江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校八年级数学上学期期

2016-2017学年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校八年级（上）期中数学
试卷（创新2班）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图图案中是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在实数0、3、、2.236、π、、3.14中无理数的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）
A．BC=1，AC=2，AB=B．BC：AC：AB=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
4．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（）象限．
A．一B．二C．三D．四
5．已知点A（﹣5，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y=﹣7x+b上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2 C．y1＜y2D．不能确定
6．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C等于（）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．已知一次函数y=kx+b中，x取不同值时，y对应的值列表如下：
x …﹣m2﹣1 2 3 …
y …﹣1 0 n2+1 …
则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（）
A．x＞2 B．x＞3 C．x＜2 D．无法确定
8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）
A．2 B．4 C．D．2
9．如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF的最小值为（）
A．2 B．C．4 D．
10．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．若点Q（m，n）也是直线l上的点，则2m﹣n+3的值等于（）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是．
12．用四舍五入法把17.8961精确到百分位，得到的近似值是．
13．已知点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标A为．
14．如果等腰三角形的一个外角是100°，那么它的底角为．
15．在平面直角坐标系中，把直线y=2x+1向上平移两个单位后，得到的直线解析式为．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为．
17．如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为．
18．如图，已知直线y=kx与x轴的夹角为70°，P为y轴上一点，OP=6，Q为OP上一动点，M、N 为直线y=kx上两动点，则PM+MQ+QN最小值为．
三、解答题（共9小题，共66分）
19．计算：
（1）++（1﹣）0；
（2）（﹣）2+|1﹣|+（﹣）﹣1．
20．解方程：
（1）4x2﹣16=0；
（2）（x﹣2）3=18．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（l）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若CD=3，AD=5，求AB的长．
22．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
23．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a+2）﹣b+3=0，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ；
（2）如果2b﹣a﹣（a+b﹣4）=5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根．
24．如图，一次函数y=（m+1）x+的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB 面积为．
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP=3OA，求直线BP的函数表达式．
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
26．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）
①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．
27．【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x 上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果x n互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
2016-2017学年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校八年级（上）期中数学试卷（创新2班）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图图案中是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：是轴对称图形的有：第一个，第三个，共两个．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．在实数0、3、、2.236、π、、3.14中无理数的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【专题】计算题．
【分析】根据无理数的定义得到无理数有﹣，π共两个．
【解答】解：无理数有：﹣，π．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③字母，如π等．
3．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）
A．BC=1，AC=2，AB=B．BC：AC：AB=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．
【解答】解：A、当BC=1，AC=2，AB=时，满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，所以△ABC为直角三角形；
B、当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3x，AC=4x，AB=5x，满足BC2+AC2=AB2，所以△ABC为直角三角形；
C、当∠A+∠B=∠C时，且∠A+∠B+∠C=90°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形；
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15°，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC为锐角三角形，
故选D．
【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形．
4．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（）象限．
A．一B．二C．三D．四
