2017-2018学年高中物理物理教科版必修2学案：第三章

章末总结
万有引力定律
⎩⎪⎪
⎨⎪⎪⎧ 开普勒行星运动定律⎩⎪⎨⎪
⎧
第一定律(轨道定律)第二定律(面积定律)第三定律(周期定律)
万有引力定律⎩⎪⎨⎪⎧
内容
公式：F ＝G m 1m 2
r 2，引力常量的测定
适用条件：(1)质点间的相互作用 (2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用 (3)质点与质量分布均匀的球体间的相互作用
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧
万有引力理论的成就⎩
⎪⎪⎨⎪⎪⎧
计算地球的质量(mg ＝F 万)：M ＝gR 2
G
(忽略地球自转影响)
计算天体的⎩⎪⎪⎨⎪
⎪⎧ 质量(F 万
＝F 向
)⎩⎨⎧ M ＝4π2r 3GT 2
r ＝R ，M ＝4π2R 3GT 2
密度⎩⎨⎧
ρ＝3πr 3
GT 2R 3
——高空测量ρ＝3π
GT 2
——表面测量
⎩
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧
人造卫星宇宙速
度⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎧ 人造地球卫星：G Mm
r 2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
m 4π2T 2r ⇒T ＝2π
r
3GM m v 2
r ⇒v ＝GM r mω2
r ⇒ω＝GM r
3
ma ⇒a ＝GM r
2
三个宇宙速度⎩⎪⎨⎪
⎧
第一宇宙速度：7.9 km/s 第二宇宙速度：11.2 km/s 第三宇宙速度：16.7 km/s
一、天体(卫星)运动问题的处理思路
分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”“两个思路”、区分“三个不同”。

1．一个模型：无论是自然天体(如行星等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动。

2．两个思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力。

因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即G Mm r 2＝m v 2
r ＝mω2
r ＝m 4π2T
2r ＝ma 。

(2)不考虑地球或其他天体自转影响时，物体在地球或其他天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G Mm
R
2＝mg ，变形得GM ＝gR 2。

3．三个不同
(1)不同公式中r 的含义不同。

在万有引力定律公式(F ＝G m 1m 2
r 2)中，r 的含义是两质点间
的距离；在向心力公式(F ＝m v 2
r ＝mω2r )中，r 的含义是质点运动的轨道半径。

当一个天体绕
另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r 相等。

(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同。

(3)卫星的向心加速度a 、地球表面的重力加速度g 、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a ′的含义不同。

[例1] 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心的距离分别为r A ＝8.0×104 km 和r B ＝1.2×105 km 。

忽略所有岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)。

(1)求岩石颗粒A 和B 的线速度之比； (2)求岩石颗粒A 和B 的周期之比；
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N ，推算出它距土星中心3.2×105 km 处受到土星的引力为0.38 N 。

已知地球半径为6.4×103 km ，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
解析 (1)设土星质量为M 0，岩石颗粒质量为m ，距土星中心距离为r ，线速度为v ，根
据牛顿第二定律和万有引力定律可得G M 0m r 2＝m v
2
r
，
解得v ＝
GM 0
r。

对于A 、B 两颗粒分别有v A ＝
GM 0
r A
和v B ＝GM 0r B ，得v A v B ＝62。

(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T ，则T ＝2πr
v ， 对于A 、B 两颗粒分别有T A ＝2πr A v A 和T B ＝2πr B
v B
， 得T A T B ＝269。

(3)设地球质量为M ，半径为r 0，地球上物体的重力可视为等于万有引力，探测器上物体质量为m 0，在地球表面重力为G 0，跟土星中心相距r 0′＝3.2×105 km 处的引力为G 0′，根据万有引力定律得
G 0＝GMm 0r 20，G 0′＝GM 0m 0r 0′2，解得M 0M ＝95。

答案 (1)
62 (2)26
9
(3)95倍 [针对训练1] “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星将气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。

设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，下列说法中正确的是( )
A ．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1
n
B ．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的1
n
C ．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
1n
D ．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
1n
解析 同步卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则G Mm
r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r
＝m 4π2
T
2r ，得同步卫星的运行速度v ＝
GM
r
，又第一宇宙速度v 1＝GM
R ，所以v v 1
＝R
r
＝1n ，故选项A 错误，C 正确；a ＝GM r 2，g ＝GM R 2，所以a g ＝R 2r 2＝1
n 2，故选项D 错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，则v ＝ωr ，v 自＝ωR ，所以v v 自＝r
R
＝n ，故选项B 错误。

答案 C
二、人造卫星的发射、变轨与对接 1．发射问题
要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星以很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1
＝7.9 km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F 引＝F 向，即G Mm
r 2＝m v 2r
，从而使卫星进入预定轨道。

