江南大学系统辨识期末试卷word版

一、【每小题2分，其中10小题，共计20分】
假设a ，b ，c ，d ，i θ是未知参数，υ 是噪声，写出下列系统的辨识模型 (1) 12()t y t t e θθ=++ 解答：
12()()()[1,][,]t T T T
e y t t t t ϕθ
ϕθθθ⎧-+=⎪
=⎨
⎪=⎩
(2) 12()2cos()t y t t e t θθ=+++ 解答：
122cos()()()()[1,][,]t T T T e t y t t t t ϕθϕθθθ⎧--+=⎪
=⎨⎪=⎩
(3) 2123
1
()()y t t t t θθυθ=+++
解答：
2
123()()()()[1,,]1[,,]T T T
y t t t t t t ϕθυϕθθθθ⎧
⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
(4) 123()()t y t t e t θθθυ=++++ 解答：
132()()()
()[1,][,]
t T T T y t e t t t t ϕθυϕθθθθ⎧-=+⎪
=⎨
⎪=+⎩
(5) 2
ln y ax bx c d x d =++++ 解答：
2
()()[,,1,ln 1][,,,]T T T y t t x x x a b c d ϕθ
ϕθ⎧=⎪=+⎨⎪=⎩
(6) 2
ln x y ax c d x d b
=++++
解答：
2
()()[,,1,ln(1)]1[,,,]T T T
y t t x x x a c d b ϕθϕθ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩
(7) 2
1cos(/)c
x y ax e x b
π+=++ 解答：
2
()()[,1,cos(/)]1[,,]T T c T
y t t x x x a e b ϕθϕπθ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩
(8) 12...n y ax bx cx υ=++++ 解答：
12()()
()[,,...,][,,...,]T T
n T y t v t t x x x a b c ϕθϕθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
(9) 12...n y ax bx cx d υ=+++++ 解答：
12()()()[,,...,,1][,,...,,]T T
n T y t v t t x x x a b c d ϕθϕθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
(10) 1212......n n y ax bx cx dx x x υ=+++++ 解答：
1212()()()[,,...,,...]
[,,...,,]T T
n n T y t v t t x x x x x x a b c d ϕθϕθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
(11) 21...sin()x
n y ax be c x πυ=++++ 解答：
2
1()()
()[,,...,s i n ()]
[,,...,]T x T n T y t v t t x e x a b c ϕθϕπθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
(12) ()()()()()()()()1212......n n y t ax t bx t cx t dx t x t x t t υ=+++++ 解答：
()()()()()()()1212()()()[,,...,,...]
[,,...,,]T T
n n T y t t v t t x t x t x t x t x t x t a b c d ϕθϕθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
二、【每个2分，共计20分】
假设i θ是未知参数，υ是噪声，写出下列系统辨识模型 (1) 123()1t y t t e θθθ=+++ 解答：
1231()()()[1,,][,,]T T
t T y t t t t e ϕθϕθθθθ⎧-+=⎪=⎨⎪=⎩
(2) 212()()()...()()m m y t u t u t u t t θθθυ=++++ 解答：
212()()()
()[(),(),...,()][,,...,]T T m
T m y t t t t u t u t u t ϕθυϕθθθθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩
(3) 212()(1)(2)...()()n n y t u t u t u t n t θθθυ=-+-++-+ 解答：
212()()()
()[(1),(2),...,()][,,...,]T T n
T n y t t t t u t u t u t n ϕθυϕθθθθ⎧=+⎪=---⎨⎪=⎩
(4) 1234()(1)(2)(3)()(1)()y t y t y t y t u t u t t θθθθυ=-+--++-+ 解答：
()1234()()()
()[(1),(2)(3),,(1)][,,,]T T
T y t t t t y t y t y t u t u t ϕθυϕθθθθθ⎧=+⎪=----⎨⎪=⎩
(5) 1234()()(1)(2)(1)(2)()y t t y t y t u t u t t θθθθυ+-+-=-+-+ 解答：
