浙江省绍兴一中高三数学下学期回头考试卷 文 新人教A版

浙江省绍兴一中2014届高三数学下学期回头考试卷 文 新
人教A 版
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题部分（共50分）
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，则
21i
i
=-（ ） A ．1i + B .1i -+ C . 1i - D . 1i --
2．已知⎩
⎨⎧≤+>=0)1(0
2)(x x f x x f x ，则)1(-f =（ ）
A ．0
B .1
C . 2
D . 4
3．设函数()2x
f x =，则下列结论中正确的是( )
A. (1)(2)(f f f -<<
B. ((1)(2)f f f <-<
C. (2)((1)f f f <<-
D. (1)((2)f f f -<<
4．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，
则该四棱锥的体积是（ ） A
．
3
3
cm B
．
3
3
C
．3
3
cm D
3
5．已知不重合的直线m 、和平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:
①若α∥β，则l m ⊥；②若α⊥β，则l m //; ③若l m ⊥，则α∥β；
④若l m //，则αβ⊥.其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
1
cos ,3,sin 3A b c C ==则=（ ）
A
．9 B
．3
C ．
1
3
D
7．已知平面上不共线的四点O ，A 、B 、C ，若540,||AB
OA OB OC BC
-+==u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 则（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8.设()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()2
x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x , 不等式()()x f
a x f 2≥+恒成立,则实数a 的取值范围是 （ ）
正视图
俯视图
第11题
A ．0≤a
B ．2≥
a C ．2≤a D ．0≥a
9．已知双曲线)0(122
22>>=-a b b
y a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线
交21,l l 于B A ,两点。

若OB AB OA ,,成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
5
B ．5
C ．3
D ．13+ 10．同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()
k *∈N 的等差数列．那么6133A A Y 中元素的个数是（ ）
A ．96
B ．94
C ．92
D ．90
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11．按右图所示的程序框图运算，若输入20=x ,则输出的k =
12．正方体1111ABCD A B C D -中，1CC 与平面1A BD 所成角的正弦值为 13.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率为 14．点),(y x P 为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤--≤+0101122y x y x y x 表示的平面区域上一点，则y x 2+取
值范围为
15．已知b a ,都是正实数，且满足ab b a 24log )2(log =+，则b a +2的最
小值为
16．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(1)n n n a a +=-+，记n S 为{}n a 前n 项的和，则2014S = ； 17．对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0，使得当x ∈D 且x >x 0时，总有()()()()⎩
⎨
⎧<-<<-<m x g x h m
x h x f 00，则
称直线l ：y =kx +b 为曲线y =f （x ）和y =g （x ）的“分渐近线”。

给出定义域均为D={}
1>x x 的四组函数如下：
①()()x x g x x f =
=，2
；②()()x
x x g x f x 3
2210-=
+=-，； ③()()x x x x g x x x f ln 1ln 12+=+=，；④()()()
x e x x g x x x f ---=+=121
22
，。

其中，曲线y =f （x ）和y =g （x ）存在“分渐近线”的是
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x A x A ωωω=⋅+-（其中
0,0A ω>>）的最小正周期为π，最大值为2．
（1）求A ，ω的值； （2）设2,(),()6
333
f f π
π
π
θθθ<<
=-求的值．
19.（本题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈ , 数列{}n a 满足
)1
(
1/1
n
n a f a =+，且14a =， （1）求数列{}n a 的通项公式
（2
）记n b ={}n b 的前n 项和n T 。

