中考数学专题复习三 开放型问题_初三专题复习课件

又∵BE＝x＝3＝12BC， ∴点 E 为 BC 的中点． ∴AE⊥BC，∴AE＝ AB2－BE2＝4. 此时，EF⊥AC，∴EM＝ CE2－CM2＝152. ∴S△ AEM＝12AM ·EM＝ 12×156×152＝9265.
方法总结 先假设问题的结论正确，然后再根据条件进行推 理，若得出正确的结论，则假设成立，否则就不成立.
【答案】 不唯一，如∠B＝∠E(或∠A＝∠D 或 AC ＝DC)
方法总结 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按照 三角形全等的判定方法确定缺少的条件.
考点二 结论开放型 例 2 (2013·吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分) 6 ． (2013·娄 底 ) 如 图 ， AB ＝ AC ， 要 使 △ABE≌△ACD ， 应 添 加 的 条 件 是 ∠C ＝ ∠B( 或 ∠AEB＝∠ADC 或∠CEB＝∠BDC 或 AE＝AD 或 CE ＝BD) (添加一个条件即可)．
解析：若根据 SAS 证明时，则可以添加 AE＝AD 或 CE＝BD；若根据 ASA 证明时，则可以添加∠C＝ ∠B；若根据 AAS 证明时，则可以添加∠AEB＝∠ADC 或∠CEB＝∠BDC.
解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B. ∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE.∴△ABE∽△ECM.
(2)能构成等腰三角形．理由如下： ∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM. 当 AE＝EM 时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝1. 当 AM＝EM 时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA.
(1)求证：△ABE∽△ECM； (2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构 成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明 理由； (3)当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积．
【点拨】(1)利用全等三角形的对应角相等确定相 似的条件；(2)分情况讨论，显然 AE，AM 不能作腰， 讨论当 AE，EM 作腰时，求得 BE＝1；当 AM，EM 作 腰时，利用△CAE∽△CBA 求得 CE，进而求出 BE 的 值；(3)设 BE 为 x，通过相似用 x 表示出 CM，进而表 示出 AM，通过二次函数顶点确定 AM 的最小值，进而 确定重叠部分的面积．
5．如图，已知矩形 ABCD，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分 别为 M 和 N，则 M＋N 不可能是( D )
A．360° C．720°
B．540° D．630°
解析：直线将四边形分割成两个三角形，内角和为 360°；分割成一个三角形，一个四边形，内角和为 540°； 分割成两个四边形，内角和为 720°，所以不可能得到 630°.故选 D.
2．(2013·贵阳)如图，M 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上 异于 B，C 的一定点，过点 M 作直线截△ABC，使截 得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( C )
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
解析：过点 M 分别作 AC 和 AB 的平行线，截得的 三角形与△ABC 相似；过点 M 作 BC 的垂线，截得的 三角形与△ABC 相似．故选 C.
AC AB 成比例且夹角相等的两个三角形相似得证．
三、解答题(共 60 分)
11 ． (12 分 )(2013·东 营 ) 先 化 简 ， 再 计 算 ：
a2－1 a2－2a＋1
·aa－ ＋11－
a a－1
，再选取
一
个
你
喜
欢的数
代
入
求值．
解：原式＝a2－a2－2a1＋1·aa－ ＋11－a－a 1 ＝a＋a1－a1－ 2 1·aa－ ＋11－a－a 1 ＝1－a－a 1＝1－1 a. 选取任意一个不等于±1 的 a 的值，代入求值．如： 当 a＝0 时，原式＝1－1 a＝1.
8．一个 y 关于 x 的函数同时满足两个条件：①图 象过(2,1)点；②当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．这个 函数的解析式为 y＝2x(或 y＝－x＋3 或 y＝－x2＋5 等) (写出一个即可)．
9．(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180°得到△CDA，添加一个条件 ∠B＝ 90°(或∠BAC＋∠BCA＝90°等) ，使四边形 ABCD 为 矩形．
3．(2013·威海)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正 方形的是( D )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
解析：由 BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，可以证明 BE＝CE，BF＝CF.再由 BE＝BF 可得 BE＝CE＝BF＝CF，所以四边形 BECF 是菱形．由 BC＝AC 得∠ABC＝45°，所以∠EBF＝90°，从而可证 四边形 BECF 是正方形；由 CF⊥BF 可得∠CFB＝90°， 从而可证四边形 BECF 是正方形；由 BD＝DF 可得 BC ＝EF，从而可证四边形 BECF 是正方形；只有选项 D 不能证明四边形 BECF 为正方形．故选 D.