()12341234()()(1)(2)(1)(2)()()()()[(1),(2),1,(2)][,,,]T T T y t t y t y t u t u t t t t t y t y t u t u t θθθθυϕθυϕθθθθθ⎧=----+-+-+=+⎪
=------⎨
⎪=⎩
(6) 2123()()(1)(2)()(1)()(2)()y t t y t y t t u t t u t t θθθυ+--=-+-+ 解答：
()21232123()()(1)(2)(1)(2)()()()
()[(1)(2),1,(2)][,,]T T T y t t y t y t u t u t t t t t y t t u t u t θθθυϕθυϕθθθθ⎧=---+-+-+=+⎪
=-----⎨
⎪=⎩
(7) 123()s i n (/)(1)(1)c o s ()()
y t t y t u t t t θπθθυ+-=-++ 解答：
()123123()()s i n (/)(1)(1)c o s ()()()
()
()[s i n (/)(1),1,c o s ()][,,]T
T T y t t t y t u t t t t t t t y t u t t θπθθυϕθυϕπθθθθ⎧=--+-++=+⎪
=---⎨
⎪=⎩
(8) 2123()()(1)(2)()(1)()(2)()
y t t y t y t
t u t t u t t θθθυ+--=-+-+ 解答：
()21232123()()(1)(2)()(1)()(2)()()()
()[(1)(2),1,(2)][(),(),()]T T T y t t y t y t t u t t u t t t t t y t t u t u t t t t θθθυϕθυϕθθθθ⎧=---+-+-+=+⎪
=-----⎨
⎪=⎩
(9) 2
()()()2sin(/)y t au t bu t c d t π=+++ 解答：
2
()()()[(),(),2,sin(/)][,,,]T T T y t t t u t u t t a b c d ϕθ
ϕπθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
(10) 2
1210
1
()(1)(2)[()(1)]
y t a y t a y t u t b u t b =-+-++- 解答：
2
11200()()()[(1),(2),(),(1)]1[,,,]T T T
y t t t y t y t u t u t b a a b b ϕθϕθ⎧
⎪=⎪⎪=---⎨⎪⎪=⎪⎩
三、【20分】设三阶AR 模型为 ()(1)(2)(3)y t a y
t b y t c y t t υ+-+-+-= 其中{}()y t 是
已知观测序列，{}()t υ是零均值方差为2
δ的随机白噪声序列，其辨识模型为
()()()T y t t t ϕθυ=+
● 写出信息向量()t φ和参数向量υ的表达式
● 写出υ的一次完成最小二乘估计式（数据长度为L ） ● 写出υ的递推最小二乘辨识算法 解答：
()(1)(2)(3)()y t ay t by t cy t t υ=------+
=()()T t t ϕθυ+
其中：()[(1),(2),(3)]T t y t y t y t ϕ=------
[,,]T a b c θ=
令 (1)(2):()L y y Y y L ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(1)(2):()T T L T H L ϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则θ的RL 算式如下：
1ˆ()T T RL L L L L
H H H Y θ-= RLS 算法如下：
ˆˆˆ()(1)()[()()(1)]T t t L t y t t t θ
θϕθ=-+-- 1()(1)()[1()(1)()]T L t P t t t P t t ϕϕϕ-=-+-
0()[()()](1),(0)T P t I L t t P t P P I ϕ=--=
()[(1),(2),(3)]T t y t y t y t ϕ=------
ˆˆˆˆ()[,,]T t a b c θ
= 四、【20分】设有限脉冲响应（FIR ）模型为 123()(1)(2)(3)4()y t bu t b u t b u t v t =-+-+-++其中{y(t)}是已知观测序列，{()v t }是零均值方差为2
δ的随即白噪声序列，其辨识模型为
()()()T y t t t ϕθυ=+
● 写出信息向量()t φ和参数向量υ的表达式
● 写出θ的一次完成最小二乘估计式（数据长度为L ） ● 写出θ的递推最小二乘（RLS ）辨识算法 解答：
)()3()2()1()(321t v t u b t u b t u b t Y +-+-+-=-ϕ
)()(t v t T +=θϕ
其中：)]3(),2(),1([)(---=t u t u t u t T ϕ
T b b b ],,[321=θ
令 ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=4)3(4)2(4)1(Y Y Y Y L ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)3()2()1(T T T L H ϕϕϕ
则θ的RL 算法如下：
1()T T
RL L L L L H H H Y θ-=
θ的RLS 算法：
