(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（ ） A ．4
B ．8
C ．16
D ．24
3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且433
1
S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
4．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若
11
n n S n T n -=+．则5
5
a b =（ ） A ．
23
B ．
45
C ．
32
D ．
54
5．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令
2
1
n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实
数λ的取值范围是（ ） A ．13
λ≥
B ．15
λ>
C ．15
λ≥
D ．0λ>
6．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a Y n
-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数
列{}n a 的“美值”1
2n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的
*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．712,
35⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．712,35⎛⎫
⎪⎝
⎭ C ．167,73⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．167,73⎛⎫
⎪⎝
⎭ 7．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和
为（ ） A ．
11
n + B ．
1
n n + C ．
1
n n
- D ．
1
1
n n -+ 9．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线11
2
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为（ ） A ．
10
11
B ．
910
C ．
89
D ．2
10．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-
D ．6236n n S n =⨯--
11．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -
B ．2n
C ．12n +
D ．22n -
12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n +++
+=++，则n a = __________.
14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
，则10S =______. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则
5
5
S a =_________． 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________. 17．在等比数列{}n a 中，251
4,
2
==
a a ，则公比q =__________． 18．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和
n S =___________.
19．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；
③S n ＝2a n +
1
p
（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时
n =________．
三、解答题
21．给出以下三个条件：①11a =，22
121n n a a n +-=+，*n N ∈；②22n n S a n =+，
*
n N ∈；③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充
完整，并求解.
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12n a n
n n
S b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()
*
121n n S S n N +-=∈.
（1）求证：数列{}n a 为等比数列 （2）若数列{}n b 满足：11b =，11
12n n n b b a ++=+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12
1n n n n b a a a ++=
⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
24．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .
若214,n n n a S S a +==+ （1
）求证：数列是等差数列；
（2
）设n b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()
*
11n n a S n +=+∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=
++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1
2
n T <.
26．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且
()()*612,n n n S a a n =++∈N .
（1）求{}n a 的通项公式： （2）设数列{}n b 满足,2n n n
a n
b n ⎧=⎨
⎩
是奇数
，是偶数，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】
解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)
222
n n n n ----=
+⨯ 2
2235335353()157()157232624
n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为53
96
x =
≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402
min S ⨯-⨯+==．
故选：C ． 【点睛】
本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解． 【详解】
∵{}n a 是等比数列，∴2
931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，
∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==． 故选：C ．
关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则
m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．
3．B
解析：B 【分析】
首先根据题中所给的条件433
1
S S S =-
，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-
可得43
1
a S =-， 若1q =，则11
1
3a a =-
显然不成立，所以1q ≠， 所以
()
312111q a a q q -++=，即()232
111q q a q +=-+， 因为2
2
131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝
⎭，210a >，所以3
0q <，所以0q <，
当1q ≤-时，31q ≤-，2
11q q ++≥，
因为11a >，则()
232
111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，
()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，
所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到
()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.
4．B
解析：B 【分析】
本题首先可令9n =，得出
994
5
S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入
994
5
S T =中，即可得出结果.
因为1
1
n n S n T n -=+，所以
99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +=
=，()1995992
b b T b +==，
则95959459S a T b ==，
554
5
a b =， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()
12
n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.
5．A
解析：A 【分析】
根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得
n a ，进而可得211111
()(21)(23)42123
n n n b a a n n n n +=
==--+-+，利用裂项相消法即可
求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2
141214()
()[
]2
a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*
12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，
所以211111
()(21)(23)42123
n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以
1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=
11111111(1)()432123342123
n n n n +--=-+++++， 因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立， 所以
111()042123n n +>++，即1
3
n T <，
所以13
λ≥. 故选：A
【点睛】
解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
6．C
解析：C 【分析】
由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得
22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解
【详解】
由1112222n n n n a a a Y n
-+++⋅⋅⋅+==可得11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，
当2n ≥时()2
12122
21n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，
又因为11
12222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，
两式相减可得：()()1
112
2221n n n n n n n n a -+=--=+，
所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤，
解得：
16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一
式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，
7．B
解析：B 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．B
解析：B 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S =
∴11
4582836a d a d +=⎧⎨+=⎩
∴11
1a d =⎧⎨
=⎩
∴n a n =，则11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和为1111111111122334111n
n n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪
++⎝⎭；（2）
1k
=； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）()()11122n n n =++ ()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的
问题，导致计算结果错误.
9．A
解析：A
【分析】
由题意可知，直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和. 【详解】 由于直线112
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则11
12
a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2
221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，
()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()12212
2
n n n a a n n S n n ++=
=
=+，
()111111
n S n n n n ∴
==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．D
解析：D 【分析】
利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】
因为23n n S a n =-①，
当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，
①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，
所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，
所以1362n n a -+=⨯，所以1
623n n a -=⨯-，
所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，
()11263623612
n n n S n n ⨯-=⨯
-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
11．A
解析：A 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，
∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.
