数字信号处理 第五章
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数字信号处理-第五章
系 统 函 数
：
H (z) n M 0h (n )z n Y X ( (z z ) ) b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 b M z M
单位脉冲响应的值等于差分方程系数：
h
h(n)=bn
n=0,1,·····,M
33
FIR数字滤波器的特点：
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
有N-1个零点分布于z平面 z=0处 是N-1阶极点
h
26
还可以如下式这样进行分解： H (z)1 1 0 0..6 4z z 1 11 1 0 0..5 3z z 1 1H 3(z)H 4(z)
h
27
级联型结构的特点：
调整某一路的分子系数能单独调整滤波器的一组 零点，而不影响其它零极点； 调整某一路的分母系数能单独调整滤波器的一组 极点，而不影响其它零极点；便于调整滤波器频 率响应性能
直接型
h
38
将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 按照上式画出它的级联型结构如图所示。
级联型
h
39
5.5 线性相位网络结构
FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，0 n N 1 且满足：
偶对称： h (n ) h (N 1 n ) 或奇对称 h (n ) h (N 1 n ) ： 即对称中心在 (N-1) / 2处 则这种FIR滤波器具有严格线性相位。
bi zi
i0 N 1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
h
3
信号流图由基本支路构成
1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的 符号表示增益（缺省为1）
第五章 时域离散系统的基本网络结构
数字滤波器和FFT一样，是数字信号处理 的重要内容。
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
《信号、系统与数字信号处理》第五章 Z变换与离散系统的频域分析
同理
sinh0nun
1 2
e0n
e0n
un
1 z
2
z
e0
z z e0
z2
z sinh0 2z cosh0
1
z max e0 , e0
2、双边z变换的移位 n0 0
若 xn X z
RX
z
R X
则 x n n0 z n0 X z
RX
z
R X
证明： Z x n n0
n
xT t nT estdt
n
xnT esnT
n
令 z esT 引入新的复变量， 将上式写为
X s s xnT zn
n
此式是复变量 z 的函数（T 是常数），记为
X z xnzn
n
x 2z2 x 1z x0 x1z1 x2z2
Z xn 2un z2 X z z1x1 x 2
3） 若 xn 为因果序列 xnun X z
则 xn mun zm X z
m0
xn
mun
zm
X
z
m1 k 0
xk
z
k
例5-9 求周期序列的单边z变换
解： 周期序列 xn xn rN
m0
令 n 0 ~ N 1 的主值区序列为 x1 n ，
( z 1)
4、指数序列加权
若 xn X z RX z RX
则 an xn X a1z
RX a 1z RX
证：Z an xn an xnzn
n
xn a1z n X z / a
n
RX a 1z RX
a
R X
z
a
R X
利用
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
《数字信号处理导论_第5章》
1 H ( ) b(n )cos n 2 n 1
N /2
1 时 cos n 0 2
则 H ( ) 0 z 1是零点
H ( )对 0, 2 呈偶对称 H ( )对 呈奇对称
0
10
20
y2 ( n )
0
-2 -10
0
10
20
定义：
d ( ) g ( ) d
为系统的群延迟 (Group Delay, GD)
显然，若系统具有线性相位，则其GD为
常数。
GD可作为相频响应是否线性的一种度量，同 时，它也表示了系统输出的延迟。
若： 则：
x(n) xa (n) cos( 0 n), c 0 x(n) : Narrowband Signal
z e j
j N21 N 1 N 1 " " h(n)cos 2 n e n 0 N 1 N 1 j je 2 h ( n )sin N 1 n " " 2 n 0
为第一类线性相位
N 1 2
2）h(n)奇对称
h( n) h( N 1 n)
j N 1 N 1 2
频率响应：
j
N 1 H (e ) H ( z ) z e j je h(n)sin 2 n n 0 N 1 j j N 1 N 1 2 2 e h(n)sin 2 n n 0
z 1为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器
3）h(n)奇对称，N为奇数
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
24
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第五章-unprotected
E[x(i)x( j)] −
2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
N n=0
N2 i=0 j=0
