八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题学能测试试题

八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题学能测试试题
一、选择题
1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF =- ④ AC=AF
A ．①②③
B ．①②③④
C ．②③④
D ．①③④
2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2
()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111
,,345
a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判
断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A ．3
B ．3
C ．5
D ．3或5
5．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒，若AD =4，CD =2，则BD 的长为
（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．256．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）
A．62B．22C．210D．6
7．若△ABC中，AB=AC=25，BC=4，则△ABC的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．5
2
8．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，3，2
9．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）
A．7
2
B．
7
4
C．
25
4
D．
15
4
10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）
A．7,24,25B．111
,4,5
222
C．3,4,5D．
11
4,7,8
22
二、填空题
11．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则OC 的长度的最大值是________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，则
点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．
13．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若
22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
14．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，
M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.
15．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
16．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2． 18．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则
2________BD =．
19．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中
90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.
20．如图，直线4
23
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.
三、解答题
21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．
22．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ≅； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，
①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，
23．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
25．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例
如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）． 26．已知ABC ∆中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：
BD CE =
（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，
CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求
AD
AB
的值.
27．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京
召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
28．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
29．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．
（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；
（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE ＝2DE ； （3）如图3，若m ＝43，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．
30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．
（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度； （2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；
（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；
（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据
AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的
长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明
AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的． 【详解】
解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，
∵AC CD =，
∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠， ∵AF CD ⊥， ∴90AGD ∠=︒， ∴90FAB CDA ∠=︒-∠， ∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确； ∵3CG =，1DG =， ∴314CD CG DG =+=+=， ∴4AC CD ==， 在Rt ACG 中，221697AG AC CG =
--=，
∴1
2
ACD
S
AG CD =
⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒， ∴45HCB ∠=︒，
∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴1
2
ACH HCD ACD ∠=∠=
∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，
45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，
1
2
ACH ACD FAB ∠=∠=∠，
∴AFC ACF ∠=∠，
∴4AC AF ==，故④正确；
∴4GF AF AG =-=-
在Rt CGF 中，2CF ===，故③正确．
故选：B ． 【点睛】
本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．
2．D
解析：D 【分析】
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】
解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确； ∵2
()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=90°，故③正确；
∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴3
18090123
C ∠=︒⨯
=︒++，故④正确；
∵222111()()()45
3
+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误； ∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确； ∴能构成直角三角形的有5个； 故选择：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.
3．C
解析：C 【分析】
根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；
倍，用DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误． 【详解】
解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴CD=
1
2
AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴AE=DE ，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°， ∴∠BAE=∠CDE ， 在△ABE 和△DCE 中，
AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确； ∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确； ∵∠AEB+∠BED=90°， ∴∠DEC+∠BED=90°， ∴BE ⊥EC ，故③小题正确； ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴
DE ，
∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴
DE ，
DE ，
在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=
DE ）2+（
DE ）2=10DE 2， ∵BE=EC ，BE ⊥EC ， ∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2， ∴2EC 2=10DE 2，
解得
，故④小题错误，
综上所述，判断正确的有①②③共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．
4．D
解析：D
【解析】
当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；
当两直角边长为1和2时，第三边==； 故选：D ． 5．A
解析：A
【解析】
【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，
则有∠AD′D=∠D′AD=45︒，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，由勾股定理得22'AD AD +2，
∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得 22DC DD +'()22422+，
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．
6．C
解析：C
【解析】
试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P
此时.PA PB PA PB AB -=-'='
过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,
四边形B DCE '为矩形，
6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''
2.AE ∴=
22210.AB AE B E ''+=
PA PB -的最大值为：210.
故答案为：210.
