新高考数学状元之路二轮复习专题知识突破训练(10)(含答案解析)

高考专题训练 (十 )数列乞降及数列的综合应用
A级——基础稳固组
一、选择题
1．(2014 ·东惠州一模广 )设 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，a1＝ 2，a5＝ 3a3，则 S9＝ () A．－ 72B．－ 54
C． 54D． 72
分析a1＝ 2，a5＝ 3a3得 a1＋ 4d＝ 3(a1＋ 2d) ，即 d＝－ a1＝－ 2，所以 S9＝ 9a1＋9×8
2d＝ 9×2
－9×8＝－ 54，选 B.
答案 B
2．(2014 ·国纲领卷全 )等比数列 { a n} 中，a4＝ 2，a5＝ 5，则数列 {lg a n} 的前 8 项和等于 () A． 6B．5
C．4D．3
分析S8＝ lga1＋ lga2＋＋ lga8＝ lg( a1·a2· ·a8)＝lg( a1·a8)4＝ lg(a4·a5)4＝ lg(2 ×5)4＝ 4.
答案 C
3． (2014 ·京卷北)设 { a n } 是公比为 q 的等比数列．则“q>1”是“{a n} 为递加数列”的 () A．充足而不用要条件
B．必需而不充足条件
C．充足必需条件
D．既不充足也不用要条件
分析利用公比与等比数列的单一性的关系进行判断．{ a n} 为递加数列，则 a1>0时，
q>1； a1<0 时， 0<q<1.q>1 时，若 a1<0，则 { a n} 为递减数列．故“q>1”是“{a n} 为递加数列”的既不充足也不用要条件，应选 D.
答案D
4．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n＝n2＋ n，数列 { b n} 知足 b n＝1(n∈N* )， T n
a n a n＋1
是数列 { b n} 的前 n 项和，则 T9等于 ()
918
A. 19
B.19
209
C.21
D.40
分析∵数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n＝n2＋ n，∴ n＝ 1 时， a1＝ 2； n≥2时， a n＝ S n
－ S n－1＝ 2n ，∴ a n＝ 2n(n ∈N* ) ，∴ b n＝1＝1＝1
1－1，T9＝1
a n a n＋12n n＋4n n＋ 14
11－11－ 1119
1－2＋23＋＋9 10＝4× 1－10＝40.
答案D
5．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ n2－ 6n，则 {|a n|} 的前 n 项和 T n＝ ()
2
A． 6n－ n
B． n2－ 6n＋ 18
6n－ n2n
C.
n
n2－ 6n＋ 18
6n－n2n
D. n2－ 6n n
分析由 S n＝ n2－ 6n 得 { a n} 是等差数列，且首项为－5，公差为 2.∴ a n＝－ 5＋( n－ 1) ×2＝2n－ 7.
∴n≤3时， a n<0； n>3 时， a n>0.
6n－ n2n，
∴ T n＝
n2－ 6n＋ 18n
答案 C
6．已知曲线
1
C： y＝ ( x>0)及两点 A1 (x1,0)和 A2(x2,0)，此中 x2>x1>0.过 A1， A2分别作 x x
轴的垂线，交曲线 C 于 B1，B2两点，直线 B1B2与 x 轴交于点 A3(x3,0)，那么 () x3
A． x1，2， x2成等差数列
x3
B． x1，，x2成等比数列
C． x1， x3， x2成等差数列
D． x1， x3， x2成等比数列
分析由题意， B1，B2两点的坐标分别为x1，1
， x2，
1
，所以直线 B1B2的方程为 y x1x2
＝－
1
( x－x1)＋
1
，令 y＝ 0，得 x＝x1＋ x2，∴ x3＝ x1＋ x2，所以， x1，
x3
， x2成等差数列．x1x2x12
答案A
二、填空题
21
a n＝ ________.
7．若数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ a n＋，则 { a n} 的通项公式是
33
分析
21212
a1 n≥2时， a n＝ S n－ S n－1＝ a n＋－a n－1＋，化简得： a n＝－ 2a n－1，又 a1＝S1＝
33333
＋1
，得 a1＝ 1，故 { a n} 以 1 为首项，以－ 2为公比的等比数列，所以a n＝ (－2)n－1. 3
答案
n
－
1
(－ 2)
8． (2013 ·宁卷辽 )已知等比数列 { a n } 是递加数列， S n
是 { a n } 的前 n 项和．若 a 1， a 3 是方
程 x 2－ 5x ＋ 4＝0 的两个根，则 S 6＝ ________.
