冀教版九年级数学下册《用列举法求简单事件的概率(1)》教案-新版

31.4用列举法求简单事件的概率
1.在具体问题情景中了解概率的意义.
2.能通过列表、画树形图等方法列举试验的所有可能的结果,并求简单事件的概率.
1.通过试验活动,体验事件的概率,认识数学与现实世界是密不可分的.
2.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
3.通过应用列表法或画树形图法解决实际问题,提高学生解决问题的能力,发展应用意识.
4.经历应用列表法或画树形图法解决概率实际问题的过程,渗透数学建模的思想方法,感知数学的应用价值.
1.培养学生的探究问题的兴趣,在运用所学知识解决实际问题的过程中,使学生获得成功的体验.
2.引导学生对问题观察、质疑,激发学生的好奇心和求知欲,使学生在运用数学知识解决问题的活动中获得成功的体验,建立学习数学的自信心.
3.通过数学活动提高自身的数学交流水平,增强与他人合作的意识和解决实际问题的能力,发展辩证思维的能力.
【重点】
能够运用列表法和画树形图法计算简单事件发生的概率并阐明理由.
【难点】
判断何时选用列表法或画树形图法求概率更方便.
第课时
1.在具体问题情景中了解概率的意义.
2.能通过列表法列举试验的所有可能的结果,并求简单事件的概率.
1.经历试验、列表、统计、运算等活动,学生在具体情景中分析事件,计算其发生的概率,认识数学与现实世界是密不可分的.
2.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
1.通过试验活动促使学生积极参与学习活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲.
2.通过数学活动探究求概率的方法,增强与他人合作的精神和解决实际问题的能力,发展辩证思维的能力.
3.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极的学习习惯.
【重点】
正确地用列表法计算随机事件发生的概率.
【难点】
如何灵活地用列表法表示出试验所有等可能的结果.
【教师准备】多媒体课件.
【学生准备】预习教材P78~79.
导入一:
(课件展示)
温故知新:
1.甲、乙、丙三人抽签确定一人参加某项活动后,乙被抽中的概率是()
A. B. C. D.
2.一个布袋中有4个红球和8个白球,除颜色外完全相同,那么从布袋中随机摸1个球是红球的概率是()
A. B. C. D.
3.掷一个质地均匀的骰子,观察向上的一面的点数,则点数小于7的概率是()
A.0
B.
C.
D.1
【师生活动】学生独立回答问题,教师点评结果,并引导学生思考:如何不重不漏地列出所有可能的结果呢?引出课题——用列表法求事件的概率.
导入二:
(课件展示)
下面我们做一个游戏,规则如下:
老师向空中抛掷两枚同样的、质地均匀的硬币,如果落地后两面一正一反,老师赢;如果落地后两面一样,你们赢.你们说这个游戏公平吗?
【师生活动】学生思考后回答,教师用列举法分析,根据概率的定义可求解,并用课件展示解答过程.
(课件展示)
解:抛掷两枚硬币可能的结果有4种,即正正,正反,反正,反反,并且每种结果出现的可能性相同.
(1)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种,即正反,反正,所以=.
(2)两枚硬币两面一样的结果有2种,即正正,反反,所以=.
由此可知双方获胜的概率一样,所以游戏公平.
【导入语】当一次试验涉及两个因素,并且可能出现的结果数比较少时,我们看到结果很容易被列出来.但如果出现结果的数目较多时,要想不重不漏地列出所有可能的结果,还有什么更好的方法呢?这就是我们一起要探究的列表法求事件的概率.
[设计意图]通过复习,能及时地反馈对旧知识的掌握情况,调动学生的主观能动性,更能为新知识的学习做好铺垫.引入生活中常见的例子,激发学生的学习兴趣及求知欲,感受数学在实际生活中的应用.
共同探究列表法求事件的概率
(课件展示)
如图所示,一个质地均匀的正四面体(四个面都是等边三角形),四个面上分别标有数字1,2,3,4.投掷这个正四面体,然后观察底面上的数字.
思路一
教师引导思考:
1.投掷一次,有多少种可能结果?它们发生的可能性相同吗,概率各是多大?
【师生活动】学生思考回答,教师点评结果.
