高三导数教案(教师用)

高三数学备课教案（教师用） 编写：储鹏
课题 导数的应用
教学目标
1． 掌握导数的概念、运算及其几何性质 2． 应用导数求单调区间、求极值 3． 运用导数解决一些综合性问题
重难点透视
1. 导数的几何性质
2. 应用导数求单调区间、求极值
知识点剖析
序号 知识点
预估时间
掌握情况
1 知识回顾，例题讲解 2课时
2 随堂练习 1课时 3
评讲反馈
1课时
教学内容
【知识回顾】
1. 导数的定义：_________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________。

答案：如果0→∆x 时，x
y
∆∆有极限，就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限称为)(x f 在点0x 处的 导数。

2. 导数的几何性质：在连续函数)(x f 的图像上任取一点),(00y x P ，在点P 处的切线的斜率就称为)(x f 在 点),(00y x P 处的导数，或者也叫)(x f 在0x x =时的导数。

3. 导数的四则运算公式：
[]________________)()(='+x g x f []_____________)()(='-x g x f
[]_________________)()(='
⋅x g x f ______________
)()(='
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛x g x f
答案：)()(x g x f '+' )()(x g x f '-' )()()()(x f x g x g x f '+' 2
)]([)
()()()(x g x f x g x g x f '-' 4. 常用函数的导数（熟记）
)0(≠+=k b kx y ，___________='y )(是常数C C y =，_________='y c bx ax y ++=2，___________
='y x y =，________='y x y sin =，_______='y x y cos =，_________='y x y ln =，_________='y
x e y =，_____='y ()1,0≠>=a a a y x ，_________='y x y a log =，_______='y
n x y =，_______='y 答案：k 0 b ax +2 x
21 x cos x sin -
)0(1
>x x
x e a a x ln e x a log 1 1-n nx
5. 利用导数求单调性的原理
若函数)(x f 在区间I 上恒有0)(≥'x f ，则)(x f 在区间I 上单调增；反之，若在区间I 上恒有0)(≤'x f ，则
)(x f 在区间I 上单调减。

6. 何为极值点？何为驻点？
设函数)(x f 在区间I 上可导，且I x ∈0，()00='x f ，如果
（1）当0x x <时，0)(<'x f ；当0x x >时，0)(>'x f ，那么)(0x f 就是)(x f 的极小值。

（2）当0x x <时，0)(>'x f ；当0x x >时，0)(<'x f ，那么)(0x f 就是)(x f 的极小值。

使导数为零的点0x 就叫做驻点。

如果出现这样的情况，例如3)(x x f =，它的导数2
3)(x x f ='，虽然在0=x 的
时候有0)(='x f ，但是当0<x 或者0>x 时，都是0)(>'x f ，0=x 这个点只能算是一个驻点，而不能算是极值点。

7. 二阶导数与拐点
所谓二阶导数，就是把原函数)(x f 求导之后得到的导函数)(x f '，再进行一次求导，记作)(x f ''。

例如：bx ax x f +=2
)(，b ax x f +='2)(，a x f 2)(=''
所谓拐点，也就是说，如果原函数)(x f 的二阶导数)(x f ''在0x x =处有0)(0=''x f ，那么0x x =就是)(x f 的拐点。

例题精讲
【例题1】设函数x
b
ax x f -=)(，曲线)(x f y =在点())2(,2f 处的切线方程为01247=--y x （1）求)(x f 的解析式；
（2）证明：曲线)(x f y =上任意一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形的面积为定值，并求出这个定值。

【分析】第一问，要我们求解析式，实际上也就是要知道b a ,的值。

题干中给了我们具体的切线方程，所以2=x 时，21)2(=
f ，并且切线斜率是已知的，斜率为4
7
，而函数上某点的切线正是这个函数在该点处的导数。

有了这两个条件，就可以列两个方程，从而算出b a ,的值，求出解析式。

第二问，我们必须通过画图来理解，根据条件作图，然后列出关于面积的算式，通过一系列的消元、化简，最终消去所有未知量，得出定值。

【简要答案】（1）3,1==b a ，x
x x f 3
)(-= （2）定值为6
【试题解析】１）方程74120x y --=可化为734y x =
-，当2x =时，12
y =； 又()'
2b f x a x =+，于是12227
44
b a b a ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩，故()3f x x x =-
（２）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'
23
1y x
=+
知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
令0x =，得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭； 令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为
00
16
262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值，此定值为6
【例题2】已知函数1)(2+=ax x f ，bx x x g +=3)(
（1）若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在它们的交点),1(c 处有公共切线，求b a ,的值； （2）当9,3-==b a 时，若函数)()(x g x f +在区间]2,[k 上的最大值为28，求k 的取值范围。

【分析】第一问，题干强调，),1(c 是两个函数的交点，在该点处有公共切线，因为某一点处切线的斜率就是函数在该点的导数，也就是说，两个函数在该点处的导数是相同的。

第二问，其实等于告诉了我们函数具体的解析式，然后给了一个可变的区间，在这个区间上要求最大值只能是28，所以就要通过单调性和极值来判断，并通过画图像来更加准确的说明问题。

【简要答案】（1）3,3==b a （2）3-≤k
【例题3】设函数2)(--=ax e x f x （1）求)(x f 的单调区间
（2）若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，()01)(>++'-x x f k x ，求k 的最大值。

