多目标规划_2
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则根据上述模型，我们任意给定一个可行解 x R ，则其对应的目标函数值F x
是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ，Fx [ f1 x f2 x
f p x]T R p 。
设 FR 表 示 可 行 域 R 中 所 有 x 对 应 的 p 维 向 量 Fx 的 全 体 ， 即 ：
FR Fx | x R，如果把F x看作是由约束集合 R 到R p 的映射，则F R称为
多目标规划
❖ 什么是多目标规划问题
▪ 在线性规划、整数规划以及非线性规划中，其目标函数都只有一个。但在实际 问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个标准，常常要考虑多个目标。 例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率，同时还要考虑产品质量，又要 考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程中的环保问题，即废渣、废水、 废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既要射程远，又要燃料省，还要重 量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希望回报高的同时又希望降低投资 风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指标最优化问题。我们把在这样的 背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问题。
矩量
1 6
x1
x22
，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度
最大，故目标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 x x1x2
f2
x
1 6
x1 x22
x12 x22 1
x1, x2 0
多目标规划问题的典型实例
❖ 例2. 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。
(3) 可以从几何上（例如 p 2时）对一些常用的解法加以解释。
有效解和有效点、弱有效解和弱有效点之间有如下的关系：
若已知象集F R的有效点集Fe*，则多目标规划问题的有效解集 Re*可以表示为：
Re*
FFe*
x | Fx F, x R
若已知象集F R的有弱效点集Fw*e ，则多目标规划问题的弱有效解集 Rw*e 可以表示为：
f x
f x
f1 x f2 x
f2 x f1 x
Re* a,b
O
ab
x
a
O a cd
b
bx
多目标规划的解集
❖ 解集之间的关系
(1)
p
若
i1
Ri*
，则 Ra*b
p
i 1
Ri*
(2) Re* Rw*e R
(3) Ri* Rw*e (i 1, 2,..., p)
(4) Ra*b Re*
规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单
目标规划问题：min fi x, xR, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优
解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最
优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
f1 和 f2 的极小值如图所示。就方案 A1和 A2 来说，有：f1 A1 f1 A2 且 f2 A1 f2 A2 ，
故无法确定优劣。而对于方案 A2 和 A3 而言，有： f1 A2 f1 A3 且 f2 A2 f2 A3 ；所
以显然 A2 比 A3 好。
f2
多目标规划问题与线性规划和非线性规划问题的主要区别就在于，它所追求的
目标不止一个，而是多个。
多目标规划问题的数学模型
❖ 目标规范化
由于许多实际问题中，各个目标的量纲一般都是不同的，所以有必要将每个目标
事先进行规范化，例如，对第 j 个带量纲的目标 Fj x ，我们可令：
fj
x
Fj x
Fj
其中：
Fj
其中： x x1 x2
xn T ；Fx f1 x f2 x
f p x, p 2
令 R x | gi x 0, i 1,2,...,m，则称 R 为问题的可行域，V-min Fx指的是
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数F x和约束函数 gi x 、hi x可以
是线性函数也可以是非线性函数。
p
p
(5)
若 Ra*b
，则
i1
Ri*
Rw* e
，
i1
Ri*
Re*
Ra*b
(6) 若 F x 中每个 fi x 都是严格凸函数， R 是凸集，则 Re* Rw*e
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V-min Fx
s.t.