N2 i=0 j=0
∑ ∑∑ =
1 N
N −1
E[x2 (n)] −
n=0
1 N2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
i=0 j=0
∑ ∑ ∑∑ =
1
N −1
E[x2 (n)] −
1
N −1
N −1 N −1
∫ = 1
q
0 −q
xdx
=
1 2q
x2
|0−q =
−
q 2
∞
∫ mx2 = E[x2 ] = −∞ xpx2 (x)dx
∫ = 1
q
q/2 −q/2
xdx
=
1 2q
x2
|−q
/2 q/
2
=
0
∞
∫ mx3 = E[x3 ] = −∞ xpx3 (x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
xdx =
1 4π
x2
|02π = π
∞ −∞
(x
−
mx2
)2
px2
( x)dx
∫ = 1 q
q/2 −q / 2
x2dx
=
1 3q
x3
|q / 2
−q/
2
=
q2 12
∫ σ 2 x3
=
E[( x3
− mx3 )2 ] =
∞ −∞
(x
−
mx3
)2
px3
( x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
N n=0
N2 i=0 j=0
N2 i=0 j=0
∑ ∑∑ =
1 N
N −1
E[x2 (n)] −
n=0
1 N2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
i=0 j=0
∑ ∑ ∑∑ =
1
N −1
E[x2 (n)] −
1
N −1
N −1 N −1
∫ = 1
q
0 −q
xdx
=
1 2q
x2
|0−q =
−
q 2
∞
∫ mx2 = E[x2 ] = −∞ xpx2 (x)dx
∫ = 1
q
q/2 −q/2
xdx
=
1 2q
x2
|−q
/2 q/
2
=
0
∞
∫ mx3 = E[x3 ] = −∞ xpx3 (x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
xdx =
1 4π
x2
|02π = π
∞ −∞
(x
−
mx2
)2
px2
( x)dx
∫ = 1 q
q/2 −q / 2
x2dx
=
1 3q
x3
|q / 2
−q/
2
=
q2 12
∫ σ 2 x3
=
E[( x3
− mx3 )2 ] =
∞ −∞
(x
−
mx3
)2
px3
( x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第5章
第5章 数字滤波器概论
5.3 实际滤波器的设计指标
5.3.1 图5.3.1是理想低通滤波器的幅频响应，该理想低通滤波
器具有截止频率ωd。可以看出，理想滤波器在通带内幅度为常 数(非零)，在阻带内幅度为零。另外，一般理想滤波器 要求具有线性相位(在第8章讨论)，这里假设相频响应 θ(ω)=0
h(n) sin(nd )
第5章 数字滤波器概论
1. 根据H(ejω) 一般数字滤波器从滤波功能上分类，和模拟滤波器一样， 可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频 响应如图5.2.2
第5章 数字滤波器概论
图5.2.2 (a) 低通; (b) 高通; (c) 带通; (d) 带阻
第5章 数字滤波器概论
需要注意的是，数字滤波器的频率响应H(ejω)都是以2π 为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高通频 带处于π
5.3.2 当滤波器形状为非理想时，要用一些参数指标来描述其关
键特性。图5.3.5表示低通滤波器的幅频响应。滤波器的通带 定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对 信号严重衰减。ωp和ωs分别称为通带截止频率(或通带上限频 率)和阻带截止频率(或阻带下限频率)。参数δ1定义了通带波 纹(Pass Band Ripple)，即滤波器通带内偏离单位增 益的最大值。参数δ2定义了阻带波纹(Stop Band Ripple)，即 滤波器阻带内偏离零增益的最大值。
截短脉冲响应自然会对频率响应产生影响。截短后，滤波 器幅频响应曲线不再是理想矩形，通带不再平坦，有过渡带， 同时阻带衰减不再为零。图5.3.4给出了因果脉冲响应 的幅频响应。当然，脉冲响应保留的采样点越多，即滤波器阶
第5章 数字滤波器概论 图5.3.4 非理想低通滤波器因果脉冲响应的幅频响应
数字信号处理 第五章
G0
G0
x(n )
•
• • •
•
11
•
•
z
01
1
11
• •
•
y (n )
• •
或
x (n )
21
•
z 1
•
• 01 • • 11 z 11 • • • z y (n ) • 21 • •
1 1
并联型网络结构的优缺点： 优点：运算速度快，调整极点方便，乘法运算量化误差在输出端的 噪声功率最小。 缺点：调整零点不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开较麻烦。
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z k
w 令： 1 ( n) bk x( n k )
k 0
M
有： y( n) w1 ( n) ak y(n k )
k 1
N
直接Ⅰ型
x (n)
z
• b1 z 1 b2 •
z 1 •
1
•
b0
w1 ( n)
• • • •
1
• •
1
• • •
y(n)
z 1
a1
a2
•
•
z 1
