高2020届高2017级四川联考数学参考答案答案(文理)

则 A(1,0,0) ,B( -1,2,0) ,D(0,0,1) ,M( -1,0,0) ,易
得平面 AMD 的法向量 →m = (0,1,0) .
…………8 分
M→E = M→D+λD→B = (1-λ,2λ,1-λ) ,A→M = ( -2,0,0)
设平面 AME 的法向量 →n = ( x,y,z) ,则
′( x) =
x-
a x
=
x2 -a( x
x
>0
)
①当 a≤0 时,f ′( x) >0,故 f( x) 在(0,+∞ ) 单调递增;
…………5 分
…………10 分 …………12 分 …………2 分
②当 a>0 时,由 f ′(x)= 0 得 x = a (舍负)
当 0<x< a 时,f ′(x) <0,故 f(x)在(0, a )上单调递减;
所以 AM = BM = 2,所以 BM⊥AM,
因为平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM = AM,
BM⊂平面 ABCM,
所以 BM⊥平面 ADM,
因为 AD⊂平面 ADM,
所以 AD⊥BM.
(2) 解:取 AM 的中点 O,以 O 为原点建立如图所示的空 间直角坐标系,设 D→E = λD→B.
…………4 分
当 x> a 时,f ′(x) >0,故 f(x)在( a ,+∞ )单调递增. 综上:当 a≤0 时,f( x) 在(0,+∞ ) 单调递增;
当 a>0 时,f(x)在(0, a )上单调递减,在( a ,+∞ )单调递增.
…………6 分
(2) 当 a≤0 时,由(1) 知 f( x) 在(0,+∞ ) 上单调递增,故 f( x) 在区间(1,e2 ] 内至多有一个零点,
,k2
=
x2 4
,
所以
k1 k2
=
x1 4
· x2 4
= x1 x2 4×4
=
-32 16
=
-2( 定值) .
…………6 分
(2) 解:由(1) 可得直线 PA 的方程为
y- x21 8
=
x1 4
( x-x1 )
①
直线 PB 的方程为
y- x22 8
=x2 4( x-x ) ②联立①②,得点
a(1 ì
-lna) 2
<0
1 <a <e4
即í 1 >0
2
î e4 2
-2a≥0
1 <a <e4
整理得 a>e
a≤
e4 4
所以
e<a≤
e4 4
.
故 a 的取值范围为(e, e4 ]. 4
21. 解:(1) 证明:由题意设 l 的方程为 y = kx+4,
{ 联立
y = kx+4, x2 = 8y, 得
所以
S△ABC
=
1 2
acsinB≤2
+ 4
3
( 当且仅当
a=c=
6+ 2
2 时取等号),
故△ABC
的面积的最大值是2
+ 4
3
.
…………12 分
高三数学(理科)答案 第 1 页(共 4 页)
19. (1) 证明:因为长方形 ABCD 中,AB = 2 2 ,AD = 2 ,M 为 DC 的中点,
{→n·A→M = -2x = 0, →n·M→E = (1-λ) x+2λy+(1-λ) z = 0,
令
y
=
1,得
x
=
0,z
=
2λ λ-1
,则
→n
=
(0,1,λ2-λ1)
由
cos<m→ ,→n>
=
|
m→ ·→n m| |n
|
=
5 5
解得
λ=
1 2
,
故 E 为 BD 的中点时,满足题意.
20.
解:(1) f
x2
-8kx-32
=
0
因为△ = ( -8k)2 -4×( -32) >0,
所以设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,则 x1 x2 = -32.
设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1 ,k2 ,
对
y=
x2 8
求导得
y′ =
x 4
,
…………12 分 …………3 分
所以
k1
=
x1 4
不合题意.
…………7 分
当 a>0 时,由(1)知 f(x)在(0,+∞ )上的最小值为 f(
a
)
=
a(1
-lna) 2
.
…………8 分
若 f(x)在区间(1,e2 ]内恰有两个零点,则需满足
高三数学(理科)答案 第 2 页(共 4 页)
{ ì1< a <e2
f( í
a
)
<0
f(1) >0
îf( e2 ) ≥0
…………7 分
而前 5 组的频率之和为
(0. 08+0. 16+0. 30+0. 40+0. 52) ×0. 5 = 0. 73<0. 85.
所以 2. 5≤x<3.
…………9 分
由 0. 3×( x-2. 5)= 0. 85-0. 73
解得 x = 2. 9. 因此,估计月用水量标准为 2. 9 吨,85% 的居民每月的用水量不超过标准.
…………12 分
18． 解:(1) 因为 sin( A+C) cosB = 3 cos2 B- 3 , 2
所以 2sin( A+C) cosB = 3 (2cos2 B-1) ,又 A+B+C = π,
所以 sin2B = 3 cos2B,即 tan2B = 3 ,
因为 B 为锐角,所以 2B∈(0,π),
3
2 16
三、解答题:
17． 解:(1) 由直方图,可得
(0. 08+0. 16+a+0. 40+0. 52+a+0. 12+0. 08+0. 04) ×0. 5 = 1,
解得 a = 0. 30.
…………5 分
(2)因为前 6 组频率之和为
(0. 08+0. 16+0. 30+0. 40+0. 52+0. 30) ×0. 5 = 0. 88>0. 85.
四川高三联合诊断考试
数学试题( 理科) 参考答案及评分意见
一、选择题:
1. A 2. D 3. A 4. B 5. D 6. C 7. B 8. C 9. B 10. D 11. A 12. C
二、填空题:
13． - 1 14． 5 15． ( 1 , 9 ) 16． 6 - 3
所以
2B
=
π 3
,所以
B
=
π 6
.
(2) 由(1) 知
B
=
π 6
,由余弦定理得
cosB
=
a2
+c2 -b2 2ac
,即
a2
+c2
-
3 ac-1 = 0
…………3 分 …………6 分
…………8 分
因为 a2 +c2 ≥2ac
所以 ac≤2+ 3 ( 当且仅当 a = c =
6+ 2
2 时取等号).
…………10 分
P
的坐标为(
x1 +x2 2
,x1 x2 8
)
,
由(1) 得 x1 +x2 = 8k,x1 x2 = -32, 所以 P(4k,-4).