(课件展示)
投掷一次,有4种等可能的结果,它们发生的概率都是.
2.投掷两次,共有多少种可能结果?如何表示这些可能结果?
【师生活动】学生在思考中发现,投掷两次的结果较多,用直接列举的方法很烦琐,教师引导学生思考如何用简单的方法列举投掷结果,引出用表格列举事件等可能的结果较简单.
(课件展示)
投掷两次,有16(4×4)种等可能的结果,用(m,n)表示两次投掷的结果,其中m为第一次掷出的数,n为第二次掷出的数,m 和n分别可能是1,2,3,4.所有可能的结果用下面的表格表示:
3.如何计算两数之和为2,3,…,8的概率?
【师生活动】教师引导学生思考,怎样用表格列举出所有两数的和,根据表格中数据,学生独自完成两次投掷的数字和为4的概率.
(课件展示)
列表如下:
投掷两次,共有16(1,3),(2,2),(3,1),所以“两数之和为4”的概率是.
思路二
【师生活动】学生自主学习教材中的一起探究部分,教师提出思考问题,学生小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组讨论后学生代表展示结果,教师点评归纳.
(课件展示)
思考:
1.当事件发生的等可能的结果较少时,我们采用什么方法列举所有结果?
(直接列举法(枚举法))
2.当事件发生的等可能的结果较多时,我们采用什么方法列举所有等可能的结果?
(列表法)
3.如何用列表法列举所有等可能的结果?以投掷两次质地均匀的正四面体为例.
用表格中水平方向和竖直方向分别表示每次投掷的结果,即:
(课件展示)
列表如下:
4.请你尝试用列表法求出投掷两次质地均匀的正四面体,两数和为4的概率是多少?
(课件展示)
列表如下:
投掷两次,共有16(1,3),(2,2),(3,1),所以“两数之和为4”的概率是.
[设计意图]创设学生熟悉的投掷问题,通过自主学习或教师引导,探究归纳出事件发生的等可能的结果较多、直接列举比较烦琐时,用列表法列举事件的结果,让学生经历知识的形成过程,激发学生的学习热情,顺利地完成由旧知识到新知识的转化.
做一做
(课件展示)
对投掷正四面体的试验,
【师生活动】
[设计意图]通过让学生独立完成计算探究活动所得的结果,进一步熟悉用列表法求事件的概率,让学生体验成功的快乐.
例题讲解
(课件展示)
(教材第79页例题)如图所示,四个开关按钮中有两个各控制一盏灯,另两个按钮控制一个发音装置.当连续按对
两个按钮点亮两盏灯时,“闯关成功”;而只要按错一个按钮,就会发出“闯关失败”的声音.求“闯关成功”的概率.
【师生活动】学生独立思考完成后,小组内交流答案,学生代表板书解答过程,对学生出现的错误教师引导分析,得出事件分为有放回和无放回两类事件,并区分两者列表的不同,同时教师规范书写格式,师生共同归纳列表法求事件的概率的一般思路.
(板书)
解:不妨设1号,2号按钮各控制一盏灯,连续按两个按钮(考虑按钮的顺序)的所有可能结果列表如下:
所有可能结果有12种,它们都是等可能发生的,而其中只有两种结果为“闯关成功”,所以P(闯关成功)=.
【师生活动】教师课件展示另一种解法,小组讨论解法是否正确,并分析与上一种解法的异同,教师鼓励学生大胆发表自己的意见,教师点评归纳解法正确的原因,师生共同归纳列表法求事件的概率的一般思路.
(课件展示)
解:不妨设1号,2:
所有可能结果有6种,(闯关成功)=.
列表法求事件的概率的一般思路:
求一个随机事件发生的概率,先根据列表法列举出所有事件出现的可能结果,并判断每种事件发生的可能性是否相等,确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m,再根据P(某个事件发生)=计算,进而得出结果.在列表时要注意事件是有放回事件还是无放回事件.
[设计意图]通过例题讲解让学生理解和掌握列表法求事件的概率的易错点——事件分有放回和无放回两种,列表时是有区别的,同时让学生体会有序列表和无序列表都可以保证所有结果发生的可能性相同,提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展]1.列举法求概率的前提:(1)一次试验中,可能出现的结果是有限个;(2)一次试验中,各种结果发生的可能性相等.
