2018秋新版高中数学北师大版4习题：第二章平面向量 检测

第二章检测
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列等式成立的是()
A
B.a·0=0
C.(a·b)c=a(b·c)
D.|a+b|≤|a|+|b|
答案:D
2.设P是△ABC所在平面内的一点则
A0B0
C0D0
解析:由可得P是边AC的中点,从而0.
答案:B
3.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为则下列结论中一定成立的是
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a⊥b
D.a∥b
解析:因为向量a+b与向量a-b的夹角为
所以(a+b)⊥(a-b),
即(a+b)·(a-b)=0,
所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.
答案:B
4.已知点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),若则
A.5
B.-5
C.3
D.-3
解析:由已知,得
答案:C
5.设O,A,M,B为平面上四点且∈(1,2),则()
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O,A,M,B四点共线
解析:由题意可知
即
∴A,M,B三点共线.
又λ∈(1,2),
∴点B在线段AM上.
答案:B
6.已知△ABC满足则△ABC是()
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析:则
故△ABC为直角三角形.
答案:C
7.已知C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C=() A
C
解析:由m⊥n,得(2cos C-1)·cos C-2(cos C+1)=0,
即2cos2C-3cos C-2=0,解得cos C=或cos C=2(不符合题意,舍去).∵C∈(0,π),∴C
答案:C
8.下列说法中正确的个数为()
②若a·b<0,则a与b的夹角是钝角;
③向量e1=(2,-3),e2-能作为平面内所有向量的一组基底
④若a∥b,则a在b方向上的投影为|a|.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:正确;
当|a|=|b|=1且a与b反向时,a·b=-1<0,但a与b的夹角为180°,②不正确;因为e1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作为基底,③不正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,所以a在b方向上的投影为|a|·cos θ=±|a|,④不正确.故选A.
答案:A
9.已知O是△ABC外接圆的圆心.若0,则∠ACB=()
A
解析:由O是△ABC外接圆的圆心,
设由0,可得平方可得R2∠ACB+25R2),解得cos2∠ACB故由题意得,∠ACB
答案:A
10.已知k∈Z若则△ABC是直角三角形的概率为()
A
解析:由及k∈Z,知k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
若与垂直,
则2k+4=0,解得k=-2;
若与垂直,
则k(k-2)-3=0,解得k=-1或3;
若与垂直,
则·(k-2,-3)=2k-4-12=0,
即k=8,不符合题意,
所以△ABC是直角三角形的概率是
答案:C
11.若非零向量a,b满足|a|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()
A
解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-
|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ故
答案:A
12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至点E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,其中则下列判断中正确的是
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C.λ+μ的最大值为3
D.λ+μ的最小值不存在
解析:由题意可知,λ≥0 μ≥0 当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P与点A重合,故D错误;
当λ=1,μ=1时,点P也可以在点D处,故A错误;
当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P在点B处,当点P在线段AD的中点时,λ=μ亦有λ+μ=1.所以B错误.
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设向量a=(x,3),b=(2,1).若对任意的正数m,n,向量m a+n b始终具有固定的方向,则x=. 解析:当a与b共线时,向量m a+n b始终具有固定的方向,所以x=6.
答案:6
14.直线l经过原点O,且与向量a=(2,3)垂直,则直线l的方程为.
解析:设直线l上的一点为A(x,y),
则为直线l的方向向量.
由题意,知·a=0,所以2x+3y=0,
故直线l的方程为2x+3y=0.
答案:2x+3y=0
15.在△ABC中,点M,N满
足若则
解析:如图,
∴x
答案:
16.关于平面向量有下列四个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②已知a=(k,3),b=(-2,6),若a∥b,则k=-1;③若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为
30°;-其中正确的命题为写出所有正确命题的序号
⇒k=-1,②正确;③中,解析:①中,a·b=a·c⇒a·(b-c)=0,当a=0时也成立,①不正确;②中,若a∥b,则
-
由已知可得a,b的夹角为60°,a与a+b的夹角为30°,③正确;④中-
正确.
答案:②③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,在▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE与BF的交点.若a b,试以a,b为基底表示
解连接AE,AF,BD.
=a
=b
因为G是△CBD的重心,
所以a+b).
18.(12
分)设在上是否存在点使若存在求出点的坐标若不存在请说明理由
解设存在点M,且≤λ≤1)
则
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0.
∴45λ2-48λ+11=0,
解得λ或
或
∴存在点M(2,1)或使
19.(12分)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足∈R).
(1)当λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图像上?
(2)设点P在第三象限,求λ的取值范围.
解由已知,知A,B,C三点的坐标依次是(2,3),(5,4),(7,10).
设点P的坐标为(x1,y1),
则
即
由
得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ).
由此可得-
-
⇒
所以点P的坐标是(5+5λ,4+7λ).
(1)令5+5λ=4+7λ,可得λ
所以,当λ时,点P在正比例函数y=x的图像上.
(2)因为点P在第三象限,所以
解得λ<-1,
所以λ的取值范围是(-∞,-1).
20.(12分)如图,在矩形ABCD中,e1e2
(1)若e1+y e2,求x,y的值;
(2)求与的夹角的余弦值
解(1)∵e1e2
e1+3e2,
∴x=4,y=3.
(2e2-4e1.
设与的夹角为θ,
∵e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
∴cos θ) -)
21.(12分)在△ABC中,设
(1)求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若且求的取值范围(1)证明因为
所以
又0,则
所以-
所以
即AB=BC,
故△ABC为等腰三角形.
(2)解因为B∈
所以cos B∈-设AB=BC=a,则由得即a2+a2+2a2cos B=4,
所以a2
所以B
又cos B∈-
所以-
22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足
(1)求证:A,B,C三点共线;
(2)求的值
(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈的最小值为求实数的值
(1)证明
即
又AC,AB有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
(2)解由(1)得
(3解x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).
∵x∈
∴cos x∈[0,1].
∴x|=cos x.
∴x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),
∴f(x)
=1x+cos2x x
=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].
若m<0,则当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为相矛盾,即m<0不符合题意; 若0≤m≤1 则当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.
由1-m2=
得m=舍去);
若m>1,则当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m.由2-2m=得m
综上所述,实数m的值为。