gi x 0 (i 1, 2,..., m) (8-3)
则其可行域为：
R x | gi x 0, i 1,2,...,m
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为： qA1 20x1, qA2 25x2 , qA3 15x3
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f2 x 24103 20x1 26103 25x2 28103 15x3
0.48x1 0.65x2 0.42x3 那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
有效点的全体记作 Fe*
设F F R，如果不存在F F R使得F F成立，则称F 为象集F R 的弱有效点，
弱有效点的全体记作 Fw*e 根据上述定义显然有： Fe* Fw*e
多目标规划的象集
研究象集的作用在于：
(1) 求出F R中的有效点和弱有效点，就可确定有效解和弱有效解；
(2) 对象集F R的研究可以提供—些解多目标规划的方法；
min xR
Fj
x
R x | gi x 0, i 1,2,...,m; hi x 0, i 1,2,...,l
这样 f j x 就是规范化的目标了，在以后的叙述中，不妨假设多目标规划问题中
的目标均已规范化。
多目标规划的解集
❖ 直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1, x2 R ，通过比较它们的目标函数
多目标规划问题的典型实例
❖ 例1. 木梁设计问题
用直径为 1(单位长)的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？
假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
x12 x22 1
且此时木梁的截面面积为 x1x2 。同时根据力学知识，木梁的强度取决于截面
R * we FFw*e
有效解的集合 Re* a,b
设 x* R ，如果不存在 x R 使得 Fx Fx* 成立，则称x*为多目标规划问题的
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rw*e ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n 1, p 2 时弱有效解的直观几何意义
如图(b)所示， Rw*e a,b， Re* c, d
设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 x 2x1 1.5x2 购得的原料总量为： f2 x x1 x2
那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f1 x的同时 极大化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
同时要满足所花的总费用不得超过 300 元，原料的总重量不得少于 120kg，A 原料
f1 x的同时极小化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周
不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
象集或者目标空间，R 称为原象或策略空间。
对x R，必有 F xF R ，反之对F F R ，必x R 使得F x F ，即
象集 F R中的每一个象点，至少有一个 R 中的与之对应，但这种对应不一定是“一
对一”的。
多目标规划的象集
❖ 有效点和弱有效点。
设F F R，如果不存在F F R使得F F成立，则称F 为象集F R 的有效点，
的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下
述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500x1 400x2 600x3 f2 x 0.48x1 0.65x2 0.42x3
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Ra*b ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
fபைடு நூலகம்x
f x
f2 x f1 x
f1 x
f2 x
Ra*b a,b
O
x*
a
x
O
ab
x
b
多目标规划问题的的绝对最优解一般情况下是不存在的。事实上，如果把多目标
❖ 多目标规划问题的发展
▪ 多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一 个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的 一种数学方法。其概念和数学模型是由 A.Charnes 和 W.W.Cooper 在1961年 提出的，它在经济管理与规划、人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化 等重要问题上都有广泛的应用。
值 f x1, f x2 就可以确定哪个更优。但对于多目标规划而言，给定任意两个可行解
x1, x2 R ，因为目标函数 Fx1,Fx2 均为向量，故可能不存在 Fx1,Fx2 之间的大小
关系，既无大于等于关系，也无小于等于关系。
例如我们首先直观的看一个多目标规划的图解实例。假设问题的目标为求函数
对于方案 A1和 A2 ，由于无法确定其优劣，
A5
而且又没有比它们更好的其他方案，所
A4
A6
以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 （或者非劣解），其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集。
A1
A7
A3 A2
O
f1
多目标规划的解集
❖ 绝对最优解
设 x* R ，如果对于 x R均有 Fx* Fx ，则称 x* 为多目标规划问题的绝对最
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
24
25
400
800
26
15
600
500
28
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
利润得到其总利润 f1 x 为： f1 x 500x1 400x2 600x3
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300 x1 60 x2 0
多目标规划问题的典型实例
❖ 例3. 生产计划问题
某工厂生产 A1、A2 和 A3 三种产品以满足市场的需要，该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V- min s.t.
