高三数学第三次模拟考试卷理扫描版

安徽省安庆市高三数学第三次模拟考试卷理（扫描版）
2013年安庆市高三模拟考试（三模） 数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 选项 B A C C D
D C C A C
1．解析：∵i i i i
8)2()1()11(3
66=-=-=+，故选B 。

2．解析：x x x x g 2cos )2
2sin(]3)12(2sin[)(=+
=+
+
=π
π
π
，故选A 。

3．解析：3lg lg lg 963=++a a a ⇒10101063
363963=⇒=⇒=a a a a a ，
∴1002
6111==a a a ，故选C 。

4．解析：当 x 为直线， y 、 z 为平面时，x 可能在平面y ；故A 错； 当 x 、 y 、 z 为平面时，x ， y 可能相交； 当 x 、 y 为直线， z 为平面时， x ∥ y 当 x 、 y 、 z 为直线时，x ， y 可能相交也可能异面； 故选C 。

5．解析：由100111≤<⇒≥-⇒≥x x
x x ，100)1ln(<≤⇒≤-x x ， 故选D 。

6
．解析：4(4x t
t y t
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数），03=+-⇒y x ，
ρθ=⇒2)2(22=-+y x ，
∴圆心到直线的距离为22
23<-=d
故选D 。

7．解析：∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥，不妨设点P 在右支上，
∴22121222212||||2||||4||||b PF PF a
PF PF c PF PF =⇒⎩⎨⎧=-=+，∴221||||2121b PF PF S F PF ==∆，
故选C 。

8．解析：由12
123)(23
++-
=x x x x f 21
33)('2+-=⇒x x x f
21036)(''=⇒=-=⇒x x x f ，∴1)21(=f ，∴)(x f 的对称中心为)1,21
(，
∴2)()1(=+-x f x f ，∴2013)2014
2013()20142()20141(
=+++f f f ，故选C 9．解析：
7
4cos
72cos 7cos πππ⋅⋅=S 817
sin
878sin 7sin 274cos 72cos 7cos 7sin
233-==⋅⋅=ππ
πππππ
，
故选A 。

10．解析：∵ )2lg()(2
a bx ax x f ++=的值域为R ，
∴⎩⎨⎧≠=00b a 或⎩
⎨⎧≥-=∆>04402
2a b a ⇒⎩⎨⎧≠=00b a 或⎩⎨⎧≥+->0))((0a b a b a 画出可行域如右图所示，由2
2
)1()2(-++b a 的几何意义知：
4)1()2(22≥-++b a ，故选C 。

二、填空题：（本题共5小题， 每小题5分，共25分。

） 11. )8
1
,0(； 12.0.050；13. {}n
n
T 是公比为
q 的等比数列；14.
25
8
；15. ①③④ 11．解析：y x x y 2122
2
=
⇒=，∴焦点坐标为)8
1,0( 12．解析： 841.32857.47
3010201614)82812(3022
>==⨯⨯⨯⨯-⨯=
K ， ∴错误的概率不超过.。

13．解析：∵n
n n n b b b T 1
21)(⋅⋅= n
n n q
b 1
1211
)(-+++=
()
1
1
12
)1(1
)(--==n n
n n n q b q
b ，∴
{}n
n
T 是公比为
q 的等比数列。

