河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次

南阳一中2018年春期高二年级第一次月考
数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位，则复数
512i
i
+=（ ） A ．2i - B ．12i - C ．2i + D ．12i -+
2. 设1111()(*)1232f n n N n n n n =
++++∈+++，那么(1)()f n f n +-等于（ ） A ．112122n n -++ B ．112122n n +++ C ．122n + D ．1
21
n + 3.曲线()31x f x e x =-+在点(0,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．2 B ．
32 C ．5
4
D ．1 4.定义*,*,*,*A B B C C D D A 的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（ ）
A ．*,*
B D A D B ．*,*B D A
C C. *,*B C A
D D ．*,*C D A D 5.设()f x 在0x 可导，则000
()(3)
lim
x f x x f x x x
→+--等于（ ）
A ．04'()f x
B ．0'()f x C. 02'()f x D ．03'()f x 6.已知1i +是关于x 的方程2
20(,)ax bx a b R ++=∈的一个根，则a b +=（ ） A ．-1 B ．1 C.-3 D ．3
7.以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）
A ．30,
,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[)0,π C. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,,424
πππ
⎡⎤
⎡⎫
⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
8.在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；
②复数1z i =-对应的点在第四象限；
③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0 B ．1 C.2 D ．3 9.已知函数2
1()sin cos 2
f x x x x x =
+，则其导函数'()f x 的图象大致是（ ） A ． B ． C.
D ．
10.“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）
A ．男护士
B ．女护士 C.男医生 D ．女医生
11.给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导函数，''()f x 是函数'()f x 的导函数，若方程
''()0f x =有实数解0x ，则称点()00,()x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()00,()M x f x ，则点M （ ）
A ．在直线3y x =上
B ．在直线3y x =-上 C.在直线4y x =-上 D ．在直线4y x =上
12.若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A ．9 B ．10 C.11 D ．12
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数cos75sin 75z i =︒+︒（i 是虚数单位），则在复平面内2
z 对应的点位于第 象限．
14.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1
()3'(1)f x xf x
=+，则'(2)f 的值等于 ．
15.我们知道，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ．
16.二维空间中圆的一维测量（周长）2l r π=，二维测量（面积）2
S r π=，观察发现；三
维空间中球的二维测度（表面积）2
4S r π=，三维测度（体积）3
43
V r π=
，观察发现'V S =.已知四维空间中“超球”的三维测度3
8V r π=，猜想其四维测度W = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求下列函数的导数.
（1）x
e y x
=； （2）2(21)(31)y x x =-+； （3）sin(1)cos 2x y x =+-.
18. m 为何实数时，复数2
(2)3(1)2(1)z i m i m i =+-+--满足下列要求： （1）z 是纯虚数；
（2）z 在复平面内对应的点在第二象限；
（3）z 在复平面内对应的点在直线50x y --=上.
19. 设函数2
()f x ax bx c =++且(1),3222
a
f a c b =-
>>. （1）试用反证法证明：0a >； （2）证明：334
b a -<
<-.
20. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和2
15
94
y ax x =+-都相切，求实数a 的值. 21. 设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. （1）求()y f x =的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
22.已知数列{}n a 的前n 项和1
122n n n S a -⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭
（n 为正整数）.
（1）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令121
,n n n n n c a T c c c n
+==+++，试比较n T 与
521
n
n +的大小，并予以证明.
试卷答案
一、选择题
1-5:CADBA 6-10:AAACA 11、12：AD 二、填空题 13.二 14. 54
15. 3
16. 42r π 三、解答题
17.（1）()222
(1)
x x
x x x x e x e x e e x e e x y x x x x '''-⋅⎛⎫⋅--'==== ⎪⎝⎭
. （2）因为232(21)(31)6231y x x x x x =-+=+--，
所以3
2
3
2
2
(6231)(6)(2)(3)(1)1843y x x x x x x x x ''''''=+--=+--=+-. （3）函数sin(1)y x =+看作sin y u =和1u x =+的复合复数，
(sin )(1)cos cos(1)x u x
y y u u x u x '''''=⋅=⋅+==+，同样的可以求出cos 2
x
y =的导数1sin 22x y '=-，所以题中函数的导数为1cos(1)sin 22
x y x '=++.