【简要答案】（1）0≤a ，)(x f 在R 上单调增；0>a ，)(x f 在()a ln ,∞-单调减，在()+∞,ln a 单调增 （2）k 的最大值为2 【详解】
（2）1)(++-=k ke xe x g x x ，x e x k x +-+<
1
1
令=)(x h x e x x +-+11，则2
)
1()2()(---=x x x e x e e x h ，由（1）知2)(--=x e x F x
在),0(+∞单调增 0)2(,0)1(><F F ，在区间（1,2）存在唯一零点
设零点为α，0)(='αh ，2+=αα
e ，1)(+=ααg )3,2(∈，2)(max =⇒<k g k α
【例题4】（1）设实数)1,3
2
(∈a ，函数]1,1[,23)(23
-∈+-
=x b ax x x f ，2
6,1min max -==y y ，求b a ,。

（2）设]2,1[,6)(23-∈+-==x b ax ax x f y ，29,3min max -==y y ，求b a +
解：（1）)(3)(a x x x f -=' b a f b a f +-=+-
-=-2
3
1)1(,231)1( b a a f b f +-==32
1
)(,)0(
∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧-
=+--=-====26231)1(1)0(min max b a f y b f y ∴
⎪⎩
⎪⎨⎧==136
b a （2）情形一：)4(3)(,0-='>x ax x f a
∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+-=====32
2916)2(3)0(min
max b a b a f y b f y
情形二：)4(3)(,0-='<x ax x f a
⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧-====+-==292
29)0(316)2(min
max b a b f y b a f y ∴ 5=+b a 或－31
【例题5】已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=，
（1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求)(x f 在区间[－2，2]上的最大值和最小值； （3）若)(x f 在（－∞，－2）和),2[+∞上都是增函数，求a 的取值范围。

【详解】（1）因为a x ax x a x x x f 44))(4()(232+--=--=
所以423)(2--='ax x x f
（2）由0)1(=-'f ，得21=
a ，此时有)2
1)(4()(2
--=x x x f 所以43)(2
--='x x x f ，由0)(='x f ，得34=x 或1-=x ，又因为-=)3
4(f 2750
0)2(,0)2(,2
9
)1(==-=-f f f ，所以)(x f 在[－2，2]上的最大值为29，最小值为2750-
（3）∵ 423)(2
--='ax x x f 的图象为开口向上且过点（0，－4）的抛物线 由条件得0)2(',0)2('≥≥-f f ，即⎩⎨⎧≥-≥+0
480
84a a ，解得22≤≤-a ，所以a 的取值范围为[-2,2]
【例题6】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880
3
12800013≤<+-=
x x x y 已知甲、乙两地相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【分析】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

【解】（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了
5.240
100
=小时 要耗油5.175.2)84080
3
401280001(
3=⨯+⨯-⨯（升）
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x
100
小时，设耗油量为h （x ）升，依题意得4
15
80012801100)88031280001()(23-+=⋅+-=x x x x x x h （1200≤<x ）
∵ )1200(64080800640)(2
3
32≤<-=-=
'x x x x x x h 令0)(='x h ，得80=x
当)80,0(∈x 时，)(,0)(x h x h <'是减函数；当x ∈（80，120）时，0)(>'x h ，h （x ）是增函数 ∴ 当x=80时，h （x ）取到极小值h （80）=11.25 因为h （x ）在]120,0(上只有一个极值，所以它是最小值
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

【随堂练习】
1. 函数12+=ax y ()0≠a 的图像与直线x y =相切，则______=a
2. 曲线33
--=x x y 在点)3,1(处的切线方程为__________________ 3. 函数x x y ln 2
12
-=
的单调减区间是________________ 4. 设直线t x =与函数x x g x x f ln )(,)(2
==的图像分别交于点N M ,，则当||MN 达到最小值时，____=t
5. 已知某厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为234813
13
-+-=x x y ， 则该厂家获得最大年利润的年产量为____________万件。

6. 已知点P 在曲线1
4
+=x
e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________
7. 已知函数()R a x a x x f ∈--=ln 1)(
（1）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为033=--y x ，求a 的值； （2）求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1=a
（3）若0<a ，且对任意]1,0[,21∈x x 都有2
1211
14)()(x x x f x f -
≤-，求实数a 的取值范围。

8. 已知x x x f ln )(=，3)(2-+-=ax x x g （1）求函数)(x f 在]2,[+t t ()0>t 上的最小值；
（2）对一切),0(+∞∈x ，())(2x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围 （3）证明：对一切),0(+∞∈x ，都有ex
e x x 2
1ln ->成立
9. （2011，江苏）已知b a ,是实数，函数ax x x f +=3)(，bx x x g +=2
)(，)(x f '和)(x g '分别是)(x f 和)
(x g 的导函数，若⋅')(x f 0)(≥'x g 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致。

（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[∞+-上单调性一致，求b 的取值范围
（2）设0<a 且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以b a ,为端点的开区间上单调性一致，求b a -的最大值
【本课总结】
学生应将主要精力集中在基本概念的掌握上，对于导数的几何性质，导数在函数单调性和最值当中的应用，应当着重复习。

导数这一章节的内容，应重视通性通法，而不是一味地寻找特殊方法，应紧扣高考大纲要求。