【考点】点的坐标．
【分析】根据a的取值范围判断出点M的横坐标的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵0＜a＜1，
∴﹣1＜a﹣1＜0，
∴点M（a﹣1，a）第二象限．
故选B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．已知点A（﹣5，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y=﹣7x+b上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2 C．y1＜y2D．不能确定
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别把点代入解析式求坐标值比较或是根据﹣5＜﹣4及函数递减性质直接判断．
【解答】解：由直线y=﹣7x+b可得，k=﹣7＜0，
∴函数图象上y随x的增大而减小，
又∵﹣5＜﹣4，
∴y1＞y2．
故选A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y=kx+b：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
6．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C等于（）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据AB=AD，∠B=80°求出∠ADB的度数，再由邻补角的定义求出∠ADC的度数，根据AD=CD 即可得出结论．
【解答】解：∵AB=AD，∠B=80°，
∴∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣80°=100°．
∵AD=CD，
∴∠C==40°．
故选C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
7．已知一次函数y=kx+b中，x取不同值时，y对应的值列表如下：
x …﹣m2﹣1 2 3 …
y …﹣1 0 n2+1 …
则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（）
A．x＞2 B．x＞3 C．x＜2 D．无法确定
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】直接利用已知表格中数据得出：x=2时，y=0，进而得出不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n 为常数）的解集．
【解答】解：由表格可得：x=2时，y=0，由n2+1＞0，
则x＞2时，不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用表格中数据得出正确信息是解题关键．
8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）
A．2 B．4 C．D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，
解得x=4．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．
9．如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF的最小值为（）
A．2 B．C．4 D．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】作FC⊥OB于C，FD⊥OA于D，FE⊥AB于E，由角平分线的性质得出FD=FC，证出点F在∠MON的平分线上，∠BOF=45°，在点A在运动过程中，当OF⊥AB时，BF最小，△OBF为等腰直角三角形，即可得出BF=OB=．
【解答】解：作FC⊥OB于C，FD⊥OA于D，FE⊥AB于E，如图所示：
∵∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF交于点F，
∴FD=FE，FE=FC，
∴FD=FC，
∴点F在∠MON的平分线上，∠BOF=45°，
在点A在运动过程中，当OF⊥AB时，F为垂足，BF最小，
此时，△OBF为等腰直角三角形，BF=OB=；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理；由角平分线的性质得出点F在∠MON的平分线上是解决问题的突破口．
10．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．若点Q（m，n）也是直线l上的点，则2m﹣n+3的值等于（）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），再分别令a=1，a=2求出P点坐标，进而可得出直线l的解析式，再把点Q（m，n）代入代数式即可得出结论．
【解答】解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上，
∴当a=1时，P（0，﹣1），
当a=2时，P（1，1），
∴，解得，
∴直线l的解析式为y=2x﹣1．
∵点Q（m，n）也是直线l上的点，
∴2m﹣1=n，
∴2m﹣n+3=2m﹣（2m﹣1）+3=4．
故选A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，
解得x≥1且x≠0，
所以，x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．用四舍五入法把17.8961精确到百分位，得到的近似值是17.90 ．
【考点】近似数和有效数字．
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【解答】解：17.8961≈17.90（精确到百分位）．
故答案为17.90．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
13．已知点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标A为（﹣3，﹣2）．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点P（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标A为（﹣3，2），
故答案为（﹣3，2）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．如果等腰三角形的一个外角是100°，那么它的底角为50°或80°．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】根据邻补角的和等于180°求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角和底角两种情况讨论求解．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°=80°，
①80°角是顶角时，它的底角为：（180°﹣80°）=50°，
②80°角是底角时，它的底角80°，
所以，它的底角是50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．
15．在平面直角坐标系中，把直线y=2x+1向上平移两个单位后，得到的直线解析式为y=2x+5 ．【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】在平面直角坐标系中，把直线y=2x+1向上平移两个单位后，得到的直线解析式为y=2x+3．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y=2x+1向上平移两个单位长度后所得直线的解析式为：y=2（x+2）+1=2x+5．
故答案为：y=2x+5．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为（0，）．