12．A
解析：A 【解析】
设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.
二、填空题
13．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n
【分析】
对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；
【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n +++
+=++①
2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -+++
+-=-+② ①-②得31,31n n
na n n a n ，
1n =时，1
123=6,a 满足上式，31n
a n .
故答案为：31n . 【点睛】
数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.
14．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题
【分析】
先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}
2
n S 是首项为1，公差为1的
等差数列，即可求出10S . 【详解】 当1n =时，1
111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，1
1
1
12
n
n n n n
S S S S S ，整理可得2
2
11n n S S --=，
2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 21
11n S n n ，
{}n a 是正项数列，n S ∴=
10
10S .
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.
15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故
解析：
3116
.
【分析】
先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121
212n n n
n S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得
()122n n
a n a +=≥，再结合212a
a =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用
等比数列的相关公式计算5
5
S a . 【详解】
由121(2)n n S S n -=+≥ ①得
12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，
得：121n n S S +=+②， ②-①得：()122n n a a n +=≥，即
()1
22n n
a n a +=≥ 又2
1
2a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4
4
51216a a q =⋅==，
(
)()5
5
151********
a q S q
-⨯-=
==--，故5
5
3116
S
a =
. 故答案为：3116
【点睛】
本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.
16．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所 解析：217n -
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得
231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222
d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯
，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数， 所以()()()2131313112
222
n d S d n n n n d a n d d n n n --=+
⎛⎫--+
+ ⎪⎝=
⎭
=-，
由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222
d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-
≤⨯， 解得
131376
d ≤≤， 所以2d =，所以1215a a d =-=-，
所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.
17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：
1
2
【分析】
本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组214
51412a a q a a q ==⎧⎪
⎨==⎪⎩
解题即可. 【详解】
解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，45
1a a q
∵24a =，512a =，∴ 214
51412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：18
12a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩
， 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查等比数列的基本量法，是基础题.
18．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键
解析：()1
1332
n n +--
【分析】
根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】
由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，
因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，
所以11333n n n a -+=⨯=，所以31n
n a =-，
所以123
3333n n S n =+++
+-
3(13)13
n n -=--
()1
1332
n n +=
--. 故答案为：()1
1332
n n +-- 【点睛】
关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.
19．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解
解析：①③ 【分析】
选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用
12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间
的关系即可作出判断. 【详解】
在①中，令1m n ==，得2
21a a =；
在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即
12n n a a +=；
在③中，1111
2,2n n n n S a S a p p
++=+
=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，
若选①②，则2
2112,1
a a a a ⎧=⎨
=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；
若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n
a 的公比为2，由 2
21111221
212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪
⎪+=+
⎪⎩
得 12
12a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】
思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：
（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.
20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题
解析：10 【分析】
根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】
7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>
即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】
本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
三、解答题
21．（1）条件性选择见解析，n a n =；（2）12n n T n +=⋅.
【分析】
（1）选择①，由累加法求得2
n a ，从而得n a ；选择②，由当2n ≥时1n n n a S S -=-得出
数列{}n a 的递推关系，利用0n a >排除一个，由另一个得出通项公式n a ；选择③，类似
选择②求出通项221
1
n n a ++，从而得n a ．
（2）由（1）可得n b ，然后用错位相减法求和n T ． 【详解】 （1）选择①，
因为22
121n n a a n +-=+，*n ∈N ， 所以2n ≥时，22
21211a a -=⨯+， 2232221a a -=⨯+，
()221211n n a a n --=-+，2n ≥，
所以当2n ≥时，()()22
1212311n a a n n -=++++-+-⎡⎤⎣⎦，
因为11a =，
所以当2n ≥时，22
n a n =，
当1n =时，也满足上式. 因为0n a >，所以n a n =. 选择②，
因为2
2n n S a n =+，
所以当2n ≥时，2
1121n n S a n --=+-，
两式相减，得22
121n n n a a a -=-+，
即()2
2
11n n a a --=，
所以11n n a a --=或11n n a a --=，
因为2
1121a a =+，所以11a =，
因为0n a >，所以11n n a a --=舍去， 所以11n n a a --=，即11n n a a --=，2n ≥， 所以n a n =. 选择③，
因为数列2211n n a ⎧⎫
+⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为n ，
所以当2n ≥时，()22
1111
n n n n a +=--=+，即2
2n a n =， 当1n =时，2
111
11
a +=+，即211a =，也满足上式，
所以22
n a n =，
因为0n a >，所以n a n =. （2）
()()11122212n n a n n
n n
n n S b n a n
+++⨯
==
=+⋅， 所以()1212223212n n n T b b b n =++
+=⋅+⋅+
++⋅，
()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅+
+⋅++⋅，
所以(
)()2
3
1422212n n n T n +-=+++
+++⋅
()()1141241212
n n n -+-=+
-+⋅-
12n n +=-⋅，
所以1
2n n T n +=⋅.