bM
aN
直接Ⅰ型 之1
•
z 1
x (n)
1
w2 (n)
• • •
a1
a2
• 1 z •
z
1
z 1
• 1 z • b1 z 1 • b2
z 1
w2 (n) b0
• • •
•
y(n)
x (n )
• • a1 z 1 • • 1 a z • 2 •
G0
x(n )
•
• • •
•
11
•
•
z
01
1
11
• •
•
y (n )
• •
或
x (n )
21
•
z 1
•
• 01 • • 11 z 11 • • • z y (n ) • 21 • •
1 1
并联型网络结构的优缺点： 优点：运算速度快，调整极点方便，乘法运算量化误差在输出端的 噪声功率最小。 缺点：调整零点不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开较麻烦。
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z k
w 令： 1 ( n) bk x( n k )
k 0
M
有： y( n) w1 ( n) ak y(n k )
k 1
N
直接Ⅰ型
x (n)
z
• b1 z 1 b2 •
z 1 •
1
•
b0
w1 ( n)
• • • •
1
• •
1
• • •
y(n)
z 1
a1
a2
•
•
z 1
bM
aN
直接Ⅰ型 之1
•
z 1
x (n)
1
w2 (n)
• • •
a1
a2
• 1 z •
z
1
z 1
• 1 z • b1 z 1 • b2
z 1
w2 (n) b0
• • •
•
y(n)
x (n )
• • a1 z 1 • • 1 a z • 2 •
数字信号处理_吴镇扬_第二版_第五章习题答案
5.7 （1）由于h2(n)是h1(n)圆周移位的序列，根据DFT的 2π 性质有： −j 4k − jπ k
H 2 (k ) = e
8
H 1 (k ) = e
H 1 (k )
~ ~ H1 ( k ) = H 2 ( k ) 成立 所以
(2)由于h1 (n ) 和h2 (n ) 均为偶对称序列，以其构成的低通滤波器
(3)若采用海明窗设计，则
⎡ ⎛ 2πn ⎞⎤ wHam ( n) = ⎢0.54 − 0.46 cos ⎜ ⎟ ⎥ RN ( n ) ⎝ N − 1 ⎠⎦ ⎣ 2 h( n) = sin[(n − α )ωc ]cos[(n − α )ω0 ]wHam (n) N 为奇数时， (n − α )π
h( n N 为偶数时， ) =
0 −ωc
e − jωα e jω nd ω
可见h(n)关于(N-1)/2偶对称，即 h( n) = h( N − 1 − n)
(1)当 N 为奇数时，为第一类滤波器。 (2)当N为偶数时，为第二类滤波器
⎧hd ( n) h( n) = hd ( n) ⋅ R(n ) = ⎨ ⎩0 0 ≤ n ≤ N −1
解：由经验公式可知若 不小于 At 40dB , 则
β = 0.5842 At - 21)0.4 + 0.07886(At - 21) ≈ 3.3953 （ At − 8 40 − 8 N= = ≈ 22.28 2.286∆ω 2.286× 0.2π ωc + ωr ωc′ = = 0.2π 2 ′ ⎧ωc ′ ⎪ π Sa[ωc (n − α )] n ≠ α ′ 1 ωc − jωα jωn ⎪ hd (n) = ∫ ′ e e dω = ⎨ ′ 2π −ωc ωc ⎪ n =α ⎪ ⎩ π
数字信号处理 第五章
第五章离散时间信号的数字处理Q5.1运行程序P5.1，产生连续时间序号及其抽样形式，并显示它们。
clf;t = 0:0.0005:1;f = 13;xa = cos(2*pi*f*t);subplot(2,1,1)plot(t,xa);gridxlabel('时间, msec');ylabel('振幅');title('连续时间序号 x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])subplot(2,1,2);T = 0.1;n = 0:T:1;xs = cos(2*pi*f*n);k = 0:length(n)-1;stem(k,xs);grid;xlabel('时间 n');ylabel('振幅');title('离散事件序号 x[n]');axis([0 (length(n)-1) -1.2 1.2])Q5.2 正弦信号的频率是多少赫兹？抽样周期是多少秒？正弦信号的频率f=13Hz，抽样周期T=0.1s。
Q5.3 解释两个axis命令的效果。
给x,y轴标刻度。
Q5.4 以比在程序P5.1中列出的抽样周期低的两个抽样周期和高的两个抽样周期的四个其他值，运行程序P5.1.评论你的结果。
T=0.04s T=0.08sT=0.15s T=0.3s由上图可以发现：当取的T越小时，得到的图形越接近原图形。
Q5.5 通过将正弦信号的频率分别变为3HZ和7HZ，重做习题Q5.1。
相应的等效离散时间信号与习题Q5.1中产生的离散时间信号之间有差别么？若没有，为什么没有？f=3Hz f=7Hz由图可以看出，变换频率得到的两个图没有区别，因为他们的抽样周期一样。
Q5.6 运行程序P5.2，产生离散时间信号x[n]及其连续时间等效ya[t]，并显示它们。
clf;T = 0.1;f = 13;n = (0:T:1)';xs = cos(2*pi*f*n);t = linspace(-0.5,1.5,500)';ya = sinc((1/T)*t(:,ones(size(n))) - (1/T)*n(:,ones(size(t)))')*xs;plot(n,xs,'o',t,ya);grid;xlabel('时间, msec');ylabel('振幅');title('重构的连续时间序号 y_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2]);图1 图2Q5.7 在程序P5.2中，t的范围和时间增量的值是什么？在图中，t的范围是什么？改变t的范围，显示上述程序所计算的全范围ya[t]并再次运行程序P5.2,。
