2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第二部分 专题5 常用的解题方法

所以ax＋by≤1.
返回
六种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的 重要方法．除了证法三的方法有适应条件的限制这种局限外， 其余证法都是好方法．可在具体应用过程中，根据题目的变化 需要适当进行选择．
[演练2] 已知x＋y＝1，求x2＋y2的最小值．(综合法、配方法、数形结 合法)
返回
解：法一：∵x＋y＝1，∴y＝1－x.
答案：[8,16]
返回
5．(2012· 金陵中学)定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x) ＝cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|.若函 数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝ ________.(综合法)
解析：当2≤x≤4时，极大值点为(3,1)；当1≤x≤2时，f(x)
解析：将 P，Q 置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足 1 条件 A1P＝BQ，则有 VC－A1AB＝VA1－ABC＝3VABC－ 2 A1B1C1，VA1－BCC1B1＝ VABC－A1B1C1. 3
答案：2∶1
返回
4．(2012· 南通三模)若动点P在直线l1：x－y－2＝0上，动点Q在 直线l2：x－y－6＝0上，设线段PQ的中点为M(x0，y0)，且 (x0－2)2＋(y0＋2)2≤8，则x2＋y2的取值范围是 0 0 ________．（数形结合法）
备考方向锁定
第 二 部 分
专 题 5
小题基础练清 增分考点讲透 配套专题检测
返回
返回
在考试说明中要求学生能够灵活运用所学的数学知识、思
想方法，解决实际问题.纵观近五年高考对数学方法的考查是灵 活多样的，总体上说有下列一些数学方法常被考到：数形结合 法、换元法(代数换元、三角换元等)、反证法、特殊值法、待 定系数法、配方法等.
返回
返回
1．(2012· 苏北四市)若斜率为1的直线l与圆x2＋y2＝2相切，则l 的方程为________．(待定系数法)
解析：设直线的方程为y＝x＋a，此直线和圆相切， |a| 则 2＝ 2 2. 2，得a＝± 1 ＋1
答案：x－y± 2＝0
返回
2．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最 大值是________．(换元配方法)
解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为
1≤x≤9， 1≤x2≤9，
∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，
∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3， ∴当t＝1时，ymax＝13.
答案：13
返回
3．在三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q 满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分 则其体积之比为________．(特例法)
返回
[典例2] 已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.求证：ax＋by≤1.(比较法、分析 法、综合法、换元法、数形结合法、构造向量法) 1 [证明] 法一：(比较法)∵1－(ax＋by)＝ 2 (1＋1)－(ax＋by)
1 2 ＝2(a ＋b2＋x2＋y2)－(ax＋by) 1 2 ＝2[(a －2ax＋x2)＋(b2－2by＋y2)] 1 ＝2[(a－x)2＋(b－y)2]≥0，所以ax＋by≤1.
返回
1 ＝ sin Acos A (sin2Acos A＋cos2Asin A＋1＋cos A＋sin A)＝ 1＋cos A＋sin A cos A＋sin A＋ sin Acos A . 令t＝sin A＋cos A，t∈(1， 2]， a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b 设f(t)＝ abc 1＋t ＝t＋ 2 t －1 2
2 2
返回
Байду номын сангаас
法三：设z＝x2＋y2. ∵x＋y＝1，∴z＝x ＋y
2 2
12 12 1 1 －x－y＋1＝x－2 ＋y－2 ＋2≥2.
1 1 1 2 2 ∴当x＝y＝2时，z最小＝2，即x ＋y 的最小值为2. 法四：如图，x＋y＝1表示直线l，x2＋y2表示原点到直线l上的 点P(x，y)到原点的距离的平方．显然其中以原点到直线l的距 离最短． |0＋0－1| 2 2 2 2 此时，d＝ ＝ 2 ，即( x ＋y )最小＝ 2 . 2 1 所以x ＋y 的最小值为2.