20.（本题满分14分）
如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA AB AC ==, （Ⅰ）求证：PA //平面QBC ；
（Ⅱ）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC 所成角的正弦值.
Q
P
A
B
C
21．（本题满分14分）已知函数3
22()13
f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点12,x x ，且12x x <
（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：211()12
f x >．
22．（本小题满分16分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，离心率为2，过点F 且与长轴垂
，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设经过点M （0，2）作直线A B 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值； （3）设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
数学试卷（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题部分（共50分）
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，则
21i
i
=-（ B ） A ．1i + B .1i -+ C . 1i - D . 1i --
2．已知⎩
⎨⎧≤+>=0)1(0
2)(x x f x x f x ，则)1(-f =（C ）
（A ）0
（B ）1
（C ）2 （D ）4
3．设函数()2x
f x =，则下列结论中正确的是( B )
A. (1)(2)(f f f -<<
B. ((1)(2)f f f <-<
C. (2)((1)f f f <<-
D. (1)((2)f f f -<<
4．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，
则该四棱锥的体积是C
A
．
3
3cm B
．
3
3
C
3
D
3
5．已知不重合的直线m 、和平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:
①若α∥β，则l m ⊥；②若α⊥β，则l m //; ③若l m ⊥，则α∥β；
④若l m //，则αβ⊥.其中正确命题的个数是B
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1
cos ,3,sin 3
A b c C =
=则=C A
．
9
B
．
3
C ．
13 D
．
9
正视图
俯视图
第11题
7．已知平面上不共线的四点O ，A 、B 、C ，若540,||AB
OA OB OC BC
-+==u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 则 C A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8.设()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()2
x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x , 不等式()()x f
a x f 2≥+恒成立,则实数a 的取值范围是 B
A ．0≤a
B ．2≥
a C ．2≤a D ．0≥a
9．已知双曲线)0(122
22>>=-a b b
y a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线
交21,l l 于B A ,两点。

若OB AB OA ,,成等差数列，则双曲线的离心率为B
（A ）
2
5
（B ）5 （C ）3 （D ）13+ 10．同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()
k *∈N 的等差数列．那么6133A A Y 中元素的个数是B
A ．96
B ．94
C ．92
D ．90
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11．按右图所示的程序框图运算，若输入20=x ,则输出的k = 3 12．正方体1111ABCD A B C D -中，1CC 与平面1A BD 3 13.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率为
13
14．点),(y x P 为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤--≤+0101122y x y x y x 表示的平面区域上一点，则y x 2+取
值范围为[]
5,2-
15．已知b a ,都是正实数，且满足ab b a 24log )2(log =+，则b a +2的最
小值为8
16．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(1)n n n a a +=-+，记n S 为{}n a 前n 项的和，则2014S =
-1007 ；
17．对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0，使得当x ∈D 且x >x 0时，总有()()()()⎩
⎨
⎧<-<<-<m x g x h m
x h x f 00，则
称直线l ：y =kx +b 为曲线y =f （x ）和y =g （x ）的“分渐近线”。

给出定义域均为D={}
1>x x 的四组函数如下：
①()()x x g x x f =
=，2
；②()()x
x x g x f x 3
2210-=
+=-，； ③()()x x x x g x x x f ln 1ln 12+=+=，；④()()()
x e x x g x x x f ---=+=121
22
，。

其中，曲线y =f （x ）和y =g （x ）存在“分渐近线”的是②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x A x A ωωω=⋅+-（其中
0,0A ω>>）的最小正周期为π，最大值为2．
（I ）求A ，ω的值； （II ）设
2,(),()6
333
f f π
π
π
θθθ<<
=-求的值． 提示：答案见宁波高三期末
19.（本题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈ , 数列{}n a 满足
)1
(
1/1
n
n a f a =+，且14a =， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式
（Ⅱ）记
n b ={}n b 的前n 项和n T 。

