高中数学人教A版选修2-1高二上学期期末模拟试题(一)数学试题.docx

高中数学学习材料
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2012-2013学年度高二上学期期末模拟试题一
数 学（理） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，
则a 等于( )
A. 6 B ． 2 C. 3 D. 2
2. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ， 则λ的值是（ ） A ．103-
B ．6-
C ．6
D ．10
3
3．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 2
2
cb ab < D. ()0ac a c ->
4. 等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于（ ） A ．
245 B ．12 C ．4
45 D ．6 5. 下列有关命题的说法正确的是( )
A ．命题“若2
1x =，则1=x ”的否命题为：“若2
1x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件．
C ．命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有2
10x x ++<”．
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
6. (2010年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2
＝( )
A ．11
B ．5
C ．－8
D ．－11
7. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2
3,25
(-，则椭圆方程是 （ ）
A ．14
82
2=+x y B ．161022=+x y C ．18
422=+x y D ．16
102
2=+y x
8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且0
60C =，则a b +的
最小值为( ) A ．
233 B ． 43
3
C ．
4
3
D ．843- 9. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，
E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为
A. 0
B.
21 C. 32 D. 3
2- 10.若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒
60的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1
B ．()2,1
C ．()+∞,2
D ． [)+∞,2
12.若抛物线2
4y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）．
A.4个
B.2个
C.1个
D.0个
第2卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .
14. 已知向量)0,1,1(=→
a ，)2,0,1(-=→
b ，且→→+b a k 与→
→-b a 2互相垂直，则k 的值是 15. 设0>x ，0>y ，且
11
16x y
+=，则x y +的最小值为 ．
16. 点P 是抛物线x y 42
=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距
离和的最小值是 .
三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，
⑴求12,a a 的值；
⑵求数列{}n a 的通项公式。

18．（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，命题:p “函数x
a x f =)(在(0,)+∞上单调递
减”，
命题:q “关于x 的不等式2
1
204
x ax -+
≥对一切的x R ∈恒成立”，
若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.
19．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c
a
b b a
c a -=
++， （1）求角B 的大小；
（2）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长．
20．．（本小题满分12分）
某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，
底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分别为AB、PB的中点。

（1）求证：EF⊥ CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。

P
F
D C A
E B
22．（本小题满分14分）已知椭圆的两焦点为1F (3,0)-，2F (3,0)，离心率3
2
e =。

（Ⅰ）求此椭圆的方程。

（Ⅱ）设直线2x
y m =+与椭圆交于P ,Q 两点，且PQ 的长等于椭圆的短轴长，求m 的值。

（Ⅲ）若直线2
x
y m =+与此椭圆交于M ，N 两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程。

2012—2013学年度上学期期末模拟试题一
数学试卷参考答案（理科）
一、选择题
1—5、BCADD 6—10、DDBCC 11—12、DB 二、填空题 13、8 14、57 15、4
1
16、2 三、解答题
17、2n S =+n 解:由已知得2a --------① ------------2分 由①得：122S =+⇒=112a a --------------4分
2224S =+=++⇒=21222a a a a ------------6分
(2)解：12n S +=+n+12a -------②
②-①得
12n n S S +-=-=∴
=n+1n n+1
n+1
n
2a 2a a a a ------------9分 ∴数列}{n a 以2为首项，以2为公比的等比数列------------10分
即1222n n
-=⋅=n a ------------12分
18、解：p 为真：01a <<；……2分；
q 为真：0142≤-=∆a ，得2121≤≤-
a ， 又0,1a a >≠，2
1
0≤<∴a ………5分
因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假……7分
（1）当p 真q 假12121
1
0<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧><<a a a ……………9分 （2）当p 假q 真⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<>2101a a 无解 …………11分
综上，a 的取值范围是1
(,1)2
…………………12分
19、解：（Ⅰ）由c
a
b b a
c a -=
++整理得))(()(b a a b c c a +-=+， 即2
2
2
a b c ac -=+，------2分
∴2
1
22cos 222-=-=-+=
ac ac ac b c a B ， -------5分
∵π<<B 0，∴3
2π
=B 。