2.用列举法求概率的核心是列出各种等可能的结果,所求概率是一个准确数,一般用分数表示.
3.当所有可能的结果较多且烦琐时,用列表的方式能清晰、全面地列出各种可能的结果,且所有结果有规律排列,易于找出某个事件中包含的所有可能性.
4.列表法一般应用于两个元素且结果的可能性较多的题目中.
1.当试验的结果有限且很少时,可用直接列举法(枚举法)求概率.
2.当试验的结果由两个因素决定且结果有限时,可用列表法求概率.
列表法的一般步骤:
①判断能否使用列表法,列表法一般适用于两步计算;
②不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果,并判断每种事件发生的可能性是否相等;
③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m;
④用公式P(A)=求事件A发生的概率.
1.将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次,观察向上一面的点数,与点数3相差2的概率是()
A. B. C. D.
解析:掷一次骰子,正面朝上的数字可能是1,2,3,4,5,6,共6种等可能的结果,其中与点数3相差2的点数有1和5两种,所以所求的概率为=.故选B.
2.两枚质地均匀的正四面体骰子的各面上分别标有数字1,2,3,4,同时投掷这两个正四面体骰子,则着地的面所得的点数之和等于5的概率为()
A. B. C. D.
解析:用(m,n)表示两个骰子投掷的结果,其中m为第一枚骰子掷出的数,n为第二枚骰子掷出的数,m和n分别可能是1,2,3,4.列表如下:
由表可知共有16种等可能的结果,点数之和等于5的情况有4种,其概率为=.故选A.
3.从标有0,,,-的四张卡片(除数字不同,其他均相同)中一次抽取2张,卡片上的两个数的积为无理数的概率是.
解析:从4张卡片中随机抽取两张,共6种情况,其中有2种情况可使卡片上的数的积为无理数,故其概率是=.故填.
4.将一个转盘分成6等份,分别涂上红、黄、蓝、绿、白、黑六种颜色,转动转盘两次,两次能配成“紫色”(红色与蓝色配成紫色)的概率是.
解析:列表可得共有36种等可能的结果,其中配成紫色的有2种,所以两次能配成紫色的概率是=.故填.
5.在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,摇匀后摸出一个记下颜色,放回后摇匀,再摸出一个,求两次摸出的球均是红球的概率.
解:列表如下:
∴P(两次红球)==.
第1课时
共同探究列表法求事件的概率
做一做
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第80页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第80页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个袋子中装有一双红色、一双绿色手套,两双手套除颜色外,其他完全相同,随机从袋中一次摸出两只,恰好是一双的概率是()
A. B. C. D.
2.学校组织校外实践活动,安排给九年级三辆车,小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是
()
A. B. C. D.
3.在一个不透明的口袋中,有三个除颜色外都相同的球,两红一白,从中任意摸出一个球,放回后再摸出一个球,则两次摸出的都是红球的概率为()
A. B. C. D.
4.一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片,分别写有数字1,2,3,4,口袋外有两张卡片,分别写有数字2,3,现随机从口袋里取出一张卡片,求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长,能构成三角形的概率是()
A. B. C. D.1
5.在“石头”“剪子”“布”的游戏中(剪子赢布,布赢石头,石头赢剪子),当你出“剪子”时,对手胜你的概率是.
6.一个口袋中装有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球,然后放回,再随机摸取一个小球,求两次摸取的小球的标号的和为6的概率是.
7.从-1,1,2这三个数中任取一个数作为一次函数y=kx+3的k值,则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率
是.
8.如图所示,有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A,B,两个均匀的转盘都被分成了3等份.游戏规定:指针不动,每个转盘平均分3份,转动两个转盘各一次,指向大的数字获胜(指针指到边界线时,重新转动).现有你和小明各选择一个转盘游戏,你会选择哪一个,为什么?
9.如图所示,有四张背面相同的纸牌,其正面分别画有四个不同的图形,小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后,随机摸出一张,再随机摸出一张(不放回).
(1)随机摸一张牌,它的图形是轴对称图形的概率是多少?