12．(16 分)(2013·连云港)如图，已知一次函数 y＝ 2x＋2 的图象与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y＝kx1的图 象的一个交点为 A(1，m)，
过点 B 作 AB 的垂线 BD，与反比例函数 y＝kx2的图 象交于点 D(n，－2)．
(1)求 k1，k2 的值； (2)若直线 AB，BD 分别交 x 轴于点 C，E，试问在 y 轴上是否存在一点 F，使得△BDF∽△ACE.若存在， 求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．(2013·义乌)如图，已知∠B＝∠C，添加一个条 件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线 段)，你添加的条件是 AB＝AC(或 AD＝AE 或 BD＝CE 或 BE＝CD) (写出一个即可)．
解析：本题给出∠B＝∠C，公共角∠A，根据全等 三角形的判定方法，有两个角全等的判定方法有 AAS， ASA，只要添加其中任意一个角的对边或邻边相等即 可，即 AB＝AC 或 AD＝AE 或 BD＝CE；也可添加 BE ＝CD，再得出 BD＝CE.
【点拨】因为 OC⊥AB，所以由垂径定理，可得 AC＝BC.在 Rt△AOC 中，OA＝5 cm，OC＝3 cm，由 勾股定理，可得 AC＝4 cm，所以 AB＝8 cm.因为 AO≤AP≤AB，所以 5 cm≤AP≤8 cm，当点 P 与点 O 重合时，AP＝AO＝5 cm；当点 P 与点 B 重合时，AP ＝AB＝8 cm；当点 P 在 O 与 B 之间时，AO＜AP＜AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值．
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 20 分) 1．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上，若点 C 也在网格 格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形的面积为 2，则 满足条件的点 C 的个数是( C )
A．2 B．3 C．4
D．5
解析：如图，根据三角形的面积公式可知，欲使△ABC 的面积为 2，且顶点 C 也在网格格点上，那么，此三角 形的底边、高的值应该分别为 4,1 或 2,2.结合题目所给 图形，可以找到符合条件的点共有 4 个．故选 C.
10．(2013·六盘水)如图，添加一个条件： ∠ADE
＝ ∠C( 或 ∠AED ＝ ∠B
或
AD AC
＝AEBiblioteka AB)，使得△ADE∽△ACB(写出一个即可)．
解析：△ADE 和△ACB 中，∠A 是公共角，可添 加∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B，都可以由两角对应相 等的两个三角形相似得证；添加AD＝AE，由两对应边
考点一 条件开放型 例 1 (2013·青海)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添 加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件 是_________________________ (不添加任何辅助线)．
【点拨】由∠1＝∠2，可得∠ACB＝∠DCE，又 BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，可添加∠B＝∠E，由 “ASA”得证；添加∠A＝∠D，由“AAS”得证；添加 AC ＝DC，由“SAS”得证．
2．结论开放型：称结论不确定或没有确定结论的 开放型问题为结论开放题．给出问题的条件，让解题 者根据给出的条件探索相应的结论，而符合条件的结 论往往呈现多样性，解题时需由因导果，由已知条件 导出相应的结论，并且得出的结论应尽可能地使用题 目给出的全部条件．
3．判断型开放题：称判定几何图形的形状大小、 图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种 性质的数学对象是否存在的开放型问题为判断型开放 题，又称存在型探索题．解题的基本思路是：先假设 结论“存在”，然后从条件出发进行计算或推理论证， 直接找出或证得符合条件的结论，若推理所得的结论 与已知条件或相关定理相一致，则说明其存在；否则， 说明其不存在．
4．如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何 体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的 个数不可能是( D )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：根据主视图与左视图，第一行的正方体有 1(只有一边有)或 2(左右都有)个，第二行的正方体可能 有 2(左边有)或 3(左右都有)个，∵1＋2＝3,1＋3＝4,2＋ 2＝4,2＋3＝5，故不可能有 6 个．故选 D.
解析：由△ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180° 得到△CDA，可知 AD＝BC，AB＝CD，所以四边形 ABCD 是平行四边形．当∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA ＝90°时，可得到四边形 ABCD 是矩形．故填∠B＝90° 或∠BAC＋∠BCA＝90°等可以判断∠B＝90°的条件．
∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA. ∴CAEC＝ACCB. ∴CE＝ACCB2＝265. ∴BE＝6－265＝161. 综上所述，当 BE＝1 或161时，重叠部分能构成等 腰三角形．
(3)设 BE＝x，∵△ABE∽△ECM，∴CBME ＝CAEB. ∴CxM＝6－5 x. ∴CM＝－x52＋65x＝－15(x－3)2＋95. ∴AM＝5－CM＝15(x－3)2＋156. ∴当 x＝3 时，AM 最短为156.
【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)
方法总结 解答结论开放型问题，要熟练掌握常见图形的性 质、函数的性质等，然后由因导果添加适当的结论.
考点三 判断型开放题 例 3 (2012·宜宾)如图，在△ABC 中，已知 AB ＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF 与 △ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满 足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动．且 DE 始 终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点．
专题三 开放型问题
开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产 物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新 能力的重要方式．开放型问题是相对于封闭型问题而 言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制 的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所 呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：
1．条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条 件的开放型问题为条件开放题．由于满足结论的条件 不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知 条件，寻找使得结论成立的其他条件．