新教材人教b版必修第三册824三角恒等变换的应用课件1

第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2.4 三角恒等变换的应用
1.能用二倍角公式导出半角公式,并能进行简单的应用. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧. 3.掌握三角恒等变换在三角函数性质中的应用. 4.体会三角恒等变换中的基本思想方法,加强逻辑推理和数学运算能力的培养.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
2
∴cos 2A+cos 2B+cos 2C =2cos2A-1+cos 2B+cos 2C =2cos2B+2cos2C-1+4cos Bcos C+cos 2B+cos 2C =2cos 2B+2cos 2C+4cos Bcos C+1 =4cos(B+C)cos(B-C)+2[cos(B+C)+cos(B-C)]+1 =-2cos(B+C)+2cos(B+C)-1+1=0,
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归 一或变更论证.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
1.(★★☆)求证:
1
sin 4θ-cos 2 tan θ
4θ
=
1
sin 4θ cos 1-tan 2θ
4θ
.
思路点拨: 先将原式转化,左右统一名称,然后左右归一证明.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
2
思路点拨: 根据题意,利用同角的三角函数关系和两角和与差的公式,求出cos(B-C)=- 1 ,再求出
2
cos 2A+cos 2B+cos 2C=0,利用降幂公式即可求出cos2A+cos2B+cos2C的值.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
证明 由已知得sin A=-(sin B+sin C), cos A=-(cos B+cos C), ∵sin2A+cos2A=1, ∴(sin B+sin C)2+(cos B+cos C)2=1, ∴sin2B+2sin Bsin C+sin2C+cos2B+2cos Bcos C+cos2C=1, ∴2+2cos(B-C)=1, 即cos(B-C)=- 1 ,
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面,其基本方法是统一角,统一三 角函数的名称.常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次, 切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的三角函数互化等.在具体实施过程中,应着 重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等,找到突破口,利用切化 弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.最后结果应满足以下几点:(1)能求值 尽量求值;(2)三角函数名称尽量少;(3)项数尽量少;(4)次数尽量低;(5)分母、根号下 尽量不含三角函数. 解题模板
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
1|半角公式的运用
利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的二倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号做准备.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常利用tan
α 2
=
1
sin α cos
α
=
1-cos α sin α
计算;涉及半角
公式的正、余弦值时,常利用sin2 α =1-cos α ,cos2 α =1 cos α 计算.
1-cos2θ =-
1- 9 =- 4,
25 5
∴tanθ
2
=
1- cos θ sin θ
=
1-
-
3 5
-4
=-2.
5
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
2|三角恒等式的证明与化简
(1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简; (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子; (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异, 即化异求同; (4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“ 左边 =1”;
右边
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明 显的事实为止,就可以断定原等式成立.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样,主要证明方法有:从左证到右;从右证 到左;左右归一或变更命题.选择哪一种证法的依据是“化繁为简”.在确定了“化 繁为简”的目标后,还应注意以下几点: (1)强化“目标意识”,就是在证明过程中,应盯住目标,逐步向它靠拢; (2)强化“化异为同”的意识,即化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次,这就 需要找到待证明的三角函数式与目标函数式之间的差异,并寻找它们之间的联系, 再利用三角公式进行恒等变换,使之相互转化,其常用方法有直推法、代入法、换 元法等.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
∴cos2A+cos2B+cos2C
=1 cos 2A +1 cos 2B +1 cos 2C
2
2
2
= 3 + 1 (cos 2A+cos 2B+cos 2C)= 3 .
22
2
22
22
பைடு நூலகம்
(4)下结论:结合(2)求值.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
(★★☆)已知cos θ=- 3 ,且180°<θ<270°,求sin θ 和tan θ 的值.
5
2
2
思路点拨:
已知条件中的角θ与所求角中的 θ 成二倍关系,可利用半角公式求值.
2
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
解析 解法一:∵180°<θ<270°,
1|
半角公式
以α代替2α,以
α 2
代替α
cos 2α 1-2sin2α cos α 1-2sin2 α sin α ①
2
2
1- cos 2
α
α
cos 2α 2cos2α-1 cos α 2cos2 α -1 cos α ②
2
2
③ 1 sicnoαs
α
或
1-cos α sin α
证明
要证原式,可以证明
1 sin 4θ-cos 4θ 1 sin 4θ cos 4θ
=
2 tan θ 1-tan 2θ
.
∵左边= sin 4θ (1-cos 4θ)
sin 4θ (1 cos 4θ)
=
2 sin 2 sin
2θ 2θ
cos cos
2θ 2θ
2sin2 2θ 2cos2 2θ
= 2sin 2θ( cos 2θ sin 2θ)
(有理形式)
1
cos 2
α
⇒tan
2
= ④ 1-cos α (无理形式)
1 cos α
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
2 | 三角变换公式
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
α
=
1.cos(α ✕ )
2
2
只有当- π +2kπ≤ α ≤ π +2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos α = 1 cosα .
2
22
2
2
α∈R,sin = sin α都α不成1 立.( ✕ )
22
当α=2kπ(k∈Z)时,sin α = 1 sin α成立.
22
α是第一象限角,则tan = α 1-co. sα( √ )
2 1 cos α
若α是第一象限角,则 α 是第一、三象限角,此时tan
α
=
1-cos α .
2
2 1 cos α
2cos 2θ(sin 2θ cos 2θ)
=tan 2θ,
右边=
2 tan θ 1-tan 2θ
=tan
2θ,
∴左边=右边,
∴原式得证.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
2.(★★☆)已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C= 3 .
∴90°< θ <135°,即 θ 是第二象限角.
2
2
∴sinθ = 1-cosθ = 2 5 ,且tan θ <0,
2
2
5
2
∴tan θ = -
2
1-cosθ =-
1 cosθ
1-
-
3 5
=-2.
1
-
3 5
解法二:sinθ 的求法同解法一.∵180°<θ<270°,即θ是第三象限角,
2
∴sin θ=-