1
2
S△A′EF=2，S△ABD=
1
2
S△ABC=
9
2
，根据
△DA′E∽△DAB知2A DE
ABD
S
A D
AD S
'
'
=
（），据此求解可得．
详解：如图，
∵S△ABC=9、S△A′EF=1，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE=
1
2
S△A′EF=2，S△ABD=
1
2
S△ABC=
9
2
，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E ∥AB ，
∴△DA′E ∽△DAB ， 则2A DE ABD S A
D AD S ''=（），即2291
2A D A D '='+（
）， 解得A′D=2或A′D=-25（舍）， 故选A ．
点睛：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
3．在半径等于5 cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．30°或120°
【答案】C
【解析】根据题意画出相应的图形，由OD ⊥AB ，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，由AB 的长求出AD 与BD 的长，且得出OD 为角平分线，在Rt △AOD 中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD 的度数，进而确定出∠AOB 的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB 所对圆周角的度数．
【详解】如图所示，
∵OD ⊥AB ，
∴D 为AB 的中点，即532 在Rt △AOD 中，OA=5，532
∴sin ∠AOD=5332=52
， 又∵∠AOD 为锐角，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=12
∠AOB=60°， 又∵圆内接四边形AEBC 对角互补，
∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选C ．
【点睛】
此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．圆柱
D ．圆锥
【答案】A 【解析】试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A ．
考点：由三视图判定几何体.
5．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，-1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤- 或 2a ≥
B ．10a -≤< 或 02a <≤
C ．10a -≤< 或
112a <≤ D ．122
a ≤≤ 【答案】B
【解析】试题解析：如图所示：
分两种情况进行讨论：
当0a >时，抛物线2y ax =经过点()1,2A 时，2,a =抛物线的开口最小，a 取得最大值2.抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：0 2.a <≤
当0a <时，抛物线2
y ax =经过点()1,1B -时，1,a =-抛物线的开口最小，a 取得最小值 1.-抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：10.a -≤<
故选B.
点睛：二次函数()2
0,y ax bx c a =++≠ 二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小， 0,a >开口向上，0,a <开口向下. a 的绝对值越大，开口越小.
6．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B ．抛一枚硬币，出现正面的概率
C ．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D ．任意写一个整数，它能被2整除的概率
【答案】C
【解析】解：A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16
，故此选项错误；
B ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；
C ．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：
11123=+≈0.33；故此选项正确； D ．任意写出一个整数，能被2整除的概率为
12
，故此选项错误． 故选C ． 7．二次函数y ＝3（x ﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A ．图象的开口向下
B ．图象的顶点坐标是（1，2）
C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
D ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）
【答案】B
【解析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【详解】解：A 、因为a ＝3＞0，所以开口向上，错误；
B 、顶点坐标是（1，2），正确；
C 、当x ＞1时，y 随x 增大而增大，错误；
D 、图象与y 轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B ．
【点睛】
考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x ﹣h ）2+k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）．
8．某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（ ）
A ．最喜欢篮球的人数最多
B ．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍
C ．全班共有50名学生
D ．最喜欢田径的人数占总人数的10 %
【答案】C 【解析】观察直方图，根据直方图中提供的数据逐项进行分析即可得.
【详解】观察直方图，由图可知：
A. 最喜欢足球的人数最多，故A 选项错误；
B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，故B 选项错误；
C. 全班共有12+20+8+4+6=50名学生，故C 选项正确；
D. 最喜欢田径的人数占总人数的
4100%50⨯=8 %，故D 选项错误， 故选C.
【点睛】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.
9．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A ．x 2+6x+9=0
B ．x 2=x
C ．x 2+3=2x
D ．（x ﹣1）2+1=0 【答案】B
【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．
详解：A 、x 2+6x+9=0.
△=62-4×9=36-36=0，
方程有两个相等实数根；
B 、x 2=x.
x 2-x=0.
△=（-1）2-4×1×0=1＞0.
方程有两个不相等实数根；
C 、x 2+3=2x.
x 2-2x+3=0.
△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
方程无实根；
D 、（x-1）2+1=0.