(2)用列表法表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A,B,C,D表示);
(3)求两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率.
【能力提升】
10.如图所示,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能够让灯泡发光的概率为()
A. B. C. D.
11.在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球,其上面分别标注数字1,2,3,现从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的横坐标;将球放回袋中搅匀,再从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的纵坐标.
(1)写出点M坐标的所有可能的结果;
(2)求点M在直线y=x上的概率;
(3)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
【拓展探究】
12.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球 C.羽毛球 D.足球.为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图.请回答下列问题:
(1)求这次被调查的学生共有多少人;
(2)请你将条形统计图补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.(列表法解答)
【答案与解析】
1.B(解析:列表得一共有6种等可能的情况,恰好是一双的有2种情况,∴恰好是一双的概率为=.)
2.C(解析:用A,B,C分别表示安排给九年级的三辆车,列表得共有9种等可能的结果,小明与小红同车的有3种情况,∴小明与小红同车的概率是=.)
3.B(解析:把两红球记为红1,红2,列表如下:
可以发现共有9种等可能结果,而两次都是红球的有4种,则P(两次都是红球)=.)
4.C(解析:列表可得共有4种等可能的结果,能构成三角形的有2,2,3;3,2,3;4,2,3.所以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作
为三角形三边的长,能构成三角形的概率=.)
5.(解析:利用列表法可知共有三种情况,其中只有1种情况对手获胜.可见对手胜的概率为.)
6.(解析:列表可得共有16种情况,两次摸取的小球的标号的和为6的情况有3种,所以所求的概率为.)
7.(解析:从-1,1,2这三个数中任取一个数作为一次函数y=kx+3的k值,由列表法可得共有3种取法,其中函数y=-x+3是y 随x增大而减小的,函数y=x+3和y=2x+3都是y随x增大而增大的,所以符合题意的概率为.)
8.解:选择转盘A.理由如下:转动两个转盘的所有结果如下:
由表可知一共有9种等可能的结果,其中转动转盘A获胜有5次,获胜概率为,获胜率过半,所以选择转盘A获胜的概率较大.
9.解:(1)四张纸牌中的图形是轴对称图形的有4张,故所求的概率是1.(2)列表如下:
(3)从(2)的表中可以得到两次摸牌所有可能出现的结果共有16种,其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有9种,故所求概率是.
10.C(解析:随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,由列表法可知共有3种情况,能够让灯泡发光的有两种情况.故能让灯泡发光的概率为.)
11.解:(1)列表如下:
由表可知点M.(2)P(点M在直线y=x上)=P(点M的横、纵坐标相等)==.(3)列表如下:
∴P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)=.
12.解:(1)根据题意得20÷=200(人),则这次被调查的学生共有200人.(2)200-20-80-40=60(人).补全的条形统计图,如图所示.
(3)列表如下:
由表可知所有等可能的结果为12
本节课通过练习求事件的概率及实际情景中一一列举事件发生的结果求事件的概率导入新课,为本节课的学习做好铺垫,让学生很自然地由旧知识向新知识转化.在一起探究环节,学生在独立思考的基础上小组内合作交流,学生展示质疑后,教师概括总结,得到求简单事件的概率的一般步骤,让学生经历知识的形成过程,轻松地理解和掌握本节课的重点.做一做环节,学生情绪高涨,独立完成求各个事件的概率,使本节课的重点得到巩固和提高.例题讲解首先让学生独立完成,在分析错误原
因的同时理解事件分有放回和无放回两种,师生共同探究两种事件列表时的区别.教师课件展示有序列表求概率,师生共同分析其正确原因,理解有序和无序都可保证所有结果发生的可能性相同.在课堂上学生思维活跃,积极展示自己的观点,得到良好的教学效果.
本节课的重点是探究通过列表列举试验的所有可能的结果,然后根据概率的公式求事件的概率.在一起探究和做一做环节学生情绪高涨,思维活跃,得到了良好的教学效果.但是在例题讲解部分,学生对有放回和无放回事件的理解出现困难,在还没有完全理解的情况下,又展示出有序列表求概率,部分学生出现学习困难的情况,造成对这些知识点理解不透彻,在以后的教学中,可以通过设计小练习让学生理解、巩固,然后再进行下一个教学环节.