Fx gi x 0 (i 1,2,...,m) hi x 0 (i 1,2,...,l)
多目标规划的解集
❖ 有效解与弱有效解
设 x* R ，如果不存在 x R使得 Fx Fx* 成立，则称 x*为多目标规划问题的有
效解。多目标规划问题的有效解的全体记作 Re* ，有效解的含义是：在所有的可行解 中找不到比它好的可行解，当 n 1, p 2 时有效解的直观几何意义如图 (a)所示，其
是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ，Fx [ f1 x f2 x
f p x]T R p 。
设 FR 表 示 可 行 域 R 中 所 有 x 对 应 的 p 维 向 量 Fx 的 全 体 ， 即 ：
FR Fx | x R，如果把F x看作是由约束集合 R 到R p 的映射，则F R称为
多目标规划
❖ 什么是多目标规划问题
▪ 在线性规划、整数规划以及非线性规划中，其目标函数都只有一个。但在实际 问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个标准，常常要考虑多个目标。 例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率，同时还要考虑产品质量，又要 考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程中的环保问题，即废渣、废水、 废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既要射程远，又要燃料省，还要重 量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希望回报高的同时又希望降低投资 风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指标最优化问题。我们把在这样的 背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问题。
矩量
1 6
x1
x22
，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度
最大，故目标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 x x1x2
f2
x
1 6
x1 x22
x12 x22 1
x1, x2 0
多目标规划问题的典型实例
❖ 例2. 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。
(3) 可以从几何上（例如 p 2时）对一些常用的解法加以解释。
有效解和有效点、弱有效解和弱有效点之间有如下的关系：
若已知象集F R的有效点集Fe*，则多目标规划问题的有效解集 Re*可以表示为：
Re*
FFe*
x | Fx F, x R
若已知象集F R的有弱效点集Fw*e ，则多目标规划问题的弱有效解集 Rw*e 可以表示为：
f x
f x
f1 x f2 x
f2 x f1 x
Re* a,b
O
ab
x
a
O a cd
b
bx
多目标规划的解集
❖ 解集之间的关系
(1)
p
若
i1
Ri*
，则 Ra*b
p
i 1
Ri*
(2) Re* Rw*e R
(3) Ri* Rw*e (i 1, 2,..., p)
(4) Ra*b Re*
规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单
目标规划问题：min fi x, xR, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优
解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最
优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
f1 和 f2 的极小值如图所示。就方案 A1和 A2 来说，有：f1 A1 f1 A2 且 f2 A1 f2 A2 ，
故无法确定优劣。而对于方案 A2 和 A3 而言，有： f1 A2 f1 A3 且 f2 A2 f2 A3 ；所
以显然 A2 比 A3 好。
f2
多目标规划问题与线性规划和非线性规划问题的主要区别就在于，它所追求的
目标不止一个，而是多个。
多目标规划问题的数学模型
❖ 目标规范化
由于许多实际问题中，各个目标的量纲一般都是不同的，所以有必要将每个目标
事先进行规范化，例如，对第 j 个带量纲的目标 Fj x ，我们可令：
fj
x
Fj x
Fj
其中：
Fj
其中： x x1 x2
xn T ；Fx f1 x f2 x
f p x, p 2
令 R x | gi x 0, i 1,2,...,m，则称 R 为问题的可行域，V-min Fx指的是
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数F x和约束函数 gi x 、hi x可以
是线性函数也可以是非线性函数。
p
p
(5)
若 Ra*b
，则
i1
Ri*
Rw* e
，
i1
Ri*
Re*
Ra*b
(6) 若 F x 中每个 fi x 都是严格凸函数， R 是凸集，则 Re* Rw*e
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V-min Fx
s.t.