（x-1）2=-1，
则方程无实根；
故选B ．
点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c
y x
++=在同一坐标系内的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】∵二次函数图象开口方向向上，
∴a>0，
∵对称轴为直线02b x a =-
>， ∴b<0，
二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，
∵当x=1时y=a+b+c<0，
∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交， 反比例函数a b c y x
++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合.
故选：D.
【点睛】
考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 __________.
【答案】a≤1且a≠0
【解析】∵关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，
∴()20240
a a ≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩ ，解得：a 1≤， ∴a 的取值范围为：a 1≤且0a ≠ .
点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ≠ ；
（2）这道一元二次方程有实数根，因此
()2
240a =--≥ ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.
12．已知关于x 的方程
有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ． 【答案】1．
【解析】试题分析：∵关于x 的方程有两个不相等的实数根， ∴
.
∴m 的最大整数值为1． 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元一次不等式．
13．如图，已知圆锥的底面⊙O 的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
【答案】15π．
【解析】试题分析：∵OB=
12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12
×6π×5=15π．故答案为15π．
考点：圆锥的计算．
14．已知关于 x 的函数 y=（m ﹣1）x 2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则m=_______．
【答案】1 或 0 15± 【解析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；
当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m 的值．
【详解】解：（1）当 m ﹣1=0 时，m=1，函数为一次函数，解析式为 y=2x+1，与 x 轴
交点坐标为（﹣12
，0）；与 y 轴交点坐标（0，1）．符合题意． （2）当 m ﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与 x 轴有两个不同的交点，
于是△=4﹣4（m ﹣1）m ＞0，
解得，（m ﹣12
）2＜54，
解得m＜1+5
2
或m＞
1-5
2
．
将（0，0）代入解析式得，m=0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x 轴只有一个交点，与Y 轴交于交于另一点，这时：△=4﹣4（m﹣1）m=0，
解得：m=15
±
．
故答案为1 或0 或15
2
±
．
【点睛】
此题考查一次函数和二次函数的性质，解题关键是必须分两种情况讨论，不可盲目求解．
15．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax ﹣3的解集是_____．
【答案】x＞﹣1．
【解析】根据函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-1，-5），然后根据图象即可得到不等式 3x+b＞ax-3的解集．
【详解】解：∵函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P（-1，-5），
∴不等式 3x+b＞ax-3的解集是x＞-1，
故答案为：x＞-1．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.
16．因式分解：3x3﹣12x=_____．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【解析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
17．如图,在△ABC 中,AB≠AC ．D,E 分别为边AB,AC 上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F 为BC 边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)
【答案】//DF AC 或BFD A ∠=∠
【解析】因为3AC AD =，3AB AE =,A A ∠=∠ ，所以ADE ∆ACB ~∆ ,欲使FDB ∆与ADE ∆相似，只需要FDB ∆与ACB ∆相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF ，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.
【方法点睛】在解决本题目，直接处理FDB ∆与ADE ∆，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过ADE ∆ACB ~∆，FDB ∆得与ACB ∆相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.
18．在矩形ABCD 中，AB=4， BC=3， 点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的处，则AP 的长为__________． 【答案】32或94
【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，设AP=x ，则BP=4﹣x ，∵BP 2=BA′2+PA′2，
∴（4﹣x ）2=x 2+22，
解得：x=32，∴AP=32
； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，
∴△DAP ∽△ABC ， ∴AD AB AP BC
=， ∴AP=AD BC AB =334⨯=94． 故答案为32或94．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，△ABC 中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t ．
⑴用含t 的代数式表示：AP= ，AQ= ．
⑵当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动时间是多少？
【答案】（1）AP=2t ，AQ=16﹣3t ；（2）运动时间为167
秒或1秒． 【解析】（1）根据路程=速度⨯时间，即可表示出AP ，AQ 的长度.
（2）此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ ∽△ABC 时；（2）当△APQ ∽△ACB 时．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）AP=2t ，AQ=16﹣3t ．
（2）∵∠PAQ=∠BAC ，
∴当
AP AQ AB AC =时，△APQ ∽△ABC ，即2163816t t -=，解得167
t =； 当AP AQ AC AB =时，△APQ ∽△ACB ，即2163168
t t -=，解得t=1． ∴运动时间为167秒或1秒．
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.注意不要漏解. 20．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）
表示该店每天的利润．若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
【答案】（1）①y=400x﹣1．（5＜x≤10）；②9元或10元；（2）能，11元.