【点睛】
方法点睛：本题考查累加法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
22．（1）证明见解析；（2）1
12n n b n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
，()14242n
n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）由121n n S S +-=，得()1212n n S S n --=≥，两式相减得12n n a a +=，结合11a =，计算出2a ，确定212a a =，从而证明出等比数列； （2）由（1）求得1n a +，对{}n b 的递推关系式变形得数列{
}
1
2n n b -是首项为1，公差为1
的等差数列.，从而求得1
2n n b -，得出n b 后用错位相减法求得和n T ．
【详解】
（1）证明：由11a =，121n n S S +-=，得()1212n n S S n --=≥， 两式相减，得120n n a a +-=，
因为11a =，由()12121a a a +-=，得22a =，所以2
1
2a a =， 所以
1
2n n
a a +=对任意*N π∈部成立. 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2； （2）由（1）知，1
2
n n
a ，11111222n
n n n n b b b a ++⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
，
即1
1221n n n n b b -+=+，
因为11b =，所以数列{}
1
2n n b -是首项为1，公差为1的等差数列.
所以1
211n n b n n -=+-=，所以1
12n n b n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
.
②设数列{}n b 的前n 项和1
11
1123242n n T n -⎛⎫
=+⋅+⋅+
+⋅ ⎪
⎝⎭
，
1111
1232248
2n
n T n ⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭
，
相减可得1
1
11111112112
2422212
n n
n
n n T n n --
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
++⋯+-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭-， 化简可得数列{}n b 的前n 项和为()14242n
n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查求等差、等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
23．（1）n a n =；（2）()()
23412n n
n n +++.
【分析】
（1）由已知求得1a 和公差d ，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和． 【详解】
（1）因为数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，结合332S a =，8522a a =-，
()
()111
133227242a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨
+=+-⎪⎩ 解得：11a d == 所以11n a n n =+-= （2）()()()()()12
11111
122112n n n n b a a a n n n n n n n ++⎡⎤=
==-⎢⎥⋅⋅+++++⎣⎦
()()()111111111
21223223342112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
所以()()()()
211132212412n n n
T n n n n ⎡⎤+=-=
⎢⎥++++⎣⎦． 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n
项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 24．（1）证明见解析；（2）21
n n
T n =+. 【分析】
(1)利用+1+1n n n a S S =-，消去n S
，因式分解后得到数列为等差数列，求通项公
式； (2)先根据n b =求出2(
1)
n b n
n =+，再拆项为211
2()(1)1n b n n n n =
=
-++，然后求和．
【详解】
解：（1）由题意得，
1n n n S S
a +-=1n n a a +-=
∴
1=2=1=，
∴
数列
是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1
n =，∴2
n a n =，
依题意，()21
1211n b n n n n ⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
， ∴1111121223
1n T n n ⎛⎫
=-+-+
+
- ⎪+⎝⎭
122111
n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 25．（1）12n n a ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式； （2）把1
2
n n a 代入()()111n n n n a b a a +=
++，用裂项相消法求出n T ，再证明1
2
n T <.
【详解】
解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+，2123S a a =+=
∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n
a
（2）由（1）知()()()()1111211
1121212121n n n n n n n
n n a b a a ---+===-++++++. ∴120112111111
1212121212121n n n n
T b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
011111
21212212n n
=
-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；
(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．
26．（1）31n a n =-；（2）12244
33
n n T n n +-=+-.
【分析】
（1）令1n =，结合111a S =>可得12a =，由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得13n n a a +-=即可求{}n a 的通项公式；
（2）24221321()(222)n n n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组并项求和，以及等差和等
比数列求和公式即可求解.
【详解】
（1）由()()11111126
a S a a ==++，即()()11210a a --=， 因为111a S =>，所以12a =，
由()()612n n n S a a =++，*n ∈N
可得()()111612n n n S a a +++=++，
两式相减可得()()()()11161212n n n n n a a a a a +++=++-++，
得()()1130n n n n a a a a +++--=，
又0n a >，得13n n a a +-=，
所以{}n a 是首项为2公差为3的等差数列，
故{}n a 的通项公式为31n a n =-.
（2）24221321()(222)n n n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
()242(28146222)4n n ++⋅⋅⋅+=++++-+
12(264)4(14)4432143
n n n n n n ++---=+=+--. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1n n a f n =-类型，可采用两项合并求解.。