高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第一讲 直 线 与 圆 理

高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第一讲 直 线
与 圆 理
第一讲 直线与圆
1．两直线平行．
(1)设直线l 1，l 2是两条不重合的直线，斜率都存在，分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1
＝k 2．
(2)设直线l 1，l 2是两条不重合的直线，斜率都不存在，则有l 1∥l 2． 2．两直线垂直．
(1)设直线l 1，l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1． (2)若直线l 1，l 2的斜率一个为0，另一个斜率不存在，则l 1⊥l 2．
1．两点间的距离公式．
点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的距离为|P 1P 2|＝ （x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
． 2．点到直线的距离公式．
点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝ |Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋B
2
． 3．两条平行直线间的距离．
平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ′＝|C 2－C 1|
A 2＋B
2．
1．直线与圆的位置关系及其判定． (1)几何法．
设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则 直线与圆相离⇔d ＞r ； 直线与圆相切⇔d ＝r ； 直线与圆相交⇔d ＜r ． (2)代数法．
⎩
⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2消元后得一元二次方程的判别式Δ的值，则 直线与圆相离⇔Δ＜0； 直线与圆相切⇔Δ＝0； 直线与圆相交⇔Δ＞0． 2．圆与圆的位置关系． (1)几何法．
设两圆的圆心距为d ，半径分别为r 1，r 2，则 两圆外离⇔d ＞r 1＋r 2； 两圆外切⇔d ＝r 1＋r 2；
两圆相交⇔|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2； 两圆内切⇔d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)； 两圆内含⇔0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)． (2)代数法．
⎩
⎪⎨⎪⎧（x －a 1）2
＋（y －b 1）2
＝r 2
1，（x －a 2）2＋（y －b 2）2＝r 22，则 两圆外离或内含⇔方程组无解； 两圆外切或内切⇔方程组有一组实数解； 两圆相交⇔方程组有两组不同的实数解．
3．设空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则A ，B 两点间距离为d ＝（x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
＋（z 2－z 1）2
．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)
(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．(×)
(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)
(6)方程Ax 2
＋Bxy ＋Cy 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2
＋E 2
－4AF >0.(√)
1．直线l 过点(－1，2)且与直线3x ＋2y ＝0垂直，则l 的方程是(D ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0
解析：由题可得l 斜率为23，∴l ：y －2＝2
3(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0 .故选D.
2．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(D )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
解析：由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1
＝1，解得k ＝－43或k ＝－3
4，故选D.
3．圆(x ＋2)2
＋y 2
＝4与圆(x －2)2
＋(y －1)2
＝9的位置关系为(B ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
4. (2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝2．
解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
一、选择题
1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(D)
A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：解法一将选项分别代入题干中观察，易求出D符合要求．故选D.
解法二∵直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，∴a(a＋2)＝－1.∴a＝－1.故选D.
2.(2015·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y －2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(A)
A．(x－1)2＋y2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝2 D．(x－2)2＋(y－1)2＝2
解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
3．(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(D)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：圆的半径r＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(C)
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：解法一圆心C(0，0)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝
1
1＋k2
≤
1
1
＜2＝r，且
圆心C(0，0)不在该直线上．
解法二直线kx－y＋1＝0恒过定点(0，1)，而该点在圆C内，且圆心不在该直线上．故选C.
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC
和BD ，则四边形ABCD 的面积为(B )
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6
解析：由x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0，得(x －3)2
＋(y －4)2
＝25， 圆心为(3，4)，半径为5.
又点(3，5)在圆内，则最长弦|AC |＝10，最短的弦|BD |＝2·25－（3－3）2
－（4－5）2
＝224＝46，
∴S 四边形ABCD ＝1
2
×10×46＝20 6.
6．(2015·新课标Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为(B )
A.53
B.213
C.253
D.43
解析：在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2
＝
1＋43＝21
3
，故选B.
二、填空题
7．(2014·陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为x 2
＋(y －1)2
＝1．
解析：因为圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，所以圆心坐标为(0，1)．所以圆的标准方程为：x 2
＋(y －1)2
＝1.
8．(2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2
＋y 2
＝1分成长度相等的四段弧，则a 2
＋b 2
＝2．
解析：依题意，设l 1与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，当a ＝1，b ＝－1时满足题意，所以a 2
＋b 2
＝2.
三、解答题
9．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦长AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解析：圆C 化成标准方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9. 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )， 由于CM ⊥l ，∴k CM k l ＝－1，
b ＋2
a －1
×1＝－1， ∴a ＋b ＋1＝0，得b ＝－a －1.①
直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y ＋b －a ＝0. |CM |＝|b －a ＋3|2
，
∵以AB 为直径的圆M 过原点， ∴|MA |＝|MB |＝|OM |.
∴|MB |2
＝|CB |2
－|CM |2
＝9－|b －a ＋3|2
2＝|OM |2＝a 2＋b 2，即9－|b －a ＋3|2
2
＝a 2＋b 2
.②
由①②得a ＝3
2或a ＝－1，
当a ＝32时，b ＝－52
，
此时直线l 的方程为x －y －4＝0； 当a ＝－1时，b ＝0，
此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0.
故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2
＋(y －1)2
＝4和圆C 2：(x －4)2
＋(y －5)2
＝4.
(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．
解析：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.
由垂径定理，得圆心C 1到直线的距离d ＝22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2322＝1，
结合点到直线距离公式，得
|－3k －1－4k |
k 2＋1
＝1.
化简，得24k 2
＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724
.
所以直线l 的方程为：y ＝0或y ＝－7
24(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P 坐标为(m ，n )，直线l 1，l 2的方程分别为：
y －n ＝k (x －m )，y －n ＝－1
k
(x －m )(k ≠0)，
即：kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1
k
m ＝0.
因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等．
故有
|－3k －1＋n －km |k 2＋1
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－4k －5＋n ＋1k m 1
k 2
＋1
，
化简得(2－m －n )k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5，
关于k 的方程有无穷多解，有
⎩⎪⎨⎪⎧2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0， 解得点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132或⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2，－12.
经检验，以上两点满足题目条件．
11．已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆C ：x 2
＋(y －3)2
＝4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N .
(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程． 解析：(1)∵l 与m 垂直，且k m ＝－1
3，∴k l ＝3.
故直线l 方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.
∵圆心坐标(0，3)，满足直线l 方程． ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， ∵PQ ＝23，CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－3＋k |k 2＋1＝1，得k ＝4
3.
∴直线l ：4x －3y ＋4＝0.
故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.。