【导学教程】高三数学二轮复习 专题二第三讲综合验收评估试题 理 北师大版

一、选择题
1．(2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝ A ．－12 B ．－6 C ．6
D ．12
解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2
－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0， ∴k ＝12. 答案 D
2．(2011·广东)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝
A.1
4 B.12 C ．1
D ．2
解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0, 解得λ＝1
2.
答案 B
3．(2011·东城模拟)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →
＋BD →
)等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →
， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →.
(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝AC →2－BD →
2＝9－4＝5. 答案 D
4．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b
－c |的最大值为
A.2－1 B ．1 C. 2
D ．2
解析 由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0， 得a ·c ＋b ·c ≥c 2
＝1，
∴(a ＋b －c )2
＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1. ∴|a ＋b －c |≤1. 答案 B
5．在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c ，若a ·(a ＋b )＜0，则△ABC 是 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形
D ．无法判断其形状
解析 由题意得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
＝－c ，
a ·(a ＋
b )＝AB →·AC →＝|AB →||AC →
|cos A ＜0，
所以∠A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形． 答案 C
6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|a －b |＝|b |，(a －c )·(b －c )＝0.若对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意b ，m －n 的最小值是
A.1
4 B.12 C.3
4
D ．1
解析 把三个向量的起点放在同一点O ，如图所示，根据几何意义，由|a －b |＝
|b |，得△OAB 是等腰三角形，当(a －c )·(b －c )＝0时，(a －c )⊥(b －c )，故点C 在以AB 为直径的圆上，|c |的最大值m 和最小值n 的差就是这个圆的直径，只有当B ，E 重合时这个直径最短，即m －n 的最小值是1
2
.
答案 B 二、填空题
7．(2011·江西)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，
则b 1·b 2＝________.
解析 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，
则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 2
1－2e 1·e 2－8e 2
2.
又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×1
2－8＝3－1－8＝－6.
答案 －6
8．(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π
3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b
＝0，则实数k 的值为________．
解析 a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 2
1＋(1－2k )e 1·e 2－2e 2
2＝k －2＋(1－2k )cos 2π3
＝2k －52，∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54
.
答案 54
9．(2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰
DC 上的动点，则|PA →＋3PB →
|的最小值为________．
解析 解法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .
∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，
PA →
＝(2，－x )，PB →
＝(1，a －x )，
∴PA →＋3PB →
＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2
≥25， ∴|PA →＋3PB →
|的最小值为5.
解法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →
，
PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，
∴PA →＋3PB →＝52
DA →＋(3－4x )DC →，
|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2
≥25，
∴|PA →＋3PB →
|的最小值为5. 答案 5
三、解答题
10．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角．
解析 因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －52b ， 所以a 2
－52b 2－32
a ·
b ＝0.
又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2
＝4，b 2
＝1， 所以4－52－3
2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，
又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1， 所以cos 〈a ，b 〉＝1
2
.
又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为
π3
. 11．已知θ为向量a 与b 的夹角，|a |＝2，|b |＝1，关于x 的一元二次方程x 2
＋|a |x ＋
a ·
b ＝0有实根．
(1)求θ的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2
θ＋3的最值．
解析 (1)由已知条件，可得|a |2
＝4，a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝2cos θ，θ∈[0，π]， ∵关于x 的一元二次方程x 2
＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根， ∴Δ＝|a |2
－4a ·b ＝4(1－2cos θ)≥0， 得cos θ≤12，解得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.
(2)f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2
θ＋ 3 ＝sin 2θ－3(2cos 2
θ－1)
＝sin 2θ－3cos 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3，
∵θ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π3，π，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，5π3，
得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3∈[－1,1]， ∴当θ＝5π
12时，f (x )max ＝2；
当θ＝11π
12
时，f (x )min ＝－2.
12．已知向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ，令f (x )＝m ·n .
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域．
解析 (1)f (x )＝m ·n ＝cos 2
x －sin x (sin x －23cos x )， ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
∵函数y ＝2sin x 的单调增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，
∴2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
∴k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴函数f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，
k ∈Z .
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π6≤2x ＋π6≤2π3，
∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2，∴函数f (x )的值域为[1,2]．。