2．变轨问题
图1
发射过程：如图1所示，一般先把卫星发射到较低轨道1上，然后在P点点火，使卫星加速，让卫星做离心运动，进入轨道2，到达Q点后，再使卫星加速，进入预定轨道3。

回收过程：与发射过程相反，当卫星到达Q点时，使卫星减速，卫星由轨道3进入轨道2，当到达P点时，再让卫星减速进入轨道1，再减速到达地面。

3．对接问题
图2
如图2所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道。

通过控制使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接。

[例2] (多选)2016年中国将发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接。

“天宫二号”预计由“长征二号F”改进型无人运载火箭或“长征七号”运载火箭从酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面的高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上。

“天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道，如图3所示。

已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R。

则下列说法正确的是()
图3
A．“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，引力为动力
B．“天宫二号”在椭圆轨道的B点的加速度大于在预定圆轨道上B点的向心加速度C．“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度大于在预定圆轨道上的B点的速度
D．根据题目所给信息，可以计算出地球质量
解析“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，速度在变大，故受到的
地球引力为动力，所以A 正确；在B 点“天宫二号”的加速度都是由万有引力产生的，因为同在B 点万有引力大小相等，故不管在哪个轨道上运动，在B 点时万有引力产生的加速度大小相等，故B 错误；“天宫二号”在椭圆轨道的B 点加速后做离心运动才能进入预定圆轨道，故“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的速度小于在预定圆轨道的B 点的速度，故C 错误；“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，故周期为T ＝t
n ，根据万有引力
提供向心力G Mm
(R ＋h )2
＝m 4π2(R ＋h )T 2，得地球的质量M ＝4π2(R ＋h )3GT 2＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2，故D 正确。

答案 AD
[针对训练2] (多选)如图4所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P 点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P ，远地点为同步圆轨道上的Q )，到达远地点Q 时再次变轨，进入同步轨道。

设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1，在椭圆形转移轨道的近地点P 的速率为v 2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3，在同步轨道上的速率为v 4，三个轨道上运动的周期分别为T 1、T 2、T 3，则下列说法正确的是( )
图4
A ．在P 点变轨时需要加速，Q 点变轨时要减速
B ．在P 点变轨时需要减速，Q 点变轨时要加速
C ．T 1＜T 2＜T 3
D ．v 2＞v 1＞v 4＞v 3
解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点P 时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G Mm R 21＜m v 22R 1，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G Mm R 21＝m v 21
R 1，所以v 2＞
v 1；同理，由于卫星在转移轨道上Q 点做近心运动，可知v 3＜v 4。

又由人造卫星的线速度v ＝
GM
r
可知v 1＞v 4，由以上所述可知选项D 正确，A 、B 错误，由于轨道半长轴R 1＜R 2＜R 3，由开普勒第三定律着r 3
T
2＝k (k 为常量)得T 1＜T 2＜T 3，故选项C 正确。

答案 CD
三、双星模型在天体运动中的应用
1．双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。

图5
2．双星问题的特点
(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。

(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。

(3)两星的运动周期、角速度相同。

(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L 。

3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G m 1m 2
L 2
＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2。

由此得出：
(1)轨道半径之比与双星质量之比相反：r 1r 2＝m 2
m 1。

(2)线速度之比与质量之比相反：v 1v 2＝m 2
m 1。

(3)由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L 3
GT 2。

[例3] (多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动。

由此可知卡戎绕O 点运动的( )
图6
A ．角速度大小约为冥王星的7倍
B ．向心力大小约为冥王星的1
7
C ．轨道半径约为冥王星的7倍
D ．周期大小与冥王星周期相同
解析 由题图可知，冥王星与卡戎绕O 点转动时每转一圈所用的时间相同，故D 正确，A 错误；冥王星与卡戎绕O 点转动时万有引力提供向心力，即G M 冥m 卡(r 冥＋r 卡)
2＝M 冥ω2
r 冥＝m 卡
ω2r 卡，故r 卡r 冥＝M 冥m 卡＝7
1
，B 错误，C 正确。

答案CD
[针对训练3] 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。

研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。

若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()
A．n3
k2T B．
n3
k T
C．n2
k T D．
n
k T
解析设两颗星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据万有引
力提供向心力可得：G
m1m2
(r1＋r2)2
＝m1r1
4π2
T2，G
m1m2
(r1＋r2)2
＝m2r2
4π2
T2，联立解得：m1＋m2＝
4π2(r1＋r2)3
GT2，即T 2＝
4π2(r1＋r2)3
G(m1＋m2)
，因此，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变
为原来的n倍时，两星圆周运动的周期为T′＝n3
k T，选项B正确，其他选项均错。

答案 B。