高考专题--极限-2018年高考数学(理)母题---精校解析 Word版

高考专题11 等差数列与等比数列
【母题原题1】【2018上海卷，10】设等比数列{a n 错误！未找到引用源。

}的通项公式为a n =q ⁿ+1
（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1
Sn 1
lim 2n n a →∞+=，则q=____________
【答案】
3
【母题原题2】【2017上海卷，2】在数列中，
，
，则
（ ）
A. 等于
B. 等于0
C. 等于
D. 不存在
【答案】B 【解析】 数列
中，
，则
，故选B.
【母题原题3】【2016上海卷，4】已知无穷等比数列的公比为，前n 项和为
，
且.下列条件中，使得()
*
2n S S n N <∈恒成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：
由题意得： 111n n q S a q
-=⋅-，所以1
l i m =(01)1n n a S S q q →∞=<<-，所以
对一切正整数恒成立，当10a >时， 1
2
n
q >
不恒成立，舍去；当10a <时， 211
22
n
q q <
⇒<，因此选B. 【考点】数列的极限、等比数列求和
【名师点睛】本题解答时确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
【命题意图】1.熟练极限，数列的简单极限以及极限的运算法则．
【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是数列的极限考查的重点，常与函数列进行联系，常以选择、填空考查为主. 【方法总结】
1.三个最基本的极限
(1)常数数列的极限就是其本身，即：C=C 。

(2)=0。

(3)当|q|<1时，
q n
=0。

这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。

2.数列极限四则运算法则：
如果
a n =A,
b n =B, 那么：
(a n ±b n )=
a n ±
b n =A±B。

(a n ·b n )=
a n ·
b n =A·B。

== (b n ≠0，B≠0)。

=
=
(a n ≥0, A≥0)。

应特别注意理解：
(1)公式成立的条件：公式成立的前提是{a n }与{b n }都存在极限。

(2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序。

(3)公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个。

3.无穷数列各项的和 (1)无穷递缩等比数列：
当公比|q|<1时无穷等比数列{a n }称为无穷递缩等比数列。

S n ==。

则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和，用S 表示，即S=。

(2)其它无穷数列各项的和：
若无穷数列{b n }不是等比数列，但可求得前n 项和 T n ，且T n =t 。

则无穷数列{b n }的各项和存在，且为：S=T n =t 。

4.求数列极限的方法与基本类型：
1)．求数列极限的基本思路是“求和——变形——利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限。

2)．常见的几类数列极限的类型和方法有：
①型：分子分母分别求和再化简转化 ②型：分子分母分别求和再化简转化
③已知极限值定参数：待定系数法
3)．要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件。

4)．实际运用中极限思想应引起注意。

1．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*
N n ∈），则“lim n n S →∞
存在”是
“该数列公差0d =”的（ ）
A ． 充分非必要条件
B ． 必要非充分条件
C ． 充要条件
D ． 既非充分也非必要条件 【答案】A
2．【上海市大同中学2018届高三三模】等比数列的前项和为，若对于任意的正整数
，均有成立，则公比__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合等比数列前n项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
很明显数列的公比，且，结合题意和等比数列前n项和公式有：
，即：，
整理可得：，据此有：，则.
【点睛】
本题主要考查等比数列前n项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．【上海市2018年5月高考模练习（一）】计算：__________ 【答案】3
【解析】
【分析】
【点睛】
本题主要考查极限的计算以及常见极限公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
4．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】
131lim 31
n n n +→∞-=+_____________. 【答案】
1
3
【解析】1113113lim lim 313
33n
n n n n n
+→∞→∞-
-==++ ,故填13.
5．【上海市十二校2018届高三联考】计算： 23lim
123n n n
n
→+∞-=++++________ 【答案】6
6．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】计算1lim 1n n →∞
⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
的结果是________ 【答案】1 【解析】11lim 11lim 101n n n n →∞
→∞⎛⎫-
=-=-= ⎪⎝⎭
故答案为1
7．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a = ，公比为3
2
a -，且lim n x S a →∞= ，则a =_____．
【答案】2 【解析】
无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为11a =，公比3
2a -
，且()
*
lim n n S a n N →∞
=∈， 21
,2520312
a a a a ∴=∴-+=-+
， 2a ∴=或12a =，
3122a ∴-
=或3
12
a -=-， 3
1,22
a a -
<∴=，故答案为2. 8．计算： 3
1lim 1n n ∞
→⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
.
【答案】1
【解析】由题意，得3
231331lim 1lim1lim lim lim 10001n n n n n n n n n
∞
∞∞∞∞→→→→→⎛⎫
+=+++=+++= ⎪⎝⎭；故
答案为1.
9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()
*2
13
n n S a n N =-∈，则
lim n n S →∞=__________．
【答案】1
10．设数列
{}n a 的前
项和为，则___________．
【答案】
55
18
.
【解析】试题分析：由题可知()
()2112,{ 55
13,183n n
n n n N S n n N -≤≤∈=⎛⎫
-≥∈ ⎪⎝⎭
，则5515555
lim lim lim 01831818n n n n n S →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，故应填入5518.。