中国石油大学《数字信号处理》第五章 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换
X ( f ) x(n)e
n 0
N 1
j2nf
第一节 离散傅立叶变换
对于一个周期信号，只需研究其在一个周期内的 变化过程和规律。
因此，对XΔ(f )只要分析[0,1/Δ]范围内的频谱即可。
频谱XΔ(f )在一个周期内[0,1/Δ]是连续的，即所 对应的采样点数是无穷多个。实际上在计算有限离 散序列的频谱时，只能计算有限个点上的值，因此 1 把XΔ(f )在区间[0,1/Δ]分成N等份，每份的间隔为 N 则得到有限离散频谱：
对于非周期连续时间信号x(t)，其频谱X(f )为一 个无限长的非周期连续频谱函数 。
x(t ) X ( f )
F
若用采样间隔Δ对信号x(t)进行离散采样，则得到离 散序列x(nΔ) ，其频谱XΔ(f )是周期连续，可以表示 为：以1/Δ为周期将X(f )向两边延拓而得到的。则有
m X( f ) X ( f ) m
第一节 离散傅立叶变换 二、离散傅立叶变换(DFT)
上面讨论的离散傅立叶级数中xp(n)和Xp(k)都是周期性 的序列，是无限长的。
1、有限长离散序列和周期离散序列的关系
有限长序列x(t)
周期延拓 T T N
周期性的序列xp(n)
离散采样
x(t ) x p (t ) x p (n)
第一节 离散傅立叶变换
数字信号处理
Digital Signal Processing（D S P ）
中国石油大学
数字信号处理
Digital Signal Processing（D S P ）
第五章 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换
第五章 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换
数字信号处理第五章 FIR滤波器、窗函数法
(5.23)
0
h(n)偶对称N为偶数时的频 率响应特性
不适用高通或带阻滤波器
2）H(w)以
为奇对称，以
偶对称
以
为奇对称，以
为偶对称
22
1. 成立条件
5.2.3 恒群延时单独成立
解线性微分方程
＝
的取值条件？
0
的取值条件？
有什么特性？
(5.24)
23
离散傅立叶变换： 由相位定义： 化简得：
(5.25)
n
28
相位函数：
(5.30) 线性相位
幅度函数：
(5.31)
其中
1）H(w)在
关于
处奇对称
奇对称
2）传输函数H(z)在
处有零点
0
h(n)奇对称N为奇数时的频 率响应特性
不适用于低通、高通、带阻滤波器
29
3. h(n)奇对称N为偶数（线性相位IV型）时的频率响应
所以
456 7
0123
n
(5.36)
数字信号处理 Digital Signal Processing
第五章 FIR滤波器设计和实现
Finite Impulse Response Filter Design and Implementation
2
FIR数字滤波器
• Finite Impulse Response (FIR)：有限冲激响应，非递归 滤波器，输出只与当前和有限个过去输入有关
偶对称
0 h(n)偶对称N为奇数时的 频率响应特性
20
3. h(n)偶对称N为偶数（线性相位II型）时的频率响应
分拆
0123456 7 n
变量代换及
数字信号处理 第5章
【例5.2.1】 求图5.2.2（a）信号流图决定的系统函数H(z)。
解 图5.2.2（a）信号流图的节点变量方程为(5.2.1)式， 对 （5.2.1）式进行Z变换，得到：
w1 (n) w2 (n 1) w (n) w (n－1) 2 2 －a －a w2 (n) x(n) 1 w2 (n) 2 w1 (n) y (n) b2 w1 (n) b1 w2 (n) b0 w2 (n)
23
第4章 FFT
Hj(z)如下式：
H j ( z)
0j 1j z 1 2 j z 2
1 a1 j z a2 j z
1 2
（5.3.2）
式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这样H(z)就分解
成一些一阶或二阶的子系统函数的相乘形式：
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H k ( z )
的。例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为
y(n) ay(n 1) x(n)
其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各 有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。
14
第4章 FFT
5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的基本网络结构有三种：直接型、级联型、并 联型。 1． 直接型 将N阶差分方程重写如下：
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.5 线性相位结构
5.6 频率采样结构
5.7 格型网络结构
1
第4章 FFT
5.1 引方程、单位脉冲