【解析】(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x的值得出答案．【详解】解：（1）①y=400（x﹣5）﹣2．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣2≥800，解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2，
当y=1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2=1560，
解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．
21．深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节“活动计划书
书本类别科普类文学类
进价（单位：元）18 12
备注（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不少于600本；
…
（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，
A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.
【解析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．
【详解】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得540540
10
1.5
x x
-=，
化简得：540-10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），
由题意得，
() 1812100016800
600
t t
t
+-≤
⎧
≥
⎨
⎩
，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）
=（9-a）t+6（1000-t）
=6000+（3-a）t，
故当0＜a＜3时，3-a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元；
当a=3时，3-a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；
当3＜a＜5时，3-a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
22．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 40 n
80≤x＜90 m 0.35
90≤x≤10050 0.25
请根据所给信息，解答下列问题：m＝，n＝；请补全频数分布直方图；若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
【答案】（1）70，0.2（2）70（3）750
【解析】（1）根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值；
（2）根据（1）中求得的m的值，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人．
【详解】解：（1）由题意可得，
m＝200×0.35＝70，n＝40÷200＝0.2，
故答案为70，0.2；
（2）由（1）知，m＝70，
补全的频数分布直方图，如下图所示；
（3）由题意可得，
该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人），
答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人．
【点睛】
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()4,5-，(1,3)-．
请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；请作出ABC ∆关于y 轴对称的
'''A B C ∆；点'B 的坐标为 ．ABC ∆的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）'(2,1)B ；（4）4.
【解析】（1）根据C 点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；
（2）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴对称的点的位置，再连接即可；
（3）根据点B'在坐标系中的位置写出其坐标即可
（4）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）结合图形可得：()B'2,1； （4）ΔABC 111S 34231224222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 123144=---=.
【点睛】
此题主要考查了作图−−轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．
24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G ．求证：BC 是⊙O 的切线；设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长；若BE ＝8，sinB ＝513
，求DG 的长，
【答案】 (1)证明见解析；(2)AD=xy 3013 【解析】（1）连接OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；
（2）连接DF ，由（1）得到BC 为圆O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD 与三角形ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；
（3）连接EF ，设圆的半径为r ，由sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF=sinB ，进而求出DG 的长即可．
【详解】(1)如图，连接OD ，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD ，
∵OA=OD ，
∴∠ODA=∠OAD ，
∴∠ODA=∠CAD ，
∴OD ∥AC ，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD ⊥BC ，
∴BC 为圆O 的切线；
(2)连接DF ，由(1)知BC 为圆O 的切线，
∴∠FDC=∠DAF ，
∴∠CDA=∠CFD ，
∴∠AFD=∠ADB ，
∵∠BAD=∠DAF ，
∴△ABD ∽△ADF ， ∴AB AD AD AF
，即AD 2=AB•AF=xy ， 则xy ；
(3)连接EF ，在Rt △BOD 中，sinB=513OD OB =， 设圆的半径为r ，可得5813r r =+， 解得：r=5，
∴AE=10，AB=18，
∵AE 是直径，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠AEF=∠B ， ∴sin ∠AEF=
513
AF AE =， ∴AF=AE•sin ∠AEF=10×513=5013， ∵AF ∥OD ，
∴501013513
AG AF DG OD ===，即DG=1323AD ， ∴AD=503013·1813AB AF =⨯=， 则DG=133********⨯=．
【点睛】
圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
25．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？
【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.
【解析】试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，
解得x1=20，x2=1．则100﹣4x=20或100﹣4x=2．∵2＞21，∴x2=1舍去．即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程的应用．
26．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF试说明AC=EF；求证：四边形ADFE是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】（1）一方面Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF∥AD．
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．
∴四边形ADFE是平行四边形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
2．分式方程
2
1
3
x
x
=
-
的解为（）
A．x=-2 B．x=-3 C．x=2 D．x=3
【答案】B
【解析】解：去分母得：2x=x﹣3，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B．
3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是()
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【解析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，。