gi x 0 (i 1, 2,..., m) (8-3)
则其可行域为：
R x | gi x 0, i 1,2,...,m
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为： qA1 20x1, qA2 25x2 , qA3 15x3
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f2 x 24103 20x1 26103 25x2 28103 15x3
0.48x1 0.65x2 0.42x3 那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
有效点的全体记作 Fe*
设F F R，如果不存在F F R使得F F成立，则称F 为象集F R 的弱有效点，
弱有效点的全体记作 Fw*e 根据上述定义显然有： Fe* Fw*e
多目标规划的象集
研究象集的作用在于：
(1) 求出F R中的有效点和弱有效点，就可确定有效解和弱有效解；
(2) 对象集F R的研究可以提供—些解多目标规划的方法；
min xR
Fj
x
R x | gi x 0, i 1,2,...,m; hi x 0, i 1,2,...,l
这样 f j x 就是规范化的目标了，在以后的叙述中，不妨假设多目标规划问题中
的目标均已规范化。
多目标规划的解集
❖ 直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1, x2 R ，通过比较它们的目标函数
多目标规划问题的典型实例
❖ 例1. 木梁设计问题
用直径为 1(单位长)的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？
假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
x12 x22 1
且此时木梁的截面面积为 x1x2 。同时根据力学知识，木梁的强度取决于截面
R * we FFw*e
有效解的集合 Re* a,b
设 x* R ，如果不存在 x R 使得 Fx Fx* 成立，则称x*为多目标规划问题的
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rw*e ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n 1, p 2 时弱有效解的直观几何意义
如图(b)所示， Rw*e a,b， Re* c, d
设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 x 2x1 1.5x2 购得的原料总量为： f2 x x1 x2
那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f1 x的同时 极大化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
同时要满足所花的总费用不得超过 300 元，原料的总重量不得少于 120kg，A 原料
f1 x的同时极小化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周
不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
象集或者目标空间，R 称为原象或策略空间。
对x R，必有 F xF R ，反之对F F R ，必x R 使得F x F ，即
象集 F R中的每一个象点，至少有一个 R 中的与之对应，但这种对应不一定是“一
对一”的。
多目标规划的象集
❖ 有效点和弱有效点。
设F F R，如果不存在F F R使得F F成立，则称F 为象集F R 的有效点，
的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下
述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500x1 400x2 600x3 f2 x 0.48x1 0.65x2 0.42x3
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Ra*b ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
fபைடு நூலகம்x
f x
f2 x f1 x
f1 x
f2 x
Ra*b a,b
O
x*
a
x
O
ab
x
b
多目标规划问题的的绝对最优解一般情况下是不存在的。事实上，如果把多目标
❖ 多目标规划问题的发展
▪ 多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一 个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的 一种数学方法。其概念和数学模型是由 A.Charnes 和 W.W.Cooper 在1961年 提出的，它在经济管理与规划、人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化 等重要问题上都有广泛的应用。
值 f x1, f x2 就可以确定哪个更优。但对于多目标规划而言，给定任意两个可行解
x1, x2 R ，因为目标函数 Fx1,Fx2 均为向量，故可能不存在 Fx1,Fx2 之间的大小
关系，既无大于等于关系，也无小于等于关系。
例如我们首先直观的看一个多目标规划的图解实例。假设问题的目标为求函数
对于方案 A1和 A2 ，由于无法确定其优劣，
A5
而且又没有比它们更好的其他方案，所
A4
A6
以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 （或者非劣解），其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集。
A1
A7
A3 A2
O
f1
多目标规划的解集
❖ 绝对最优解
设 x* R ，如果对于 x R均有 Fx* Fx ，则称 x* 为多目标规划问题的绝对最
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
24
25
400
800
26
15
600
500
28
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
利润得到其总利润 f1 x 为： f1 x 500x1 400x2 600x3
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300 x1 60 x2 0
多目标规划问题的典型实例
❖ 例3. 生产计划问题
某工厂生产 A1、A2 和 A3 三种产品以满足市场的需要，该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V- min s.t.
Fx gi x 0 (i 1,2,...,m) hi x 0 (i 1,2,...,l)
多目标规划的解集
❖ 有效解与弱有效解
设 x* R ，如果不存在 x R使得 Fx Fx* 成立，则称 x*为多目标规划问题的有
效解。多目标规划问题的有效解的全体记作 Re* ，有效解的含义是：在所有的可行解 中找不到比它好的可行解，当 n 1, p 2 时有效解的直观几何意义如图 (a)所示，其