人教版九年级数学上册 21.2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系
【基础知识精讲】
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a
+=-，a c x x =•21 2．设21
x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根， 则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
>=•>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>=•<-=+002121a c x x a b x x
0,0)3(21<>x x 时，有021<=•a
c
x x
3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
212120x (x x )x x x -++= 【例题巧解点拨】
1．探索韦达定理
例1：一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x •的值。

例2.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2
=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m 的取值范围；
（2）当x 12-x 22
=0时，求m 的值．
2．已知一个根，求另一个根.
例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值
例4：设x 1，x 2是方程x 2
-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) x 1
3 x 2
4+ x 1
4 x 2
3；
21
12)2(x x x x +
4．求作新的二次方程
例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.
2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1 5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

例5：1、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为9
13
，那么常数项应改为 。

2、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足100
9
1)1)(1(=---βα，
求m 的值。

【同步达纲练习】 A 组
1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；
2
11
1x x += ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。

4、关于x 的方程2x 2+(m 2
–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.
5、若x 1 =23-是二次方程x 2
+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x 2 =
_____.
6、方程0322=+-m x x 的一个根为另一个根的2倍，则m= .
7、已知方程0)1(2
=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .
8、已知方程01532=+-x x 的两个根分别是2
1212()x x x x -=，,则 .
9、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且
4
3x 1x 12
1
-=+，则m= 。

10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍。

11、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，求k 的值。

【拓展提升训练】
例1. 关于x 的方程ax 2
-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，
则a 的值是（ ）
例2、已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k-1=0 ①
（1）试判断方程①的根的情况；
（2）如果a是关于y的方程y2-（x1+x2-2k）y+（x1-k）（x2-k）=0②的根，其中x1，x2为方程①的两个实数根，求代数式的值．
例3、已知关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0（2）有两个实数根y1和y2
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m＞-2，用关于m的代数式表示y12+y22．
例4、已知关于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的两实数根为x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
例5、、已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
例6、若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+m 2-2m-8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．
例7、已知一元二次方程（1-2a ）x2+2 -1=0有两个不相等的实数根． （1）求实数a 的取值范围；
（2）设a 、β是一元二次方程的两个根，a=
，求
的值．
例8、已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=x 有两个实数根x 1，x 2，且满足x 1＞0，x 2-x 1＞1．
（1）试证明c ＞0；
（2）证明b 2＞2（b+2c ）； B 组
一、填空（选择）题
1.关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则（x 1-x 2）2的值是________。

2. 设a ，b 是方程x 2+x-2009=0的两个实数根，则a 2
+2a+b
的值为（ ）
3. 设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2
+x+n-2=mx 的两个实数根，且x 1＜0，x 2-3x 1＜0，则（ ） 4. 如果关于x 的一元二次方程x 2
+px+q=0的两根分别为x 1=3，x 2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A ．x 2+3x+4=0
B ．x 2+4x-3=0
C ．x 2-4x+3=0
D ．x 2
+3x-4=0
5、已知x 1，x 2是方程x 2
+6x+3=0的两实数根，则
21
12
x x x x +的值为_______ ． 6、已知方程2
4280x x m --+=的两个根，一个大于1，另一个小于1。

则m 的取值范围是________。

7、设方程2
350x x m -+=的两根分别是x 1、x 2，，且6x 1+x 2=0，则m 的值为____。

8、设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22
的值为____。

9、.若a b ≠1,且有05201190
92011522
=++=++b b a a ，则b
a 的值______。

10、已知a a -=12
，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 二、解答题
1、设21,x x 是关于x 的方程0142
=-+-k x x 的两个实数根，那么是否存在实数k ，使得
2121x x x x +>•成立？请说明理由。

2、已知设21,x x 是关于x 的方程022
=+-a x x 的两个实数根，且23221-=+x x ，（1）
求1x ，2x 及a 的值；（2）求212
13123x x x x ++-的值。

3、关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2-x 1x 2＜-1且k 为整数，求k 的值．
4、已知关于x 的方程x 2+2（a-1）x+a 2-7a-4=0的两根为x 1、x 2，且满足x 1x 2-3x 1-3x 2-2=0．求
242
(1)4a a a
++
•
-的值．
5、已知关于x 的方程x2+kx-2=0的一个解与方程1
31
x x +=-解相同． （1）求k 的值；
（2）求方程x 2+kx-2=0的另一个解．
6、关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两实数根x1，x2，
（1）求p的取值范围；
（2）若[2+x1（1-x1）][2+x2（1-x2）]=9，求p的值．
7、已知：关于x的两个方程
2x2+（m+4）x+m-4=0，①
与mx2+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．
8、已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
10、（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y 的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n的值．。