【考点】翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理计算出AB=5，再根据折叠的性质得BA′=BA=5，CA′=CA，则OA′=BA′﹣OB=2，设OC=t，则CA=CA′=4﹣t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t2+22=（4﹣t）2，解得t=，则C点坐标为（0，）．
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△OAB中，AB===5，
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′=BA=5，CA′=CA，
∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2，
设OC=t，则CA=CA′=OA﹣OC=4﹣t，
在Rt△OA′C中，由勾股定理得：OC2+OA′2=CA′2，
即t2+22=（4﹣t）2，
解得：t=，
∴C点坐标为（0，）．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为2．
【考点】矩形的性质．
【分析】过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，则可得x2﹣y2=16﹣9，t2﹣s2=32﹣12=8，整理得OD2=x2+s2=（y2+t2）﹣1=8，即可解题．
【解答】解：如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，
设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，
所以OG=x，DG=s
所以OF2=OB2﹣BF2=OC2﹣CF2
即42﹣x2=32﹣y2
所以x2﹣y2=16﹣9=7（1）
同理有OH2=12﹣s2=32﹣t2
所以t2﹣s2=32﹣12=8（2）
又因为OH2+HB2=OB2即y2+t2=9
（1）﹣（2）得（x2+s2）﹣（y2+t2）=﹣1
所以OD2=x2+s2=（y2+t2）﹣1=9﹣1=8
所以OD=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算OD的长度是解题的关键．
18．如图，已知直线y=kx与x轴的夹角为70°，P为y轴上一点，OP=6，Q为OP上一动点，M、N 为直线y=kx上两动点，则PM+MQ+QN最小值为3．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．
【分析】作点P关于直线y=kx的对称点P′，作点N关于y轴的对称点N1，连接P′N1，此时
PM+MQ+QN=P′M′+M′Q′+Q′N1=P′N1，即PM+MQ+QN=P′N1最小，而P′N1在P′N2⊥P′N1时的值最小，再根据∠POM=∠P′OM=∠N1OP=20°、OP=OP′=6知∠P′ON1=60°，由P′N2=OP′cos∠P′ON1
可得答案．
【解答】解：如图，作点P关于直线y=kx的对称点P′，作点N关于y轴的对称点N1，连接P′N1，
则当点Q位于P′N1与y轴交点Q′的位置，点M位于P′N1与直线y=kx交点M′的位置时，
PM+MQ+QN=P′M′+M′Q′+Q′N1=P′N1，即PM+MQ+QN=P′N1最小，
∵直线y=kx与x轴的夹角为70°，
∴∠POM=∠P′OM=∠N1OP=20°，OP=OP′=6，
∴∠P′ON1=60°，
当P′N2⊥P′N1时，P′N2的值最小，P′N2=OP′cos∠P′ON1=6×=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段、角是解题的关键．
三、解答题（共9小题，共66分）
19．计算：
（1）++（1﹣）0；
（2）（﹣）2+|1﹣|+（﹣）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数．
【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根的定义，以及零指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用平方根的定义，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=9﹣3+1=7；
（2）原式=2+﹣1﹣3=﹣2+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．解方程：
（1）4x2﹣16=0；
（2）（x﹣2）3=18．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：4x2=16，即x2=4，
开方得：x=±2；
（2）方程整理得：（x﹣2）3=27，
开立方得：x﹣2=3，
解得：x=5．
【点评】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（l）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若CD=3，AD=5，求AB的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤画出图形即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，先求出DE=DC=3，BC=BE，再根据AD=5，求出AE，设BC=x，则AB=x+4，根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DE=DC=3，BC=BE，
∵AD=5，
∴AE=4，
∵BE=BC，
设BC=x，则AB=x+4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
∴BC=6，AB=10．
【点评】此题考查了勾股定理和尺规作图，用到的知识点是勾股定理、角平分线的性质，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
22．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC=∠AD C=90°，M是AC的中点，
∴BM=DM=AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
23．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a+2）﹣b+3=0，其中a、b为有理数，那么a= ﹣2 ，b= 3 ；
（2）如果2b﹣a﹣（a+b﹣4）=5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）根据a，b为有理数，由已知等式求出a与b的值即可；
（2）已知等式右边化为0，根据a，b为有理数，求出a与b的值，即可确定出3a+2b的平方根．【解答】解：（1）由（a+2）﹣b+3=0，得到a+2=0，﹣b+3=0，
解得：a=﹣2，b=3；
（2）已知等式整理得：2b﹣a﹣（a+b﹣4）﹣5=0，
∴，
解得：，
则3a+2b=9，9的平方根为±3．
故答案为：（1）﹣2；3
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．如图，一次函数y=（m+1）x+的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB 面积为．
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP=3OA，求直线BP的函数表达式．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）先利于y=（m+1）x+可求出B（0，），所以OB=，则利用三角形面积公式计算出OA=1，则A（﹣1，0）；然后把点A（﹣1，0）代入y=（m+1）x+可求出m的值；
（2）利用OP=3OA=3可得到点P的坐标为（3，0），然后利用待定系数法求直线BP的函数解析式．【解答】解：（1）当x=0时，y=（m+1）x+=，则B（0，），所以OB=，