7．B
解析：B
作AD⊥BC，则D为BC的中点，即BD=DC=2，根据勾股定理可以求得AD，则根据
S=1
2
×BC×AD可以求得△ABC的面积．
【详解】
解：作AD⊥BC，则D为BC的中点，
则BD=DC=2，
∵AB=2522
AB BD
-，
∴△ABC的面积为S=1
2
×BC×AD=
1
2
×4×4=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，三角形面积的计算，本题中正确的运用勾股定理求AD是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．【详解】
解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；
B、22+32=13≠42，故不符合题意；
C、32+42=25≠62，故不符合题意；
D、12+
2
3=4=22，符合题意.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
9．C
解析：C
【分析】
根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度．
【详解】
解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，
设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即x2＝62+（8﹣x）2，
解得，x＝25
4
，
∴BE＝25
4
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
10．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】
A、222
72425
+=，能组成直角三角形，故正确；
B、
222
111
45
222
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+≠
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误；
C、222
345
+=，能组成直角三角形，故正确；
D、
22
2
11
478
22
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，能组成直角三角形，故正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
二、填空题
11．5
【解析】
试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的
逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．
考点：勾股定理的逆定理，12．82
【分析】
根据S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关
于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AD•h＝
1
3
AD•AB，
∴h＝2
3
AB＝4，
∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE2222
8882
AE AD
++=
即PA+PD的最小值为2．
故答案2．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
13．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=42+22=62
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（62）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴222
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．14．3．
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴3
3
即BM+MN3．
3．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
15．10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′=22
OM ON
+=10．
''
故答案为10．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
16．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
ABC
∴∠=，
60
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，
PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC
60
∴△BPQ是等边三角形，①正确.
∴PQ=BP=4，
222222
+=+===，
4325,525
PQ QC PC
222
PQ QC PC
∴+=，
∴∠=，即△PQC是直角三角形，②正确.
90
PQC
∵△BPQ 是等边三角形，
60PBQ BQP ∴∠=∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠APB =∠B QC ，
6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，
③正确. 36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，
90PQC PQ QC ∠=≠，，
45QPC ∴∠≠，
即135APC ∠≠，④错误.
故答案为①②③. 17．8或10或12或
253
【详解】
解：①如图1：
当BC=CD=3m 时，AB=AD=5m ，AC ⊥BD ，
此时等腰三角形绿地的面积：
12
×6×4=12（m 2）； ②如图2：
当AC=CD=4m 时，AC ⊥CB ，
此时等腰三角形绿地的面积：
12
×4×4=8（m 2）； ③如图3：
当AD=BD时，设AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，
解得x=25
6
，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×
25
6
×4=
25
3
（m2）；
④如图4，
延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×5×4=10（m2）；
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或25
3
m2．
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
18．41
【解析】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD ′中，
;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'
⎨⎪⎩
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得22AD AD +' ，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得22DC DD +' 41BD 2=41．
故答案是：41．
19．3
【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】
解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,
∵15cm BC =，20cm AC =，
∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，
∵90ACB ∠=︒，
∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），
∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，
解得3m =，
所以MB '的长为3.