分析
∵ a 1， a 3 是方程 x 2－ 5x ＋4＝ 0 的两根，且 q>1，∴ a 1＝ 1， a 3＝ 4，则公比 q ＝2，
所以 S 6＝
－ 26
＝63.
1－ 2
答案 63
9． (2014 河·南一模 )已知关于随意的自然数 n ，抛物线 y ＝(n 2＋n)x 2
－(2n ＋1)x ＋ 1 与 x
轴订交于 A n ， B n 两点，则 |A 1 1 2 2
2 014 B
2 014
B |＋|A B |＋ ＋|A
|＝ ________.
分析
令 (n 2＋ n) x 2
－ (2n ＋ 1)x ＋ 1＝ 0，则 x 1＋ x 2＝ 2n 2＋ 1， x 1x 2＝ 2 1 ，由题意得 |A n B n |
n ＋ n n ＋ n ＝ |x － x
＋ x
2
＝
2n ＋ 1 2 － 4· 1
＝
1
1 － 1
，因
－ 4x
2
＝
21 |，所以 |A n B n |＝
x 1
2
1x 2
n ＋ n n 2＋ n n 2 ＋n n n ＋1
此 |A 1B 1|＋ |A 2B 2|＋ ＋|A 2 014B 2 014|＝ 1
1－1
1 － 1 ＝ 1－ 1
2 014
1－2 ＋ 2 3
＋ ＋
2 014 2 015 2 015 ＝ 2 015
.
答案 2 014
2 015
三、解答题
n
2
＋ n *
10． (2014 湖·南卷 )已知数列
n ＝
n
， n ∈ N
.
{ a } 的前 n 项和 S
2
(1)求数列 { a n } 的通项公式；
(2)设 b n ＝ 2a n ＋ (－ 1)n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和． 解 (1)当 n ＝ 1 时， a 1 ＝S 1＝ 1；
当 n ≥2时， a ＝S － S － ＝
n 2 ＋ n
n －
2
＋ n －
－
＝ n.
nnn 1
2
2
故数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n.
(2)由 (1)知 a n ＝ n ，故 b n ＝ 2n ＋ (－ 1)n n.
记数列 { b n } 的前 2n 项和为 T 2n ，
则 T 2n ＝ (21＋ 22＋ ＋ 22n )＋ (－ 1＋ 2－ 3＋ 4－ ＋
2n) ．记 A ＝ 21＋ 22＋ ＋22n ，B ＝－ 1＋ 2－ 3＋ 4－ ＋ 2n ，
2n 则 A ＝
－2
＝ 22n
＋
1－ 2，
1－2
B ＝( －1＋ 2)＋ (－ 3＋ 4)＋ ＋ [ － (2n － 1)＋ 2n] ＝n ，
2n ＋ 1
故数列 { b n } 的前 2n 项和 T 2n ＝ A ＋B ＝ 2
＋n － 2.
11．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ a n ＋ n 2－1，数列 { b n } 知足 3n ·b n ＋1＝ (n ＋ 1)a n ＋1 －na n ，
且 b 1＝ 3.
(1)求 a n ， b n ；
(2)设 T n 为数列 { b n } 的前 n 项和，求 T n ，并求知足 T n <7 时 n 的最大值．
解 (1)n≥2时， S n＝ a n＋n2－ 1， S n－1＝ a n－1＋ (n－ 1)2－ 1，两式相减，得 a n＝ a n－ a n－1＋ 2n－ 1，∴ a n－1＝ 2n－ 1.
∴a n＝ 2n＋ 1，
∴3n·b n＋1＝ (n＋ 1)(2 n＋ 3)－ n(2n＋ 1)＝ 4n＋ 3，
∴ b ＋＝4n＋ 3
n 1n ，
3
∴当 n≥2时， b n ＝4n－ 1
，
n
－
1
3
又 b1＝3合适上式，∴ b n＝4n－1
. 3n－ 1
4n－1 (2)由 (1)知， b n＝3n－1，
∴ T ＝3
＋
7
＋
11
2
4n－ 5 4n－ 1
，①
－＋－
n 1 3 3
＋＋
3n 23n 1
13
＋7114n－ 5
＋
4n－ 1
T n＝
32＋
3
3＋＋
3
n－ 1n ，②
333
①－②，得2
＝3＋
4444n－ 1 3T n
＋2n－ 1－n
3 3
＋＋33
11
31－3n－14n－ 14n＋ 5＝ 3＋4·－n＝5－3n.
13
1－3
154n＋ 5
∴T
n ＝
2
－
2·3n－ 1.
n＋＋ 54n＋ 5－n＋
<0.
