高考数学二轮复习专题08 三角函数的图像和性质(学生版)

专题08
三角函数的图像和性质
一、 三角函数的图像和性质知识框架
【一】化为同角同函型
A ． 88⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈
B ．
88⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈
C ． ,44k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦ ()k Z ∈ D ． 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈ 2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；
②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______.
【练习2】已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f ，求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；
【练习3】已知22
sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ，
求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
【二】化为二次函数型
【例2】函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______ 2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数
()2sin sin2f x x x
=+，则
()
f x 的最小值是_____________．
【练习2】求函数
24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值.
【练习3】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【一】图像型
0,ϕ<()()
2,1,8,1M N -分别是函数
()
f x 的图象的一个最低点和一个最高点，则
A
ωϕ
+=
（ ）
A. 23π-
B. 6π-
C. 6π
D. 23π
【例2】函数
()()()
sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则（ ）
A ． ()f x 在,313ππ⎛⎫- ⎪
⎝⎭上是增函数
B ． ()f x 在,213ππ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭上是增函数
C ． ()f x 在27,36ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上是増函数 D ． ()f x 在,212ππ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭上是增函数
【例3】已知函数
()()2sin (0
f x x ωϕω=+>，
)
x ϕ<
的部分图像如图所示，已知点
(
A ，
,06B π⎛⎫ ⎪
⎝⎭，若将它的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()
g x 图像的一条对称轴方程为（ ）
A ．
24x π
=-
B ．
4x π
=
C ．
3x π
=
D ．
23x π=
2.巩固提升综合练习
【练习1】函数
()()
sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >，
2π
ϕ<
)的部分图象如图所示,将函数()
f x 的图象（ ）可得
()sin 24g x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象
A ． 向右平移12π个长度单位
B ． 向左平移24π
个长度单位
C ． 向左平移12π个长度单位
D ． 向右平移24π
个长度单位
【练习2】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (
6
πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.
【二】性质型
【例1】已知函数
()sin()(0),2
4f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤
=-
， 为()f x 的零点,
4x π
=
为()
y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )
（A ）11
（B ）9
（C ）7
（D ）5
【例2】设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]
2,6[π
π上单调，且⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为（ ）
A ．2π
B ．2π
C ．4π
D ．π
【例3】设函数
，
，其中
，
.若
，
，且
的最小正周期大于
，则（ ）
（A ）
， （B ）， （C ）， （D ）
，
2.巩固提升综合练习
【练习1】设函数f （x ）=，若
对任意的实数x 都成立，
则ω的最小值为__________．
【练习2】若函数
(
)()()
cos f x x x θθ=+++的图象关于y 轴对称，则θ的一个值为（ ）
A ． 6π
B ． 3π
C ． 23π
D ． 56π
2π3⎫+⎪⎭倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
6
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C
【例2】设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变
），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在
上的最小值.
⎦⎣
2.巩固提升综合练习
【练习1】函数
()()
sin f x x ωϕ=+（0ω>，
2π
ϕ<
）的最小正周期是π，若其图象向左平移
3π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）
A ． 关于点
012π⎛⎫
⎪⎝⎭，对称
B ． 关于直线
12x π
=
对称
C ． 关于点06
π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
对称
D ． 关于直线
6x π
=
对称
【练习2】已知函数1
()2sin()3
f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()
g x ，若函数的图象在P ，
Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）
A B ．4 C ．4π D ．
【例
1】 已知函数
(
)22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡
⎤∈⎢⎥
⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ．
【例2】函数的最小值为 ．
【例3】函数
()sin cos 2sin cos ,44f x x x x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=++∈- ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值是__________． 【例4】求函数x x
y cos 2sin 2--=
的值域
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知的定义域为[].求的最小值.
【练习2】函数
(
)23sin 4f x x x =+-
（
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。

【练习3】求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域
x x x f sin 22cos )(+=14
(cos 2)sin (cos 3)(222++
--=π
x x x x f 2
,
0π)
(x f
【例1】 设向量
cos ,cos2,sin2,sin 44a x b x ππ⎛⎫⎛
⎫=-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()
f x 在区间
[]0,π上的单调递减区间.
【例2】 已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b
（1）若a ∥b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知
3cos ,cos 44x x m ⎛
⎫= ⎪⎝⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．
（1）求函数
()
f x
的单调增区间；
（2）设ABC
∆的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求()
f B
的取值范围．
【练习2】已知
3
sin2cos
2
a x x
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
，
1
2cos cos
2
b x x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
，记函数
()
f x a b m
=⋅+
（1）求函数
()
f x
的最小正周期；
（2）如果函数
()
f x
的最小值为1，求m的值,并求此时
()
f x
的最大值及图像的对称轴方程.
七、课后自我检测
1.函数
()()
sin
f x A x
ωϕ
=+
π
(0,0,)
2
Aωϕ
>><
的部分图象如图所示,则ω=
__________；函数
()
f x
在区间
π
,π
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦上的零点为__________．
2.已知函数
()231sin cos 2222f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）已知在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f A =， 2a =，求ABC
∆面积的最大值.
.
3.已知函数()()2sin 2()2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.
（1）求ϕ值及图中0x 的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2,c f C ==- sin B = 2sin A ，求a 的值．
4.
()
()()
sin,cos,2cos,2cos
a x x
b x x
π
=-=
，函数
()1
f x a b
=⋅+
.
（1）求
()
f x
的对称中心；
（2）求函数
()
f x
在区间
0,
2
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦上的最大值和最小值，并求出x相应的值.
5.函数()2cos 3sin 2f x x x =+- 0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值是__________．
6.已知函数
，，且在区间上有最小值，无最大值，则
的值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7.已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足4
4f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()sin g x x f x =+的最大值为
A ． 5
B ． 3
C ．
D ．8．将函数()cos 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8
π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法
不正确的是( )
A ．162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．()g x 在区间57,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数 C ．2x π
=是()g x 图象的一条对称轴 D ．,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是()g x 图象的一个对称中心 9．已知()cos31cos x f x x =
+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12
得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（ ） ①函数()g x 的周期为2
π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称. A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 10.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．
11.已知向量()sin ,cos m A A =， ()3,1n =-，
1m n ⋅=，且A 为锐角．
（1）求角A 的大小；
（2）求函数
()cos24cos sin f x x A x =+ (x R ∈)的值域．
12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量)23sin ,23(cos
A A m =，
)2sin ,2(cos A A n =，且满足|m ⇀+n ⇀|=√3．
（1）求角A 的大小；
（2）若b +c =√3a ，试判断△ABC 的形状．。