－1<2＋m＋n<1 |f1|<1 则|f2|<1 ⇒－1<8＋2m＋n<1 |f3|<1 －1<18＋3m＋n<1
① －3<m＋n<－1， －9<2m＋n<－7， ② －19<3m＋n<－17. ③ ①＋③得－11<2m＋n<－9， 与②矛盾，所以假设不成立，
返回
点击上图进入配套专题检测
返回
解析：设点P(x1，y1)满足x1－y1－2＝0，点Q(x2，y2)满足x2－y2 －6＝0，两式相加得：点M(x0，y0)轨迹是直线x0－y0－4＝0； 同时又要求点M(x0，y0)满足(x0－2)2＋(y0＋2)2≤8， 所以满足条件的点M在定线段AB上．如图，x2＋y2 0 0 表示线段AB上的点M到原点距离MO的平方． MOmax＝AO＝4，MOmin＝OC＝2 2，所以MO2∈[8,16]．
返回
法二：(分析法)要证ax＋by≤1. 只需证1－(ax＋by)≥0， 即2－2(ax＋by)≥0， 因为a2＋b2＝1，x2＋y2＝1. 所以只需证(a2＋b2＋x2＋y2)－2(ax＋by)≥0， 即(a－x)2＋(b－y)2≥0. 因为最后的不等式成立， 所以原不等式成立．
返回
a2＋x2 b2＋y2 法三：(综合法)∵ax≤ 2 ，by≤ 2 ， a2＋x2 b2＋y2 ∴ax＋by≤ 2 ＋ 2 ＝1. 即ax＋by≤1. 法四：(三角换元法)∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， ∴可设a＝sin α，b＝cos α，x＝sin β，y＝cos β. ∴ax＋by＝sin αsin β＋cos αcos β＝cos(α－β)≤1，
返回
2 2 ＝t＋ ＝t－1＋ ＋1， t－1 t－1 当t－1∈(0， 2－1]上时f(t)为单调递减函数， 所以当t＝ 2时取得最小值，最小值为2＋3 2， 即k≤2＋3 2，所以k的取值范围为(－∞，2＋3 2]．
当三角函数问题中sin θ±cos θ与sin θcos θ同时出现时，常 令sin θ±cos θ＝t，进行换元，转化为二次函数．
顶点的直角三角形，
返回
∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝ 1， 2. ∴sin A＋sin B的取值范围为

π π 2sinA＋4，A∈0，2，
(2)在直角△ ABC中，a＝csin A，b＝ccos A. 若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc对任意的a、b、c都成 立， a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b 则有 ≥k对任意的a、b、c都成 abc 立， a2b＋c＋b2c＋a＋c2a＋b 1 ＝c3sin Acos A· 2sin2A(ccos A＋ [c abc c)＋c2cos2A(csin A＋c)＋c2(csin A＋ccos A)]
2 2
返回
[典例3]
2 已知△ABC中满足( AB ) ＝ AB · ＋ BA · ＋ CA · ，a、 AC BC CB
b、c分别是△ABC的三边． (1)试判断△ABC的形状并求sin A＋sin B的取值范围； (2)若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc对任意的a、 b、c都成立，求k的取值范围．(换元法)
⇒
即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1.
返回
反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数
学常用的解题方法．当要证结论中有“至少”等字样，或以否定
形式给出时，一般可考虑采用反证法．
返回
[演练1] 求证： 2是无理数．(反证法)
证明：假设 2是有理数， m 则存在互质的整数m，n使得 2＝ n ， 则m＝ 2n，故m2＝2n2. 所以m2是偶数，从而m必是偶数，故设m＝2k(k∈N*)． 从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2. 则n2也是偶数，这与m，n互质矛盾． 所以假设不成立， 2是无理数．
返回
法五：(数形结合法)(如图)因为直线l：ax＋by＝0经过圆x2 ＋y2＝1的圆心O，所以圆上任意一点M(x，y)到直线ax＋by＝0 的距离都小于或等于圆半径1， |ax＋by| 即d＝ 2 2＝|ax＋by|≤1 a ＋b ⇒ax＋by≤1. 法六：(构造向量法)：设α＝(a，b)，β＝(x，y)，由向量数 量积的性质知|α· β|≤|α||β|， 即|ax＋by|≤ a2＋b2 x2＋y2＝1，
1 2 1 x ＋y ＝x ＋(1－x) ＝2x －2x＋1＝2 x ＋2. 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2 ∴当 x＝2时，x ＋y 取最小值2. 1 ∴x ＋y 的最小值为2. 法二：∵x＋y＝1，∴(x＋y)2＝1，即x2＋y2＝1－2xy.
2 2
∵2xy≤x2＋y2，∴x2＋y2≥1－(x2＋y2)． 1 1 即x2＋y2≥2，当且仅当x＝y＝2时取等号． 1 ∴x ＋y 的最小值为2.
返回
[演练3] 求函数y＝x＋ 1－x2的值域．（换元法）
解：令x＝cos θ(0≤θ≤π)， ∴y＝cos θ＋sin θ＝
π 2sinθ＋4.
π ∴θ＝4时，y有最大值 2； 当θ＝π时，y有最小值－1. ∴所求函数的值域是[－1， 2 ]．
返回
[专题技法归纳] 从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，至于用什么 “策略”“手段”都是无关紧要的，所以可以“不择手 段”．但平时做题时要尽量用通性通法，这有利于对基础知识 的巩固．另外，在解答一道题时，可以同时采用几种方法进行 分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供 的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快 速．
2 [解] (1)∵( AB ) ＝ AB · ＋ BA · ＋ CA· AC BC CB ＝ AB ·AC ＋ CB )＋ CA· ， ( CB ＝ AB · ＋ CA · ，∴ CA · ＝0，△ABC是以C为直角 CB CB AB
3 1 1 ＝ c(1－|2x－3|)，极大值点为2， c ，当4≤x≤8，f(x)＝
1 1－ c c－1 x c1－2－3，极值点为(6，c)，由 3＝6－3得c＝1或2. 3－2 答案：1或2
返回
返回
[典例1] 已知函数 f(x)＝2x2＋mx＋n，求证|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一 个不小于 1.（反证法） [证明] 假设原命题不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1.