(Ⅱ)1411
2()
(21)(21)2121
n n n n n b a a n n +=
=--+-+= ……………11分
1212231n n n n T b b b a a a a a a +=+++=+++L L
[]111112(1)()()
3352121
n n =-+-+++--+L L
1
2(1)21
n =-
+ ……………14分 20.（本题满分14分）
如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA AB AC ==, （Ⅰ）求证：PA //平面QBC ；
（Ⅱ）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC 所成角的正弦值.
（Ⅰ）证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ， ∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ． 又∵PA ⊥平面ABC ， ∴QD ∥PA ，
又∵QD ⊂平面QBC ，PA ⊄平面QBC ， ∴PA ∥平面QBC ．
（Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC ，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC ，PQ=PQ ， ∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ=CQ ．
∴点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ． ∴AD ⊥平面QBC ，∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ． ∴四边形PADQ 是矩形． 设PA=AB=AC=2a ，
则PQ=AD=a ，PD=a ．
Q
P
A
B
C
又∵BC ⊥PA ，BC ⊥PQ ，∴BC ⊥平面PADQ ，
从而平面PBC ⊥平面PADQ ，过Q 作QH ⊥PD 于点H ，则QH ⊥平面PBC ． ∴∠QCH 是CQ 与平面PBC 所成的角． 在Rt △PQD 中，PQ •QD=PD •QH ，则QH==
，CQ=BQ=
a ．
∴sin ∠QCH=
=
．
∴CQ 与平面PBC 所成角的正弦值为．
21．21、（本题满分13分）已知函数3
22()13
f x x x ax =
+++在()1,0-上有两个极值点12,x x ，且12x x <
（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：211()12
f x >
． 21、（1）2
()22f x x x a '=++，由题意知方程2
220x x a ++=在()1,0-上有两不等实根，
设2
()22g x x x a =++，其图象的对称轴为直线1
2
x =-
，故有 (1)0(0)011
()(1)022
g a g a g a ⎧⎪-=>⎪=>⎨
⎪⎪-=+-+<⎩，解得1
02a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） （2
22a x x =-- 构造2
()22g x x x =--利用图象解照样给分）
（2）由题意知2x 是方程2
220x x a ++=的大根，从而21,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
且有222220x x a ++=，即22222a x x =--，这样32
22222()13
f x x x ax =
+++ 32232222222224(22)1133
x x x x x x x =
++--+=--+ 设324()13x x x ϕ=--+，2
()42x x x ϕ'=--=0，解得121,02x x =-=，由
1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<；1,02x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，()0x ϕ'>；()0,x ∈+∞，()0x ϕ'<知，
324
()13x x x ϕ=--+在1(,0)2-单调递增，又Q 2102x -<<，从而2111()()212
x ϕϕ>-=， 即211
()12
f x >
成立。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分） （2）另解：由题意知2x 是方程2
220x x a ++=的大根，从而21,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，由于102a <<
2212ax x >
，3232
2222222221()11332
f x x x ax x x x =+++>+++， 设3221()132h x x x x =
+++，1,02x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，2211()2212()022h x x x x '=++=++> h(x)在1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
递增，111()()212h x h >-=，即211()12f x >成立。

．．．．．．．．．．．．．．．（13分） 22．（本小题满分15分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F
，离心率为2，过点F 且与长轴垂
，O 为坐标原点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设经过点M （0，2）作直线A B 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值； （Ⅲ）设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）设)0,(c F ，则
2
2
=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有
22
22
()1c y a b +=，解得
b y 22±=. 于是22=
b ，解得1=b .
又2
22b c a =-，从而1,2==
c a .
所以椭圆C 的方程为12
22
=+y x ． …………………………………………（5分） （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12
,22
2y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k x kx +++=.
由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得2
32>k . 由韦达定理，得1
26,128221221+=+-=+k x x k k x x .
Θ点O 到直线AB 的距离为212k d +=，AB =， 22221221)12()
32(84)(||21
+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB .
设223t k =-，由23
2>k ，知0t >. 于是8
16
8
)4(82++=+=∆t t t t S AOB .
由816≥+t t ，得22
≤∆AOB S .当且仅当27
4,2t k ==时等号成立.
所以△B O A 面积的最大值为22
.…………………………………………（10分）
（Ⅲ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=，
由⎩⎨⎧=++=,22,
22y x m x y 得02243
22=-++m mx x ．
由0>∆，得32<m ，且3421m x x -=+,32
22
21-=m x x ． 由题意，有0=⋅.
因为),1(),1,(2211y x FQ y x NP -=-=，
所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．
于是0)1(34
32
2222=-+---⨯m m m m m ．
解得3
4-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-
=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为3
4-=x y ．……………（15分）。