2020-2021学年北师大版高二数学(理)下学期期末复习教学质量检测及答案

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-2
高二期末质量检测试题
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B 铅笔将答案涂在答题卡上。

第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上。

考试结束后，只收答题卡和答题纸。

2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。

3．全卷满分150分，考试时间120分钟。

附：独立性检验临界值表
2
2
()()()()()()
a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++
P 2
0()k χ≥ 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072 2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
最小二乘法求线性回归方程系数公式1
2
21
ˆi i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆa y bx
=-)
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一
项是符合题目要求的）
1．复数),(R b a bi a ∈+的平方是实数等价于
（ ）
A ．02
2=+b a B ．0=a 且0=b C ．0≠a D ．0=ab
2．一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中各取一
本书的取法共有
（ ）
A ．5种
B ．6种
C ．11种
D ．30种
3．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是
（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．用反证法证明：“a>b ”.应假设
（ ）
A ．a>b
B ．a<b
C ．a=b
D ．a ≤b 5．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2013(x)＝
（ ） A ．sinx B ．－sinx C ．cosx
D ．－cosx
6．实验测得四组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是
（ ）
A ．$y =x ＋1
B ．$y =x+2
C ．$y =2x+1
D ．$y =x －1
7．若函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，且()f x '是函数()f x 的导函数，则(1)f '=
（ ）
A ．24
B ．﹣24
C ．10
D ．﹣10
8．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率
是b ，纵截距是a ，那么必有
（ ）
A ．b 与r 的符号相同
B ．a 与r 的符号相同
C ．b 与r 的相反
D ．a 与r 的符号相反
9．下列命题中不正确的是
（ ）
A ．若ξ ~B(n,p)，则E ξ = np ，D ξ = np(1－p)
B ．E(a ξ + b) = aE ξ + b
C ．D(a ξ + b) = a
D ξ
D ．D ξ =
E ξ2
－(E ξ )2
10．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为
（ ）
A ．24
B ．36
C ．48
D ．96
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 11.
⎰-1
)1(dx x =.
12．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则a 的值为.
13．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取
到的2个数均为偶数”，则P(B ︱A)=.
14．若5
2
3
4
5
012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则012345a a a a a a -+-+-=
.
15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于
一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为
.
三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）（1）设i 是虚数单位，将i
i
-+11表示为a+bi 的形式（a ，b ∈R ），求a+b; （2）二项式(
3
1
x
－
2
x )n
展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍，求n.
17．（本小题满分12分）在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表； （2）试判断是否晕机与性别有关？
18．（本小题满分12分）从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排
成一排． （1）共有多少种不同的排法？
（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？
19．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. （1）写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论.
20．（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，
求：（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值x (元)的概率分布列和期望Ex.
21．（本小题满分13分）设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4.
（1）求a、b、c的值；
（2）求函数的递减区间．
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．D 2．D 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．B 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
11．2
1-
12．13 13．1
414．32
15．三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得：i
i
-+11= i ∴a+bi=i 得a=0，b=1，所以a+b=1 （2）二项式的通项T r+1=C r n
(
3
1
x
)n —r
(﹣2r )r
=(﹣1)r r 21C r n
r n x 34
31+- 依题意C 4n =4(﹣1)
2
212
C 2
n ， 解得n=6. 17．（本小题满分12分）
（1）解：根据题意得2×2列联表如右表：
（2）假设是否晕机与性别无关，则2k 的观测值
2140(28562828)35 3.889568456849
k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 所以2
( 3.841)0.05P k ≈≥，我们有95％的把握认为是否晕机与性别有关.
18．（本小题满分12分）
解：（1）从4名男生中选出2人，有24C 种方法，从6名女生中选出3人，有36C 种方法，根据分
步计数原理，选出5人共有2
3
46C C ⋅种方法．然后将选出的5名学生进行排列，于是，所求的排法种数
是 235465C C A 62012014400⋅⋅=⨯⨯=，
故所求的排法种数为14400．
（2）在选出的5人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，有33A 种排法，第二步让男
生插空，有2
4A 种排法，因此所求的排法种数是
23324634C C A A 6206128640⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=，
故选出的5人中，2名男同学不相邻共有8640种排法． 19.（本小题满分13分） 解：(1) a 1＝
23, a 2＝47, a 3＝815, 猜测 a n ＝2－n 2
1 (2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立； ②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－
k
21
,
当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,
且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,
∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－12
1+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N +
, a n ＝2－n 2
1都成立。

20．（本小题满分13分）
解:（1）2
621015211453
C P C =-=-=，即该顾客中奖的概率为32
.
（2）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.且
211211
63631622221010101011132101212
(0),(10),(20),(50),
3515151
(60).
15
C C C C C C P P P P C C C C C C P C ξξξξξ===============
故ξ有分布列：
从而期望.1615
601550152051030=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
21．（本小题满分13分） 解：（1）函数的图象经过（0，0）点
∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2
+2ax+b ∴ 0=3×02
+2a ×0+b ，得b=0 ∴y=x 3
+ax 2
，'y =3x 2
+2ax
当a x 32-
<时，0'y <，当a x 32
->时，0'y > 当x=a 32-时，函数有极小值－4 ∴4)3
2()32(23-=+-a
a a ，得a=－3
（2）'y =3x 2
－6x ＜0，解得0＜x ＜2
∴ 递减区间是（0，2）。