人教版八年级数学上册 教案：15.2.2 第2课时 分式的混合运算1【精品】

第2课时 分式的混合运算
1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点)
2．能够运用分式加减乘除法则解决混合运算的实际问题．(难点)
一、情境导入
提出问题：
1．说出有理数混合运算的顺序．
2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？ 今天我们共同探究分式的混合运算．
二、合作探究
探究点：分式的混合运算
【类型一】 分式的化简
计算：
(1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a
； (2)(＋x
x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）a
＝2a ＋12； (2)原式＝x 3
（x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3
（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x 2
.
方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【类型二】 分式的化简求值
先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1
)，再从－4＜＜4的范围内选取一个合适的整数代入求值．
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从的取值范围内选取一数值代入即可．
解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1x －2
，令＝0(≠±1且≠2)，得原式＝12
. 方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【类型三】 已知a ＋1a ＝5，求a 2a 4＋a 2＋1
的值． 解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2
a 4＋a 2＋1
的分子、分母颠倒过，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2
的值，再利用公式变形求值就简单多了． 解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124
. 方法总结：利用和1x
互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
【类型四】 分式混合运算的应用
甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，
乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．
(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？
(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．
解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b
＝2ab a ＋b ； (2)甲的平均价格－乙的平均价格为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab 2（a ＋b ）
＝（a －b ）22（a ＋b ），∵a ≠b ，∴（a －b ）2
2（a ＋b ）
＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．
方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．
三、板书设计
分式的混合运算
分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．
在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．。