本节课的主要内容是探究列表法求事件的概率,在教学设计中,要注重情景导入,激发学生的好奇心和探究欲望,然后师生共同探究实际生活情景中求简单事件的概率,教师提出问题后,让学生独立思考,小组内合作交流,在学生展示后,教师加以概括总结,通过这个教学环节让学生掌握列表法求事件的概率的一般步骤.教学设计时例题讲解部分是学生学习的难点,所以给学生足够的时间和空间进行交流,充分理解有放回事件和无放回事件的区别,然后再课件展示有序列表求事件的概率,师生共同分析其正确性,让学生加深对列举法求事件的概率的理解和掌握.
练习(教材第79页)
解:P(A)==;P(B)==;P(C)==;P(D)=.
习题(教材第80页)
A组
1.解:(1)P(两位数是偶数)==.(2)P(两位数是奇数)==.(3)P(两位数的个位数与十位数相同)==.
2.解:(1)列表表示所有可能结果如下表所示.
(2)两个数的和可能为2,3,4,5,6共5,,,,.(3)P(和为奇
数)=+=,P(和为偶数)=++=.
3.解:每个人等可能地采用3种手势,两人游戏共有9种等可能的结果,如表所示,其中,甲获胜的结果有3种,乙获胜的结果有
3种,平局的结果有3种.(1)P(一个回合不能决定胜负)==.(2)P(甲获胜)==,P(乙获胜)==.
(3)因为甲、乙获胜的概率相等,所以用这种方式决定胜负是公平的.
B组
1.解:①考虑按按钮的顺序:在24个等可能的结果中有6个结果能点亮3盏灯,所求概率是.②不考虑按按钮的顺序,共有4个等可能的结果,即123,124,134,234,而只有1个结果能点亮3盏灯,所求概率是.
2.解:对3个红球分别编号为1,2,3,对两个黄球分别编号为4,5.列表表示所有可能结果如下表所示:
由表可得:(1)P(甲取到红球)==.(2)P(乙取到红球)==.(3)P(两人都取到红球)==.
创设有趣性的情景,激发学生学习情趣
概率内容虽然相对比较抽象,但包含丰富的辩证思想,在现实生活中有着广泛的应用,学习本节课之前,学生对简单事件的概率的求法已经有了简单的认识,但真正列举事件的结果,学生还没有经验,很难想到列表法这种列举方法,所以在教学设计时,教师要创设趣味性生活实际情景,激发学生的好奇心和求知欲,让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.学生在独立思考的基础上,就如何表示试验的结果、如何判断结果发生的可能性相同进行交流,体会到事件的结果较多时,用一一列举试验结果的方法已经不合适,教师适时引导出用列表法列举事件发生的等可能的结果,从而根据事件的概率公式求解.
通过探究活动,让学生了解列表法求事件概率的一般步骤;通过创设新的情景,让学生体会求有放回事件和无放回事件概率的区别;通过解决生活实际问题,突破本节课的重点和难点,让学生在不知不觉中掌握知识.同时在教学过程中教师切实扮演好“组织者、引导者、合作者”的角色,有利于调节课堂气氛,也有利于学生掌握所学知识.
(2015·呼和浩特中考)在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球,它们只有颜色上的区别,随机从袋中摸出
2个小球,两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为()
A. B. C. D.
解析:列表可得共有12种等可能的结果,两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况,∴两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为=.故选A.
(2015·河南中考)现有四张分别标有1,2,2,3的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取
一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.
解析:列表可得共有16种等可能的结果,两次抽出的卡片所标数字不同的有10种情况,∴两次抽出的卡片所标数字不同
的概率是=.故填.
(2015·青岛中考)小颖和小丽做“摸球”游戏:在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球(除编号外都相
同),从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字.若两次数字之和大于5,则小颖胜,否则小丽胜.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
解:这个游戏对双方不公平.理由如下:列表如下:
由表可知共有16种等可能的结果,其中大于5的有6种.故P(小颖获胜)==,P(小丽获胜)==,因为<,所以这个游戏对双方不公平.。