18.（1）2
2
2
(2)3(1)2(1)23322z i m i m i m m i mi m i =+-+--=+---+
22(232)(32)m m m m i =--+-+.
22
2320320
m m m m ⎧--=⎪
⎨-+≠⎪⎩，得12m =-，即12m =-时，z 是纯虚数. （2）由2
22320
320
m m m m ⎧--<⎪⎨-+>⎪⎩，得112m -<<，
即1,12m ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，z 在复平面内对应的点在第二象限.
（3）由22(232)(32)50m m m m ----+-=，得3m =±， 即3m =±时，z 在复平面内对应的点在直线50x y --=上. 19.（1）假设0a ≤，
322,30,20,20,a c b a c b >>∴≤<<
将上述不等式相加得3220a c b ++<，
(1),32202
a
f a c b =-∴++=，
这与3220a c b ++<矛盾，∴假设不成立，∴0a >. （2）
3
(1),22
a f a
b
c c a b =++=-∴=--，
3232,3a c a b a b ∴>=--∴>-. 3
22,34.0,34
b c b a b a a >∴->>∴-<
<-. 20.设直线与曲线3
y x =的切点坐标为00(,)x y ，
则3
002
00
31y x y x x ⎧=⎪⎨=⎪-⎩，则切线的斜率2
030k x ==或274k =，若0k =，此时切线的方程为0y =， 由2
01594
y y ax x =⎧⎪⎨=+-⎪⎩，消去y ，可得2
15904ax x +-=，其中0∆=，即2
153604a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解可得2564a =-
；若274k =，其切线方程为27
(1)4
y x =
-， 由227(1)4159
4
y x y ax x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，消去y 可得29304ax x --=，又由0∆=，即990a +=，
解可得1a =-.故25
64
a =-
或1-. 21.（1）方程74120x y --=可化为734y x =
-.当2x =时，12
y =. 又2()b f x a x '=+，于是1222
7
44
b a b a ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x =-.
（2）设00(,)P x y 为曲线上任一点，由2
3
1y x '=+
知曲线在点00(,)P x y 处的切线方程为()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
令0x =得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭. 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x . 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为
016
262x x
-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
22.（1）在1
122n n n S a -⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭
中，令1n =，可得1112n S a a =--+=，即112
a =
. 当2n ≥时，2
11122n n n S a ---⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭，1
1112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
∴=-=-++ ⎪
⎝⎭
，
1
1122n n n a a --⎛⎫
∴=+ ⎪
⎝⎭
，即11221n n n n a a --=+，
12,1n n n n n b a b b -=∴=+，即当2n ≥时，11n n b b --=.
又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列， 于是1(1)12,2
n
n n n n n b n n a a =+-⋅==∴=
. （2）由（1）得11(1)2n
n n n c a n n +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭，所以
2
3
1111234(1)2222n
n T n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2
3
4
1
11111234(1)22222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
得2
3
1
111111(1)22222n
n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
1
11111421331(1)122212
n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+
-+=- ⎪⎝⎭
-，332n n n T +∴=-.
535(3)(221)3212212(21)
n n n n n n n n n T n n n ++---=--=
+++， 于是确定n T 与
521
n n +的大小关系等价于比较2n
与21n +的大小. 23452211;2221;2231;2241;2251;<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+
猜想：当3n ≥时，221n
n >+.证明如下： 证法1：（1）当3n =时，由猜想显然成立. （2）假设n k =时猜想成立，即221k
k >+. 则1n k =+时，()1
2
22221422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=⋅>+=+=+++->++，
所以当1n k =+时猜想也成立.
综合（1）（2）可知，对一切3n ≥的正整数，都有221n
n >+. 证法2: 当3n ≥时,
01210112(11)2221n n n n n n
n n n n n n n n n C C C C C C C C C n n --=+=+++
++≥+++=+>+，
综上所述，当1,2n =时，521n n T n <+；当3n ≥时，521
n n
T n >+.。