14．解析：从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，
共有3004
5331335=+⋅A A C C （个），∵0+1+2+3+4+5=15，∴这个四位数能被3整除只能
由数字：
1，2，4，5； 0，3，4，5；0，2，3，4；0，1，3，5；0,1,2,3组成，所以能被3整
除的有：9643
31344=⨯+A C A
∴这个数能被3整除的概率为25
8
30096=
=
P . 15．解析：由a 、b 、c 成等差数列，则ac b ac b c a b ≥⇒≥⇒+=2
222，故①正确；
∴
b
b b a
c b ac c a c a 2
22112=≥=+=+，∴②不正确； ∴04
)(24)(22
222222
≤--=+-+=+-
c a c a c a c a b ，∴③正确； 由正弦定理得：C A B c a b sin sin sin 22+=⇒+=
2cos 2sin 2cos 2sin
2C A C A B B -+=⇒ 2cos 2cos 2cos 2cos 2C
A B B C A -=+⇒
2cos 2cos 2C
A C A -=+⇒
2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 22cos 2cos 2C
A C A C A C A +=-⇒
2sin 2sin 32cos 2cos C A C A =⇒
3
12tan 2tan =⇒C A
又由余弦定理得：ac b c a B 2cos 222-+=ac c a c a 8)(442
22+-+=
218482)(322=≥-+=ac ac ac ac c a ，∴30π≤<B ，∴3
1
2tan 2≤B ，
∴2
tan 2tan 2tan
2
C
A B ≤成立，故①③④正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。

16．解析：（1）设)sin ,(cos θθP ，),,0(t N P 、N 、A 共线，设AP AN λ=,R ∈λ …① 又)0,1(-A ，所以),1(t =，)sin ,1(cos θθ+=，代入①，解得θ
θ
cos 1sin +=t ，
∴)cos 1sin ,
0(θθ+N ,同理)0,sin 1cos (θ
θ
+M . …………（4分）
（2）由（1）知)sin ,cos (θθ--=，
)sin ,sin 1cos sin ()sin ,cos sin 1cos (θθ
θθθθθθ-+-=--+=PM ，
)cos 1cos sin ,cos ()sin cos 1sin ,cos (θ
θ
θθθθθθ+--=-+-=， …………（6分）
代入PN y PM x PO +=，得：
y x )cos (sin 1cos sin cos θθ
θ
θθ-++-
=-，
y x θ
θ
θθθcos 1cos sin sin sin +-⋅-=-
整理得：θθθsin 1)sin 1(sin +=++⋅y x …②，
θθθcos 1cos )cos 1(+=⋅++y x …③。

②+③，解得：)
4
sin(211
1cos sin 11
1cos sin 1cos sin 2π
θθ
θθθθθ+
++
=+++=++++=
+y x ，
…………（10分）
由点P 在第一象限得2
0π
θ<
<，所以y x +的最小值为2． …………（12分）
17．解（Ⅰ）：ξ的所有可能取值为0，1，2．……（1分）
依题意得：3436C 1(0)C 5P ξ===，21
42
36
C C 3(1)C 5P ξ===
， 124236C C 1
(2)C 5
P ξ===． ……（4分）
∴ξ的分布列为
∴ 0121555
E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……（6分）
（Ⅱ）：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，
则()2
536C 1
C 2
P A ==， ……（8分）
()14
36C 1C 5P AB ==， ……（10分）
∴()()()2
5
P AB P B A P A ==．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
2
5
. ……（12分） 18．解析：（Ⅰ）∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G 。

连结BG ，则BG ⊥AD ，又
ABD EG 平面⊥，∴EG ⊥AD
∴BGE AD 平面⊥，∴BE AD ⊥即B A AD 1⊥。

……（5分） （Ⅱ）以C 点为坐标原点，分别以射线CA 为x 轴、CB 为y 轴、CC 1为z 轴建立空间直角坐
标系。

设点的坐标为A （a ,0,0），则点B （0,a ,0），A 1（a ，0，2），D （0，0，
1）。

……（6分） 由（Ⅰ）知B A
AD 1⊥，又(,0,1)AD a =-
，）（2,,1a a -=. 由201==⋅a 可得。

……（8分）
∴A ，
B ，(0,0,1)D ，1A .
)0,2,2(-=，)01,2(-=，1(2,BA =
设平面求ABD 的一 个法向量),,(z y x n =，
∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-x z x
y z x y x 20
2022，
取)2,1,1(),,(==z y x n ……（10分）
故2
1
2
222222=
⨯+-=
, 所以A 1B 与平面ABD 所成角的为
6
π。

