B7-数学10-全等三角形1-学生版-刘慧、徐进

全等三角形1
知识精要
1.全等形
能够重合的两个图形叫做全等形
2.全等三角形
（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

注：（1）全等三角形并一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系。

（2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形，与原图形相比，它们只是位置发生了变化，而形状、大小都没有变；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能
够重合。

3.确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况
（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边
注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小。

4．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。

5．全等三角形的判定
判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等（SAS）判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等。

（ASA）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（AAS）判定4 ：在两个三角形中，如果有三条边对应相等地，那么这两个三角形全等（SSS）
热身练习
一．选择
1、如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：（）
A、ΔABD和ΔCDB的面积相等
B、ΔABD和ΔCDB的周长相等
C、∠A+∠ABD =∠C+∠CBD
D、AD//BC，且AD = BC
2．下列命题正确的是( )
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形D．全等三角形的周长、面积分别相等
3、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为1 , 则不正确的结论是（）
A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等C．三对角对应相等D．△ABC与△A'B'C'不全等
4、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的是（）
A.AC=ED
B.AC⊥ED
C.∠C+∠E=90°
D.∠D+∠C=90°
5、在△ABC和△A'B'C'中, 若∠A∶∠B∶∠C＝∠A'∶∠B'∶∠C' , 且AB＝A'B'下面的结论不成立的是（）
A．△ABC≌△A'B'C' B．∠A＝∠A ', ∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'
C．AC≠A'C' D．AC＝A'C', BC＝B'C'．
6、已知：如图, AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是（）
A.∠A与∠D互为余角
B.∠A=∠2
C.△ABC≌△CED
D.∠1=∠2 7．两个三角形的两边及其中一边所对的角相等，那么这两个三角形（）A．一定不全等B．不一定全等C．一定全等D．不能确定
8.两个三角形全等，下列说法不正确的是（）
A.它们的形状、大小、位置都相等
B.它们的对应角相等，对应边相等
C.它们的周长相等
D.它们经过运动变换后一定能重合
9．如图，△ACE≌△DBF，若∠E =∠F，AD = 8，BC = 2，则AB等于( ) A．6 B．5 C．3 D．不能确定
10．如图，ΔABC≌ΔADE，∠B = 70º，∠C = 26º，∠DAC = 30º，则∠EAC = ( ) A．27ºB．54ºC．30ºD．55º
(第9题图) (第10题图)
二．解答题
1.AC与BD交于点O，且AB∥CD，AO=CO，OB=OD,AB=CD
（1）写出图中的全等三角形
（2）写出（1）中全等三角形的对应顶点，对应角和对应边。

O
D C
B
A
2.已知△ABD≌△ACE，AD=3cm，BD=1cm,BC=6cm,求△ADE的周长。

E
D
C
B
A
精解名题
例1.如图5，已知ΔACF≌ΔDBE，∠E =∠F，AD = 9cm，BC = 5cm；求AB的长．
例2. △ABC≌△DEF，∠A=30°,∠B=50°,BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

E D
F
C
B
A
例3. 在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，且∠ABD=∠ACD ，请再增加一个条件，使 BE=CE 成立。

D
E C
B
A
例4.已知:如图,点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA ⊥AD,FD ⊥AD,垂足分别是 A 、D.求证:BE ∥CF
备选例题
例1. 已知BD,CE 是△ABC 的高，点P 在BD 延长线上，BP=AC,点Q 在CE 上，CQ=AB ，试证：AP=AQ 且
AP ⊥AQ.
Q
F
D
P
E
A
C
B
例2.已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C
巩固练习
一．填空
1、三角形全等的四种判定方法是：①__ __ ___②___ _ ___③___ ____④_ ____．
2、已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则___, ___．
3、已知:如图,△ABC≌△DFE,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是__ ____,另外两组对应角是__ __．
4、能够完全重合的两个图形叫做___ ______．
5、△ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，C旋转到D,这表明≌
C
E D
A B
D
O C
B A
6.已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，∠A=∠A 1，要使△ABC ≌△A 1B 1C 1，还需添加一个．．条件，这个条件可以是 .
7.如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD
=（只添一个即可）．
8、完成下面的证明．
已知：如图AB=CD , BE=CF , AF=DE ．求证：△ABE ≌△DCF 证明：∵AF=DE(已知)
∴AF-EF=DE-EF( ) 即AE=DF 在△ABE 和 △DCF 中 ∵AB=CD , BE=CF( ) AE=DF( ) ∴△ABE ≌△DCF( )
自我测试 一．选择
1．如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示❒ABC 、❒ACD 、 ❒EFG 、❒EGH 。

若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70︒，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG =50︒，则下列叙述何者正确？ ( )
(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等 (C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等
G
50︒ A
B
C
D E
F
70︒
50︒
70︒
50︒
70︒
50︒
70︒
H
甲
乙
丙
丁
A B
C
D
E F
2．如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80o
到OCD △的位置，已知45AOB ∠=o
，则AOD ∠等于（ ）
A ．55o
B ．45o
C ．40o
D ．35o
3. 如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC,AD ⊥BC,BE 平 分∠ABC ，交AD 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB=BF
B.AE=ED
C.AD=DC
D.∠ABE=∠DFE ，
4. AD,BE,CF 是△ABC 的高，沿AD 翻折，点F 与点E ，点B 与点重合，那么图中全等的三角形有（ ）
A.3对
B.5对
C.6对
D.7对
5.给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形，所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是（ ） A ．两角及夹边 B.两边及夹角 C.两角及其中一个角的对边D.两边及其中一条边的对角
6.下列判断错误的是 （ ）
A ．全等三角形的所有边都相等
B.已知三角形的两条边及其中一条边的对角，所画的三角形不一定是唯一的
C.全等形的周长、面积一定对应相等 D ．确定一个三角形至少要有一个元素是边 二．解答题
1.已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂足分别为A , C ． 求证：AD=BC
2.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
3.已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D
4.如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等,那么这两个三角形全等．
5.已知：如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.求证：OD＝OE．
6.已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =． 求证：AC CD =．
A C E D
B。