T n－ T n＋1＝n－n－ 1＝n
2·32·33∴ T n<T n＋1，即 { T n} 为递加数列．
又 T3＝59
<7 ， T4＝
64 99>7，
∴当 T n<7 时， n 的最大值为 3.
B级——能力提升组
2nπ
1．(2014 ·海虹口一模上)已知函数f(n) ＝n sin 2，且 a n＝ f(n)＋ f(n＋1) ，则 a1＋ a2＋ a3＋
＋a2 014＝ ________.
nπ
sin 21,01,0a1a2
＋ a2 014时要分组乞降，又由a n的定义，知a1＋ a2＋ a3＋＋a2 014＝(a1＋a3＋＋a2 013)＋(a2
＋a4＋＋ a2 014)＝ [f(1) ＋f(3) ＋＋f(2 013)] ＋ [f(2) ＋f(4)＋＋ f(2 014)] ＝ [(1－ 32)＋ (52－ 72)
＋＋ (2 0092－ 2 0112)＋2 0132]＋[( － 32＋ 52)＋ (－ 72＋92)＋＋ (－ 2 0112＋2 0132)－ 2 0152]
＝－2×(4＋ 12＋ 20＋＋4020) ＋ 20132＋ 2×(8 ＋ 16＋＋ 4 024)－ 2 0152＝－
2×
＋＋
－ 2 0152＋2 0132＝ 503×8－ 2×4 028＝－ 4 032.
＋ 2×
2
2
答案－4 032
2．(2014 ·海长宁二模上)定义函数 f(x)＝ { x·{x}} ，此中 { x} 表示不小于x 的最小整数，如
{1.4} ＝ 2， { － 2.3} ＝－ 2.当 x∈ (0， n](n∈N* )时，函数f(x)的值域为A n，记会合A n中元素的
个数为 a n，则1 ＋ 1 ＋＋1
＝________.
a1a2a n
分析由题意， a1＝ 1，当 x∈ (n，n＋ 1]时， { x} ＝ n＋ 1， x·{x} ∈ (n2＋ n， n2＋ 2n＋ 1]，{ x·{x}} 的取值挨次为n2＋ n＋ 1， n2＋n＋ 2，， n2＋ 2n＋ 1 共 n＋ 1 个，即 a n＋1＝ a n＋ n＋ 1，
n n＋1
＝n 21111
由此可得a n＝ 1＋ 2＋ 3＋＋ n＝2，
a n n＋＝2 n－n＋ 1，所以a1
＋
a2＋
1 2
＋a n＝ 2－n＋1.
答案2－2
n＋ 1
3． (2014湖·南卷 )已知数列 { a n} 知足 a1＝ 1，|a n＋1－ a n|＝ p n， n∈N* .
(1)若 { a n} 是递加数列，且 a1,2a2,3a3成等差数列，求 p 的值；
(2)若 p＝1
，且 { a2n－1} 是递加数列， { a2n} 是递减数列，求数列{ a n} 的通项公式．2
解 (1)因为 { a n} 是递加数列，所以a n＋1－ a n＝ |a n＋1－ a n|＝ p n.而 a1＝ 1，所以 a2＝ p＋ 1， a3＝ p2＋ p＋ 1.
又 a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，
2
1
因此 3p － p＝ 0，解得 p＝， p＝ 0.
当 p＝0 时， a n＋1＝ a n，这与 { a n} 是递加数列矛盾．
1
故 p＝3.
(2)因为 { a2 n－1} 是递加数列，因此a2n＋1－ a2 n－1>0，
于是 (a2n＋1－a2 n)＋ (a2n－ a2n－1)>0. ①
1 1
但22n<22n－ 1，所以|a2n＋ 1－a2n|<|a2n－a2n－ 1|.②
由①②知， a2n－ a2n－1>0，所以
1 2 n－1－ 12n
a2n－ a2n－1＝＝.③
222n－ 1
因为 { a2n} 是递减数列，同理可得a2n＋1－ a2n<0，
12n－ 12n＋ 1
故 a2n＋1－a2n④
＝－＝ 2 n
22
－1
n ＋
1
由③④即知， a n ＋ 1－ a n ＝n
.
2
1 1
于是 a n ＝ a 1＋ (a 2－ a 1)＋ (a 3－ a 2 )＋ ＋ (a n －a n － 1)＝ 1＋ 2 － 22＋ ＋
1 n － 1 1 1－ －
2
＝ 1＋2·1
1＋ 2
n
4 1 － ＝ ＋ · n － 1
.
3 3 2
－ 1 n
n －1 2
a n ＝ 4＋ 1
－
n
故数列 { a n } 的通项公式为 · .
n － 1 3 3 2。