……（12分） 19．解析：(1)∵x ax x f 8)(3
-=过点(2,0),P
∴2a =，3
()28f x x x =-, ……（2分） ∵86)('2
-=x x f ，∴切线的斜率(2)16k f '==. ∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c '''=+==+=……（1） 又∵2
()g x bx cx =+的图像过点(2,0),P 420b c ∴+= (2)
联立（1）（2）解得：8,16.b c ==- ……（4分） ∴2
()816g x x x =-；切线方程为16(2)y x =-，即16320.x y --=
∴3
()28f x x x =-，2
()816g x x x =-；切线为：16320.x y --= ……（6分） （2）∵)1ln()2()(-+-=x x m x F ，
∴11
()(1)
11mx m F x m x x x -+'=+
=>--
……（9分） ①当m<0时，1
[(1)]()1
m x m
F x x --
'=
-，
∵m<0，∴111m -
>。

又x >1，∴当1
(1,1)x m ∈-
时，()0F x '> ； 当1
(1,)x m
∈-+∞时，()0F x '<。

∴F(x)的单调减区间是1
(1,),m -+∞
单调增区间是(1，11m -)； ……（11分）
②当m ≥0时，显然F(x)没有单调减区间，单调增区间是(1，∞+)。

……（13分）
A
C 1
C B
B 1
A 1
D E G
20．解析：（1）将点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛5565104，代入112222=+y a x 解得162
=a ：
∴椭圆1C 为： 22
11612x y +=， ……（2分）
椭圆C 的离心率为2
1
=
e ∴双曲线2C 的离心率为2=e ， ……（3分） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+153653222
22
2n m m n m ⎪
⎩⎪⎨⎧==⇒1242
2n m ， ∴双曲线2C 为：221412
x y -= ……（6分）
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=112
162
2y x t kx y 消去y 化简整理得：04848)43(2
22=-+++t ktx x k 设()11A x y ，，()22B x y ，，则2
21438k
kt
x x +-=+ 0)484)(43(4)8(2221>-+-=∆t k kt ① ……（8分） 由⎪⎩⎪⎨⎧=-
+=112
422y
x t kx y 消去y 化简整理得：0122)3(222=----t ktx x k 设()34C x y ，，()44D x y ，，则2
4332k
kt
x x -=+ 0)12)(3(4)2(2222>+-+-=∆t k kt ② ……（10分）
因为0AC BD +=，所以42314231()()0,()()0.x x x x y y y y -+-=-+-=
由1234x x x x +=+得：2
232438k kt
k kt -=+-
． 所以0=kt 或22
41343k k -=+-．由上式解得0k =或0=t ． 当0k =时，由①和②得3232<<-t ．因t 是整数，
所以t 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．
当0=t
，由①和②得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．
于是满足条件的直线共有9条． ……（13分） 21．（1）证明：∵ 121++=
+n n n a a a ，5
7
1-=a ， ∴ 23
1572572-=+-+-
=a ，112
32
233-=+-+-=a ， 由于当13-=a 时，使递推式右边的分母为零。

∴数列}{n a 只有三项：571-
=a ，232-=a ，13-=a . ……（3分） （2）1
21++=+n n n a a a ，11=a 易知：0n a >， 又121++=
+n n n a a a 1111>++=n a ， ∴1≥n a ……（5分） 由12
1++=+n n n a a a 21
2
21-++=-⇒+n n n a a a
)2(1
2
121-+-=-⇒+n n n a a a
|2||1
2
1||2|1-⋅+-=-⇒+n n n a a a
n n n b a b ⋅+-=⇒+|1
2
1
|1，
n n n n n b b b a b <-≤
⋅+-=⇒+21
21121
即n n a a <+1
……（8分） （3）由（2）知： 1≥n a ， ∴1121)21
()21(2
1112b b b b a b n n n n n n <<<≤⋅+-=-+ ∵12|2|11-=-=a b ， ∴111
)21
)(12()21(---=≤n n n b b
……（11分） ])21(211)[12(121-+++-≤+++=n n n b b b S
2)12(22
1
1)21
(1)12(<-<---<n
， ∴2<n S ……（13分）。