高中数学二元函数最值问题求解方法浅析-最新教育文档

高中数学二元函数最值问题求解方法浅析-最新教育文档
高中数学二元函数最值问题求解方法浅析
我们把形如z=f（x，y）的函数称为二元函数。

其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。

求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。

学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。

求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元――将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。

通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。

下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。

同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义――利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。

此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。

均值不等式法就体现了这一思想。

下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。

1. 配方法
利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分
析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。

例1：求二元函数Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。

分析：原式配方得：Z=（x2+y2-2）2+（y+1）2+10，当且仅当 x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，Z的最小值是10 例2：已知X∈R ，y ∈R，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。

分析：原式配方可得u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，当且仅当 x+y-12=0及y-1=0时即x=0，y=1时取最小值4
2. 消元法
消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。

同时，在求解此类问题时，设法消元也是核心的思路。

而此类二元函数一般都有一个关于两个自变量之间的等量关系
例3、已知 x，y∈R+且 xy=2，求 y（x2+1）的最小值。

分析：已知条件给出了两变量的关系，故而可以用x表示y ，将二元问题划归为一元问题。

解：由xy=2 得y2x，所以Z= y（x2+1）= y2x（x2+1）=2x+2x，又x ∈R+，所以2x +2x≥4 。

当且仅当x=1时取等号。

（亦可利用“对勾”函数理解）
例4、从圆（x+1） 2+（y-2）2=2外一点P向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有?PM?=?PO?，求?PM?的最小值。

分析：设点P（a，b）后，利用?PM?=?PO?找到a，b的关系，求?PM? 的最小值问题转化为求?PO? 的最小值。

解：设点P的坐标为（a，b），如图
由已知?PO′?2- ?O′M?2=?PM? 2=?PO? 2，得 2a-4b+3=0 ，所以b=2a+34 ，?PM?=?PO?=a2+b2=20a2+12a+916≥3510，即?PM? 的最小值为3510 。

由以上两例可以看出，利用已知关系，将未知的二元问题化归为已知的一元模型――由未知到已知的转化模式是学习数学
的一个重要思想。

3. 换元法
通常就是将两个变量看成一个整体，或者是应用三角代换的方法将其转化为一次函数，然后应用一次函数的最值求解方法求解。

例5、实数x，y满足x2-2xy+ y2-3x-3y+12=0，求u=xy的最小值。

分析：求u=xy的最值，从条件很容易把xy表示为x+y的关系，
视x+y=t可转化为t的函数而求解。

解：由得条件（x-y）2+12=3（x+y）≥12，可设t= x+y≥43（当且仅当x=y时取等号）又由条件可得 u=xy=14[（x+y）-3（x+y）+12]=14[t2-3t+12]=14[（t-3）2）2+454]≥12 从而可求得umax=12
例6、若动点P（x，y）在曲线x24+y2b2=1（b>0）上变化，求 x2+2y的最大值。

解：因为 P（x，y）在x24+y2b2=1（b>0）上，所以
x=2cosθy=bsinθ，故而z=x2+2y=4 cos2θ+2bsinθ=-4
（sinθ-b4）2+b24+4，
当00，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0 上，其中mn>0 ，求1m+ 2n的最小值。

解：因为函数y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的图像恒过（-2，-1）点。

又点A在直线mx+ny+1=0 上，所以有2m+n=1 ，则z=1m+ 2n=（1m+ 2n）（2m+n）= nm+4mn+4，又 mn>0 ，故 nm>0，4mn>0 从而nm+4mn ≥2nm4mn ，当且仅当 n=2m时去等号。

即1m+ 2n的最小值为4。

例9：已知a>b>0 ，求 a2+16（a-b）b的最小值。

分析：因为a2=[（a-b）+b]2≥[（a-b）b]2=4（a-b）b当且仅当a-b=b 时等号成立，然后再将（a-b）b看成一个整体再次用均值不等式即能求出最小值16，当且仅当 a=22， b=2时取的最小值。

以上五种方法，是高中阶段求解二元函数最值的常用方法，在解决问题的过程中，充分体现了高中数学的基本思想与基本技能，是学生函数部分学习的重要内容。

同时，在数列、圆锥曲线部分内容的求值等问题中也常常会涉及到，也体现了高中数学与
高等数学的联系，更是新课程改革的一个方向。

熟练掌握二元函数最值问题的求法，是对学生的必然要求。