【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：模块综合测试2(含答案解析)

选修1－1 模块综合测试(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1 D ．∃x ∈R ，x <－1 解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双
曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )
A ． x 2
－y 2
＝2 B ． x 23－y 2
＝1
C ． x 2
－y 2＝3
D ． x 2
－y 2
3
＝1
解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b
2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2
＝1，故选B.
答案：B
3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( ) A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题 C ．p 为真命题，q 为假命题
D ．p 为假命题，q 为真命题
解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．
答案：D
4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1
2
”的( )
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分又不必要条件
解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为1
2
，则k ＝±1，
所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为1
2”的充分而不必要条件，
故选A.
答案：A
5．函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ． (0,1) B ． (－∞，1) C ． (0，＋∞)
D ． (0，1
2
)
解析：f ′(x )＝3x 2－6b ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值， ∴f ′(x )＝0在x ∈(0,1)时有解，
∴⎩⎨⎧
f f
∴0<b <1
2
.
答案：D
6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →
|等于( )
A ．43
B ．423
C ．83
D ．823
解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，x 2
2＋y 2
＝1，得3x 2＋4x ＝0， 解得A (0,1)，B (－43，－1
3)，
所以|AB →
|＝－43
－2
＋－13
－
2
＝423
.
答案：B
7．若x >0，则f (x )＝12
x ＋3x 的最小值为( )
A ． 12
B ． －12
C ． 6
D ． －6 解析：f (x )＝12x ＋3x ，f ′(x )＝3－12
x 2，
由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2(舍去)， ∴f (x )在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝12. 答案：A
8．下列四个结论中正确的个数为( )
①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：只有③中结论正确． 答案：B
9．[2014·贵州六校联盟高三联考]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )
解析：由条件可知当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0，xf ′(x )>0，所以f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．所以选C.
答案：C
10．[2014·聊城高二检测]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )
A ． 1
B ． 2
C ．
2
2
D ． 3
解析：由题意知，过点P 作与直线y ＝x －2平行的直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切．设切点P (x 0，x 20－ln x 0)，
则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1
x 0＝1，
解得x 0＝1或x 0＝－1
2(舍去)，
∴点P (1,1)，d ＝|1－1－2|
2＝ 2.
答案：B
11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )
A ． 83
B ． 163
C ．
83
3
D ．
82
3
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程
为y ＝3(x －1)，由⎩⎨
⎧
y 2
＝4x
y ＝3x －
得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝1
3
，所以||F A |－|FB ||
＝|x 1－x 2|＝8
3
.故选A.
答案：A
12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，
B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线
C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )
A ．
23
3
B ．
62
C ． 2
D ． 3
解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a
)，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标
为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b
1－a 2－0a 21－a
2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝6
2.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．
解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0
14．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线
段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22
b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1
＝4b 2a 2，
又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±1
2
x .
答案：y ＝±1
2
x
15．[2014·云南师大附中月考]对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程 f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据这一发现，则函数f (x )＝13x 3－12x 2
＋3x －5
12
的图象的对称中心为________．
解析：由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －5
12，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，解得
x ＝12，且f (12)＝1，所以此函数图象的对称中心为(1
2
，1)． 答案：(1
2
，1)
16．[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R)，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．
解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2
－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )
在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？
(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .
故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．
(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
4m <0
Δ＝4m 2
＋16m <0⇔－4<m <0. 又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.
18．(12分)[2014·河南洛阳统考]已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a (a ∈R)，g (x )＝x 2＋2x ＋m (x <0)． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若a ＝0，函数y ＝f (x )在A (2，f (2))处的切线与函数y ＝g (x )相切于B (x 0，g (x 0))，求实数m 的值．
解：(1)f ′(x )＝
1－ax
x
，x >0. 若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
若a >0，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1
a )上单调递增；
当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1
a ，＋∞)上单调递减．
(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x . f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(2)＝1
2
.
∴函数f (x )在A (2，ln2)处的切线方程为y ＝1
2
(x －2)＋ln2，
易得函数g (x )在B (x 0，g (x 0))处的切线方程为y ＝(2x 0＋2)·(x －x 0)＋x 2
0＋2x 0＋m ，
整理得：y ＝(2x 0＋2)x －x 20＋m . 由已知得：
⎩⎪⎨⎪⎧
12＝x 0＋ln2－1＝－x 20＋m
，
解得x 0＝－34，m ＝－7
16
＋ln2.
19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与
x 轴相交于点F .
(1)证明：a 2＋b 2>1；
(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →
，求椭圆的方程． 解：(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1，消去x ，整理，
得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0. 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0， 所以a 2＋b 2>1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2
)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②
因为AF →＝2FB →
，所以y 1＝－2y 2.
将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2， 整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③
因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝7
2，
所以椭圆的方程为2x 29＋2y 2
7
＝1.
20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →
＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→
，求证：1|FP 1→| ＋
1
|FP 2→|
＝1. 解：(1)|MN →|＝2，则MP →
＝(x ＋1，y )， NP →
＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2
x －
2
＋y 2－2(x ＋1)＝0，
化简整理得y 2＝4x .
(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，
设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)． 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.
∴
1|FP 1→| ＋1|FP 2→|
＝
1x 1＋1＋1
x 2＋1 ＝
x 1＋x 2＋2
x 1x 2＋x 1＋x 2＋1
＝1.
当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．
21．(12分)[2014·银川唐徕回民中学三模]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x ， (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1
，求函数φ(x )的单调区间；
(2)设直线l 为函数f (x )的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一x 0，使直线l 与曲线y ＝g (x )相切．
解：(1)证明：(1)φ(x )＝ln x －
x ＋1x －1，故φ′(x )＝1x ＋
2
x －
2，显然当
x >0且x ≠1时都有
φ′(x )>0，故函数φ(x )在(0,1)和(1，＋∞)内均单调递增．
(2)因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的方程为y －ln x 0＝1
x 0
(x －x 0)，设直线l 与曲线y ＝g (x )切于
点(x 1，e x 1)，因为g ′(x )＝e x ，
所以e x 1＝1
x 0
，从而x 1＝－ln x 0，
所以直线l 的方程又为y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1
x 0，
故ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1
x 0，从而有ln x 0＝x 0＋1x 0－1
，
由(1)知，φ(x )＝ln x －x ＋1
x －1在区间(1，＋∞)内单调递增，
又因为φ(e)＝lne －e ＋1e －1＝－2
e －1
<0，φ(e 2)>0，
故φ(x )＝ln x －x ＋1
x －1在区间(e ，e 2)内存在唯一的零点x 0，
此时，直线l 与曲线y ＝g (x )相切．
22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端
点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
解：(1)由已知可得⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2
＝4，
解得a 2＝6，b 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF
＝
m －0－3－－
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my －2，x 26＋y 2
2＝1，
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m
m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3
.
所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2m
m 2＋3)，
所以直线OM 的斜率k OM ＝－m
3
.
又直线OT 的斜率k OT ＝－m
3，所以点M 在直线OT 上，
因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22
＋
y 1－y 2
2
＝
m 2＋
y 1＋y 22
－4y 1y 2]
＝
m 2＋
4m m 2＋3
2
－4·－2m 2＋3
]
＝
24m 2＋m 2＋3.
所以|TF ||PQ |＝
124·
m 2＋2
m 2＋1
＝
124·m 2＋1＋4
m 2＋1
＋≥
124
＋
＝33
. 当且仅当m 2＋1＝4
m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值． 所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。