-------7分 （Ⅱ）∵3
2π
=
B ,∴最长边为b ， --------8分 ∵A
C sin 2sin =，∴a c 2=， --------10分
∴a 为最小边，由余弦定理得)2
1(22472
2
2
-⋅⋅-+=a a a a ，解得12
=a ， ∴1=a ，即最小边长为1 --------12分
20.解：分析：将已知数据列成下表
甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额 成本 1000 1500 6000 运费 500 400 2000 产品 90 100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≤+≤+≥≥2000
40050060001500100000y x y x y x z =90x +100y
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
⎩⎨⎧=+=+720
71220451232y x y x y x 得 令90x +100y =t ，作直线:90x +100y =0即9x +10y =0的平行线90x +100y =t ，当90x +100y =t 过点M （7
20
,712）时，直线90x +100y =t 中的截距最大.
由此得出t 的值也最大，最大值z m ax =90×7
20
100712⨯+=440.
答：工厂每月生产440千克产品.
21、 PD ⊥面ABCD , ∴,PD DA PD DC ⊥⊥，又底面ABCD 是正方形，
∴DA DC ⊥ (0,0,0)0000000222
00.222
DA DC DP x y z AD a a a a
D A a B a a C a
E a
F a a a F P a =以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，
则、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）
（，，）、（，，）
P
5M(127,20
7)o
6
4
4
x
y
10000.22
a a
EF DC a EF DC ⋅=-⋅=∴⊥（）（，，）（，，），
(,,).
(,,)(,,)0,()0.0222
20
(,,)(,,0)0,0.2231,2,1,(1,2,1).cos ,,6
26
DEF n x y z a a a a
x y z x y z n DF a a n DE x y z a ax y BD n a x y z n BD n a BD n
DB DEF =⎧⎧⋅=++=⎪⎪⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩⋅=+=⎪⎪⎩⎩⋅==-=∴=-<>==
=∴（2）设平面的法向量为由，得取则与平面所成角的正弦3
.6
值为
20.,,,
222
,,(,0,0)()0,;
22222
,,(0,,)()0,0.
2222200.
2
a a a
G x z G PAD FG x z a a a a a
FG CB x z a a x x a a a a a
FG CP x z a a a z z a
G G AD ∈=---⋅=---⋅=-==⋅=---⋅-=+-==∴（3）设（，，），则平面。

（）（）（）点坐标为（，，），即点为的中点
解法二、(1)证明：PD ⊥面ABCD ∴PD
CD ⊥，又ABCD 是正方形∴AD CD ⊥
PD AD D =∴CD ⊥面PAD ∴CD PA ⊥ E 、F 分别为AB 、PB 的中点∴EF
PA ，故CD EF ⊥
AD OE EB AE OE FO O BD //.∴=，、，连结的中点（证法二）取
.//.PD FO FB FP CD OE CD AD ∴=⊥∴⊥，，又
PD ABCD FO ABCD ⊥∴⊥∴底面，底面，FO CD ⊥
OE OF O = ∴CD ⊥面OEF EF ⊂面OEF ∴CD EF ⊥
222
11
.
.3311122422
1153.
2242
B DEF
F DEB DEF DEB
DEB B DEF d d FO a
a FO a a EF AP a DF PB a DE a a V V S S S --∆∆∆=∴
⋅=⋅=======+=（2）设到平面的距离为，设底面边长为，则，，，，
.6
3
63sin .612141868
6.90454342222222222所成角的正弦值为
与平面，，则所成角与平面设，，DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a DEF DE a a a DF EF S DEF o ∴===⇒⋅=⋅∴=∴=∠∴==+=
+∆θθ .
G AD （3）答：是的中点.PC H DH PD DC DH PC =∴⊥（方法一）取的中点，连结，
.
BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥又
平面，，平面1
.//
//2
DA G GF FH HF BC DG DGFH ∴取中点，连结、，四边形为平行四边形 //.
DH GF GF PCB ∴∴⊥，平面...
.
.
AD G PG GB GF PGD BGA PG GB F PB GF PB GO FO ABCD OG AD FG AD FG BC
FG PBC ∆≅∆∴=∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥（方法二）取中点，连结、、，又为中点，连结底面，，，平面
22、解：（Ⅰ ）
所以，椭圆的方程为：
2
214
x
y +=。

（Ⅱ）
得到关于x 的方程：22
2220x mx m ++-> 由△2244(22)0m m =--> 解得：2
2m <
设P 11(,)x y ，Q 22(,)x y 122
x x m +=-，2
1222x x m =-
3c = 32
c a =
⇒
3c =
2a =
2
x y m
=+
2
214x y += 由
联立消去y
221212()()PQ x x y y =---212125
()42
x x x x =
+- 25
842
m =
-2522m =-= 所以：305m =±
（Ⅲ）设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ，MN 的中点为P (,)x y
又1212x +x x y +y 2y ==2，，1212y -y 1
x -x 2
= 即20x y +=
因为P 在椭圆内部，可求得22x -<<
所以线段MN 的中点P 的轨迹方程为20x y +=（22x -<<）
22112
2
22x 4y 4x 4y 4
+=+=
12121212y -y
x +x y +y 0
x -x =（）+4（）。