)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=t t t y t L t t T θϕθθ
1)]()1()(1)[()1()(--+-=t t p t t t p t L T ϕϕθ
I p p t p t t L I t p T 0)0(),1()]()([)(=--=ϕ
T t u t u t u t )]3(),2(),1([)(---=ϕ
T b b b t ]ˆ,ˆ,ˆ[)(ˆ3
21=θ 五、【10分】设三阶MA 模型为)3()2()1()()(321-+-+-+=t v d t v d t v d t v t y .其中，
{})(t y 是已知观测序列，{})(t v 是零均值方差为2
σ的随机白噪声序列，其便是模型为
)()()(t v t t y T +=θϕ
● 写出信息向量)(t ϕ和参数向量θ的表达式 ● 写出θ的递推增广最小二乘(RELS)辨识算法. 解答：
)
()()(t v t t y T +=θϕ
)]
3(),2(),1([)(---=t v t v t v t T θ其中，
T d d d ],,[321=θ
算法如下：的RELS R -θ
)(ˆ)1()(ˆ1)(ˆ)1()(ˆ)()()]1(ˆ)(ˆ)()[()1(ˆ)(ˆt t p t t t p t t p t L
t t t y t L t t T ϕϕϕϕθϕθθ
-+-==--+-= )1()](ˆ)(1[)(--=t p t t L t p T ϕ
I p p 0)0(= T T T T d d d t t t t t v t v t v t v t ]ˆˆˆ[)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()]3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ[)(ˆ3
2
1
=-=---=θ
θϕ
ϕϕ
六、证明题【每小题2分，其中5题，计10分】设
n T R t t t t t p t p ∈≥+-=--)(,0)
(),()()1()(2
11ϕϕϕϕ
格式阶单位矩阵，证明以下为n I I p n n ,)0(=
（1）)()(t t p ϕ )
()1()(1)
()1(t t p t t t p T
ϕϕϕ-+-=
（2）1)()()(≤t t p t T ϕϕ (3) )
()()(1)
()()()1(t t p t t t p t t p T
ϕϕϕϕ-=
- (4)
)()1()()()()()(2t t p t p t t t p t T T ϕϕϕϕ-≤
(5)
1
()()(1)()T
t t p t p t t ϕ
ϕ∞
=-∞∑
(6)
)()()(21t t p t t T
ϕϕ
∑∞
=∞
解答：
(1)1
1
()(1)()()T
p t p t t t ϕϕ--=-+ ① 对①式用矩阵求逆引理，则
1()(1)(1)()[()(1)()]()(1)T T p t p t p t t I t p t t t p t ϕϕϕϕ-=---+--
对上式两边乘)(t ϕ，可得
)
()1()(1)
()1()()()1()()1()()(t t p t t t p t t t p t t p t t p T T ϕϕϕϕϕϕϕ-+---
-= )
()1()(1)
()1(t t p t t t p T
ϕϕϕ-+-=
（2）∵ )
()1()(1)
()1()()(t t p t t t p t t p T
ϕϕϕϕ-+-=
② 对②式左乘)(t T ϕ，可得
)
()1()(1)
()1()()()()(t t p t t t p t t t p t T T T
ϕϕϕϕϕϕ-+-=
∵0)1(≥-t p ∴1)()()(≤t t p t T ϕϕ （3）对①右乘p(t),可得
)()()()()1(1t p t t t p t p I
T ϕϕ+-=- ③ 面对③左乘)1(-t p ,右乘)(t ϕ，则有
)()()()()1()()()()1(t t p t t t p t t p t t p T ϕϕϕϕϕ-+=- ④
移向合并，可得
)
()()(1)
()()()1(t t p t t t p t t p T
ϕϕϕϕ-=
- ④对②式左乘(t)p(t) T
ϕ，得
)
()1()(1)
()1()()()()()(t t p t t t p t p t t t p t T
T T
T
ϕϕϕϕϕϕ-+-= ∵0)1(≥-t p ∴0)()1()(≥-t t p t T
ϕϕ
∴)()1()()()()()(t t p t p t t t p t T
T T ϕϕϕϕ-≤
(1)()(1)()()()T p t p t p t t t p t ϕϕ-=+-
∴
1
1
(1)()()()()(0)()T
t i p t t t p t p t p p ϕϕ
∞
∞
==-=∆=-∞∑∑ ⑤
∵)()()1()(11t t t p t p T
ϕϕ+-=--
1
1
(0)()()T t p t t ϕϕ∞
-==+∑
∴)0()(11--≥p t p
∴when ∞→t ，则)()0(∞≥p p 对⑤式两队取迹，得
)]()1()()([)]()()()1([1
1
t t p t p t tr t p t t t p tr i T i T
ϕϕϕϕ-=-∑∑∞
=∞=
[(0)()]tr p p =-∞∞
⑥∵)()1()()()()()(t t p t p t t t p t T T T ϕϕϕϕ-≤ ∴
∞-≤∑∑∞
=∞
= )]()1()()()()()(1
1
t t p t p t t t p t t T T
t T
ϕϕϕϕ。