2024-2025学年沪教版初中数学九年级(上)教案第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数第2节

第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，使学生理解正、余弦关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题.
教学重难点
重点：能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 难点：进一步体会三角函数的意义. 教学过程 旧知回顾
【问题】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a
. (2)若∠A ＝30°，则a c ＝12.
新课讲授
【问题】问题1 如何得出30°，60°角的三角函数值？
【活动】学生独立思考，回答. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，设BC ＝1，则AB ＝2，由勾股定理得AC ＝ 3.
于是可得sin 30°＝12，cos 30°＝32，tan 30°＝33，sin 60°＝32，cos 60°＝12，
tan 60°＝3.
【问题】问题2 如何得出45°角的三角函数值？ 【活动】学生独立思考，回答.
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，设BC ＝1，则AC ＝1，AB ＝2，于是有sin 45°＝22，cos 45°＝22，tan 45°＝1.
教学反思
教学反思
【互动】学生独立完成，代表回答，教师补充完善.
例1 求下列各式的值：
（1）2sin603tan30tan45
︒+︒+︒；
（2）2
cos45tan60cos30
︒+︒︒.
解：（1）2sin603tan30tan45
︒+︒+︒
231
=+1
=.
（2）2
cos45tan60cos30
︒+︒︒
2
=+
13
22
=+2
=.
需要提醒学生注意：
cos245°表示（cos 45°）2，
sin245°表示（sin 45°）2，
tan245°表示（tan 45°）2.
例2 求下列各式的值：
(1) cos260°＋cos245°＋2sin 30°sin 45°；
(2)
cos60sin45
cos60sin45
︒+︒
︒-︒
＋
cos60cos45
cos60cos45
︒-︒
︒+︒
.
学生独立完成，代表回答，教师补充完善，强化过程计算.
解：(1)原式＝
2
2
1
2
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＋2×
1
2×
2
2＝
1
4＋
1
2＋
1
2＝
5
4；
(2)原式＝
1
2＋
2
2
1
2－
2
2
＋
1
2－
2
2
1
2＋
2
2
＝
（1＋2）2＋（1－2）2
12－（2）2
教学反思
＝1＋2＋22＋1－22＋21－2
＝－6.
【思考】从上面问题1、2的计算中，不难发现：sin 30° ＝cos 60°，sin 60° ＝
cos 30°，sin 45° ＝ cos 45°.这就是说，30° ，45° ，60°角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值.这个规律，是否适合任意一个锐角呢? 解：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.
∵ sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ， ∴ sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B .∵ ∠A ＋∠B ＝90°，
∴ ∠B ＝90°－∠A ，即 sin A ＝cos B ＝cos (90°－∠A )， cos A ＝sin B ＝sin (90°－∠A ).
【归纳】 结论：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值. 典型例题 例3 填空：
(1)已知sin 67°28′＝0.923 7，则cos 22°32′＝0.923 7；
(2)已知cos 4°14′＝0.997 3，则sin 85°46′＝0.997 3. 例4 已知sin A ＝1
2
，且∠B ＝90°－∠A ，求cos B . 解：∵ ∠B ＝90°－∠A ，∴ ∠A ＋∠B ＝90°， ∴ cos B ＝cos (90°－∠A )＝sin A ＝12.
变式：已知α，β为锐角，且sin (90°－α)＝13，sin β＝14，求cos(90)
cos ββ︒-的值. 解：∵ sin (90°－α)＝cos α＝13，cos (90°－β)＝sin β＝1
4
， ∴ cos(90)cos ββ
︒-＝1413
＝3
4.
课堂练习
教学反思
1.(1)在△ABC 中，sin B ＝cos (90°－∠C )＝1
2，那么△ABC 是 三角形；
(2)已知α为锐角，tan (90°－α)＝3，则α的度数为 . 2.计算：
(1)12sin 60°×22
cos 45°；(2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°. 参考答案
1.（1）等腰 （2）30°
2. 解：(1)12sin 60°×22cos 45°＝12×32×22×22＝38；
(2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°
＝2
2
2
+- ×1 ＝13＋34－12＝712
. 学生独立完成，教师归纳解题思路：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算.
课堂小结
布置作业
教材第119页练习 T1，T2，第122页习题23.1 T1
板书设计
1. 特殊角的三角函数值
2.例1， 例2
3.例3， 例4
4.练习。