【点睛】
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
20．（0，
34）. 【分析】 由423
y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122
OA '=
-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423
y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32
-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=
32,
∴52AB =
==, ∴53122
OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）
由翻折得ABC A BC '≌，
∴2A C AC m '==-，
在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,
∴222(2)1m m -=+，解得m=
34， ∴点C 的坐标为（0，
34）. 故答案为：（0，
34
）. 【点睛】
此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标. 三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得
AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．
【详解】
（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，
∴∠ACB =∠ABC ，
∴AB =AC ．
∵∠ACD =∠ADC ，
∴AC =AD ，
∴AB =AC =AD ．
∴四边形ABCD 是邻和四边形；
（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，
∴AC =()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC 为等边三角形，
过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =
160302⨯︒=︒， ∴122
AG AD ==，
22224223DG AD AG =-=-=，
∴S △ADC =1423432
⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；
②当CD =CB =BD =23时，如图所示：
∴△BDC 为等边三角形，
过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =
160302⨯︒=︒， ∴132
BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=
-=， ∴S △BDC =1233332
⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ， ∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，
∴DF=
123 S △ADB =12332
⨯=， ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =3；
③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．
∴邻和四边形ABCD 的面积是3或3
【点睛】
本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
22．（1）见详解（2）①结论：2
22BD FC DF +=，证明见详解②35
【分析】
（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；
（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG
即可求解．
【详解】
解：（1）∵AE AD ⊥
∴90DAC CAE ∠+∠=︒
∵90BAC ∠=︒
∴90DAC BAD ∠+∠=︒
∴BAD CAE ∠=∠
∴在ABD △和ACE △中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABD △≌ACE △()SAS
（2）①结论：2
22BD FC DF +=
证明：连接EF ，如图：
∵ABD △≌ACE △
∴B ACE ∠=∠，BD CE =
∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒
∴222FC CE EF +=
∴222FC BD EF +=
∵AF 平分DAE ∠
∴DAF EAF ∠=∠
∴在DAF △和EAF △中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DAF △≌EAF △()SAS
∴DF EF =
∴222FC BD DF +=
即2
22BD FC DF +=
②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：
∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=
∴5DF =
∴35412BC BD DF FC =++=++=
∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622
BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=
∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．
23．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a ，b ，c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225， 2881||7(15)a a c b --+-＝﹣，
∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，
∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；
（2）能．
∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，
∴82+152＝172．
∴a 2+c 2＝b 2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝
12
×8×15＝60． 【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
24．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194
时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC
上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12
t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作
PE BC ⊥于E ，求得194
t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=，
（1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=，
解得：2516
t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-， 解得：83t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83
t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352t --=⨯， 解得：5310t =
， ∴当15319,5,2104
t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
25．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】
（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；
第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时
1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，
综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
26．（1）详见解析；（2
；（3
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302
FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得
AE =，
，根据（1）思路得
.
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE 与△ABD 中，
AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，
∴BD CE =；
(2)连接BD
因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，
所以ADE ∆是等边三角形
因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4
因为CE AD ⊥ 所以1302
FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，
所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5
所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=
所以BE=22225441BD DE +=+=
(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=
所以AE=222AB AC AC +=
因为AB AC =
所以AE 2AB =
又因为45CAB ∠=
所以90ABE ∠=
所以()2
22223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=
所以BC=CD, 90BCD ∠=
因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)
所以AD=BE=3AB
所以33AD AB AB ==
【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
27．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12
ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
28．（1）见解析；（2）BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.
在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =
+=+=
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
29．（1）AB ＝52）见解析；（3）CD +CF 的最小值为7.
【分析】
（1）根据勾股定理可求AB 的长；
（2）过点D 作DF ⊥AO ，根据等腰三角形的性质可得OF ＝EF ，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，根据勾股定理用参数x 表示 DE ，CE 的长，即可证CE ＝2DE ；
（3）过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，根据锐角三角函数可得∠ABO ＝30°，根据轴对称的性质可得AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝43，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°，根据“SAS ”可证
△ACF ≌△BMD ，可得CF ＝DM ，则当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，根据直角三角形的性质可求CN ，BN 的长，根据勾股定理可求CM 的长，即可得CF +CD 的最小值．
【详解】
（1）∵点A （0，4），B （m ，0），且m ＝8，
∴AO ＝4，BO ＝8，
在Rt △ABO 中，AB ＝2245AO BO +=
（2）如图，过点D 作DF ⊥AO ，
∵DE ＝DO ，DF ⊥AO ，
∴EF ＝FO ， ∵m ＝4，
∴AO ＝BO ＝4， ∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，
∵点C ，O 关于直线AB 对称，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，AO ＝AC ＝OB ＝BC ＝4，
∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°，
∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°，
∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°，
∴AF ＝DF ，
设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，
∴AF ＝DF ＝4﹣x ，
在Rt △DEF 中，DE ()2222242816EF DF x x x x +=
+-=-+ 在Rt △ACE 中，CE ()()
2222164222816AC AE x x x +=+-=-+ ∴CE 2DE ，
（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，。