高中数学第一章集合与函数概念章末复习课新人教版必修53(1)

学习资料专题
【金版学案】2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念章末
复习课新人教版必修1
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．正确认识集合与元素的概念
(1)解决集合问题的前提条件：认清集合中元素的属性(是点集、数集或是其他类型的集合)．
(2)正确区分两种关系：元素与集合之间的从属关系，以及集合与集合之间的包含关系．
2．处理集合问题的三个易错点
(1)在写集合的子集或进行集合的运算时，易忽略集合是空集的情形，如A⊆B中，要对A＝∅和A≠∅进行分类讨论．
(2)运用数轴表示集合时，易忽略端点是否属于集合的情形，即是表示为实心点或是空心点．
(3)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为
不满足“互异性”而导致结果错误．
3．关注换元法中“新元”的范围
在用换元法求函数解析式或求函数值域时，要注意“新元”的范围，“新元” 的范围一般是由被替换的表达式的范围所确定．
4．函数单调性定义应用中的两个易错点
(1)忽略x1与x2是所给区间I上的任意两个值，而用该区间上的两个特殊值代替．
(2)易出现循环论证的错误，即用所要证明的结论作为论证该问题的依据．
5．判断函数奇偶性时的注意点
一般不化简解析式，若要化简，应注意化简前后的等价性.
(对应学生用书P39)
专题一集合间的关系与运算
集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算，具体数集的运算一般采用数轴法，而抽象集合的运算采用Venn图法．在解含参数的集合问题时，一般要对参数进行讨论，分类时一定要标准统一，做到“不重不漏”．
[例1] (2015·四川卷)(1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}
C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}
(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．[－1，＋∞)
解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．
(2)因为M⊆N，所以2≤a，即a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．
答案：(1)A (2)B
归纳升华
1．集合是由元素构成的，从研究集合中元素的构成入手，是求解结合运算问题的前提．2．用不等式表示的集合问题，常用数轴的直观性求解，特别要注意不等式边界值的取舍，含参数时要注意对集合是否为空集进行讨论．
[变式训练] (1)已知集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3}，则(∁U A)∩B 等于( )
A．{1，3} B．{2，3}
C．{3} D．{0，1，2，3}
(2)如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是( )
A ．(∁U
B )∪A B ．A ∩(∁U B )
C ．(∁U A )∩B
D ．A ∩B
解析：(1)依题意有∁U A ＝{3}，又B ＝{2，3}， 所以(∁U A )∩B ＝{3}．
(2)阴影中的任意元素x 满足x ∈A 但x ∉B ， 故x ∈A ∩(∁U B )． 答案：(1)C (2)B 专题二 函数的概念
函数的概念是建立在两个非空数集上的，定义域、值域和对应法则是函数的三要素．其中，定义域是研究函数问题的前提条件，而求函数的解析式、定义域、值域(最值)问题是高考的重点和热点．
[例2] (1)函数f (x )＝2x
3
1－x
＋(3x －1)－1
的定义域是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，13
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13）∪（13，1 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
，x ≤1，x ＋6x
－6，x >1，则f [f (－2)]＝________．f (x )的最小值是
________．
解析：(1)要使函数有意义，必须⎩
⎪⎨⎪⎧1－x >0，
3x －1≠0，解得
x <1且x ≠1
3
.所以函数的定义域是
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1. (2)f (－2)＝(－2)2
＝4，
所以f [f (－2)]＝f (4)＝4＋64－6＝－1
2
.
当x ≤1时，f (x )≥1；当x >1时，f (x )＝x ＋6
x
－6在(1， 6 ]上是减函数，在(6，
＋∞)上单调递增．
所以当x >1时，f (x )≥f (6)＝26－6<0， 所以f (x )的最小值是26－6.
答案：(1)D (2)1
2 26－6
归纳升华
1．函数的定义域，是使得每一个含自变量的式子有意义的自变量的取值集合，因此，求函数的定义域可转化为求不等式组的解集．
2．分段函数f (x )在x 的不同取值范围内对应关系不同，求函数值或值域时要分段求解，注意分类讨论．
[变式训练] (1)若函数f (x )的定义域是[0，1]，则函数f (2x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋13的定义域为
( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，12
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，13 (2)若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪
⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋1
3≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1
2，－13
≤x ≤23
，
所以x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12.
(2)令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1，3]上是增函数，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103.
答案：(1)C (2)B
专题三 函数的单调性与奇偶性
函数的单调性是函数最重要的性质，函数的奇偶性是研究图象的有力工具．函数单调性与奇偶性的判定，利用奇偶性做函数的图象，利用单调性求函数的值域(最值)，求解不等式或参数的取值范围是学习的重点．
[例3] 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，求f (2)＝5
3
.
(1)求实数m 和n 的值；
(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，
所以mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n
，
比较得n ＝－n ，即n ＝0.
又f (2)＝53，所以4m ＋26＝53，解得m ＝2.
因此，实数m 和n 的值分别为2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2
＋23x ＝2x 3＋2
3x ，
任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝ 23(x 1－x 2)·x 1x 2－1
x 1x 2
. 因为－2≤x 1<x 2≤－1时，
所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2－1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， 因此f (x )max ＝f (－1)＝－43
，
f (x )min ＝f (－2)＝－5
3
.
归纳升华
1．单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、解方程(组)等方面，应用十分广泛．
2．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
[变式训练] (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
(2)函数y ＝x 2
＋2x －3的单调递减区间是__________________． 解析：(1)f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4， 所以－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，
联立解得g (1)＝3.
(2)由x 2
＋2x －3≥0，得x ≥1或x ≤－3，所以函数减区间为(－∞，－3]． 答案：(1)B (2)(－∞，－3] 专题四 数形结合思想的应用
数形结合思想是研究集合、函数的重要思想．本章中涉及数形结合的知识点：借助Venn 图、数轴研究集合的交集、并集、补集；借助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇偶性等性质．
[例4] 对于函数f (x )＝x 2
－2|x |. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称，
f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |，
则f (－x )＝f (x )，
所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．
(2)f (x )＝x 2
－|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x －1）2
－1，x ≥0，
（x ＋1）2
－1，x <0. 画出图象如图所示，
根据图象知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)； 减区间是(－∞，－1]，[0，1]． 归纳升华
1．在画函数图象时，将函数解析式进行等价变形变为几种常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象．
2．根据函数的图象，借助几何直观图求函数的单调区间和最小值，体现了数形结合思想．
[变式训练] (1)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是递减，且f (－2)＝0，如图所示，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2，2)
(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
－2x ＋4，x <－1，－2x ＋5，－1，≤x <1，3，x ≥1
的值域是____________．
解析：(1)由图(图略)可得在(－∞，0]上，f (x )<0的解集为(－2，0]． 因为f (x )为偶函数，所以x 的取值范围为(－2，2)． (2)作出函数图象如图所示，
由图象知，函数的值域为[3，＋∞)． 答案：(1)D (2)[3，＋∞)。