∵S△OAB=，
∴×OA×OB=，解得OA=1，
∴A（﹣1，0）；
把点A（﹣1，0）代入y=（m+1）x+得﹣m﹣1+=0，
∴m=；
（2）∵OP=3OA，
∴OP=3，
∴点P的坐标为（3，0），
设直线BP的函数表达式为y=kx+b，
把P（3，0）、B（0，）代入得，解得，
∴直线BP的函数表达式为y=﹣x+．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．
【专题】动点型．
【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP=7﹣2t，PE=PC=2t
﹣4，BE=5﹣4=1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即4﹣2t=3，求得t=，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=，若PB=BC，即2t﹣3﹣4=3，解得t=5，③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2=BF•AB，列方程32=
×5，即可得到结论．
【解答】解：（1）设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，
即：（4﹣2t）2+32=（2t）2，
解得：t=，
∴当t=时，PA=PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP=7﹣2t，PE=PC=2t﹣4，BE=5﹣4=1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，
即：（2t﹣4）2+12=（7﹣2t）2，
解得：t=，
∴当时，P在△ABC的角平分线上；
（3）在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，
根据题意得：AP=2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即4﹣2t=3，
∴t=，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE=BC=，
∴PB=AB，即2t﹣3﹣4=，解得：t=，
②PB=BC，即2t﹣3﹣4=3，
解得：t=5，
③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF=BP，
∵∠ACB=90°，
由射影定理得；BC2=BF•AB，
即33=×5，
解得：t=，
∴当时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
26．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）
①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（Ⅰ）过M作ME⊥x轴于点E，由三角形中位线定理可求得ME和OE，可求得M点坐标；（Ⅱ）①同（Ⅰ）容易求得M坐标；②由条件可分别求得直线l和AC的方程，利用图象的交点，可求得Q坐标；
（Ⅲ）可分别用t表示出OQ和OP的长，可证明△OPQ为直角三角形，且OQ=OP，可得到∠QOP=45°．【解答】解：
（Ⅰ）过M作ME⊥x轴于点E，如图1，
由题意可知M为OP中点，
∴E为OA中点，
∴OE=OA=，ME=AP=，
∴M点坐标为（，）；
（Ⅱ）①同（Ⅰ），当P（1，t）时，可得M（，t）；
②过Q点作QD⊥OA于D，作QE⊥AB与E，连接QP．
∵Q点在AC上，
∴QD=AD=AE=QE，
在Rt△OQD和Rt△OPE中，
∴Rt△OQD≌Rt△OPE，
∴OD=PE，
设OD=PE=x，则AD=1﹣x，AE=t+x，则1﹣x=t+x，解得x=，QD=AE=t+x=．
∴Q点坐标为（，）．
（Ⅲ）不变化，∠QOP=45°．
理由如下：由（Ⅱ）②可知Q点坐标为（，），
根据勾股定理得，
OQ2=OD2+QD2=（）2+（）2=，
QP=OQ，
OP2=OA2+AP2=1+t2，
∴OQ2+QP2=OP2，
∴△OPQ是以OP为斜边的等腰直角三角形，
∴∠QOP=45°，
即∠QOP不变化．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、待定系数法求函数解析式、三角形中位线定理、直角三角形的判定等知识点．在（Ⅰ）中利用M为OP的中点是解题的关键，在（Ⅱ）②能找出全等是解题关键，在（Ⅲ）中，注意利用（Ⅱ）的结论，求得OQ和OP的长是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量大，有一定的难度．
27．【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x 上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果x n互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
【考点】一次函数综合题；一次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．
（2）分x1＞，x1＜，x1=三种情形解答即可．
（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，x n的值越来越接近两直线交点的横坐标．②根据前面的探究即可解决问题．
【解答】解：（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，
取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…
取x1=4，则x2x3=x4=4，…
取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：
当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n越来越小．
当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n的值保持不变，都等于4．
当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n越来越大．
（2）当x1＞时，随着运算次数n的增加，x n越来越大．
当x1＜时，随着运算次数n的增加，x n越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，x n保持不变．
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），
当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，
∴y1＞x1
∵y1=x2，
∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜x n，
∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，x n越来越大．
同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，x n越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，x n保持不变．
（3）①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．
随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．
②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，
由消去y得到x=
∴由①探究可知：m=．
【点评】本题考查一次函数综合题以及性质，解题的关键是学会从一般到特殊探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．。