数字信号处理-第五章数字滤波器的基本结构(new)
1 2 ( 1 p z ) ( 1 z z ) 1k k 2k 1 k 1 N1 1 1 2 ( 1 c z ) ( 1 a z a z ) k 1k 2k k 1 k 1 k 1 N2 M1 M2
H ( z) A
将两个一阶因子组合成二阶因子,则
数字信号处理－第五章 数字滤波器络结构及 FIR数字滤波器的基本网络结构
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
滤波器表示方式
（1）系统函数
k b z k M
Y ( z) H ( z) X ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
1 ak z k
k 1
k 0 N
N2 M N Ak Bk (1 g k z 1 ) k G z k 1 1 * 1 1 c z ( 1 d z )( 1 d z ) k 1 k 1 k 0 k k k N1
一般IIR滤波器满足
N1
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应（IIR)滤波器的基本结构）
IIR滤波器有以下几个特点： （1）系统的单位冲激响应 （2）系统函数
h( n)
是无限长的
H ( z)
在有限z平面（
0 z
）上有极点存在
（3）结构上存在输出到输入的反馈，也就是结构是递归的 1、直接Ⅰ型 一个IIR滤波器的有理系统函数为：
x n
3 1.5 -1.5 0.5
z 1 z 1 z 1
-3.5 2.5
y n
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构 级联型：
3z 3 3.5z 2 2.5z 3 3.5z 1 2.5z 2 1 H ( z) 2 2 z z 1 z 0.5 1 z z 1 0.5z 1
H ( z) A
将两个一阶因子组合成二阶因子,则
数字信号处理－第五章 数字滤波器络结构及 FIR数字滤波器的基本网络结构
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
滤波器表示方式
（1）系统函数
k b z k M
Y ( z) H ( z) X ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
1 ak z k
k 1
k 0 N
N2 M N Ak Bk (1 g k z 1 ) k G z k 1 1 * 1 1 c z ( 1 d z )( 1 d z ) k 1 k 1 k 0 k k k N1
一般IIR滤波器满足
N1
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应（IIR)滤波器的基本结构）
IIR滤波器有以下几个特点： （1）系统的单位冲激响应 （2）系统函数
h( n)
是无限长的
H ( z)
在有限z平面（
0 z
）上有极点存在
（3）结构上存在输出到输入的反馈，也就是结构是递归的 1、直接Ⅰ型 一个IIR滤波器的有理系统函数为：
x n
3 1.5 -1.5 0.5
z 1 z 1 z 1
-3.5 2.5
y n
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构 级联型：
3z 3 3.5z 2 2.5z 3 3.5z 1 2.5z 2 1 H ( z) 2 2 z z 1 z 0.5 1 z z 1 0.5z 1
数字信号处理第5章
第5章 数字滤波器的基本结构5.1 学习要求1 掌握IIR 数字滤波器的基本网络结构，包括直接型、级联型和并联型；2 掌握FIR 数字滤波器的基本网络结构，包括直接型、级联型和频率抽样型；3 了解数字信号处理中的量化效应和数字信号处理的实现。
5.2 学习要点5.2.1 数字滤波器的结构特点与表示方法一个数字滤波器可以用系数函数表示为：01()()()1Mkk k N kk k b zY z H z X z a z -=-===-∑∑ (5-1) 直接由此式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为：1()()()N Mk k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑ (5-2)由式(5-2)看出，实现一个数字滤波器需要几种基本的运算单元—加法器、单位延时和常数乘法器。
这些基本的单元可以有两种表示法：方框图法和信号流图法，如图5-1所示。
用方框图表示较明显直观，用流图表示则更加简单方便。
z ⊕aa单位延时乘常数相加方框图表示法信号流图表示法图5-1 基本运算过程的表示5.2.2 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的基本结构无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器有以下几个特点：(1) 系统的单位脉冲响应()h n 是无限长的；(2) 系统函数()H z 在有限z 平面(0z <<∞)上有极点存在； (3) 结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型。
同一种系统函数()H z 的基本网络结构有直接I 型、直接Ⅱ型、级联型和并联型四种。
1直接I 型直接型按式(5-2)差分方程式将输入采样值（序列）)(n x 延迟并乘以系数k b ，将输出采样（序列）)(n y 延迟并乘以系数k a ，再把它们加起来，这种结构称为直接I 型，结构流图如图5-2所示。
由图可看出，总的网络)(z H 由Mkk k b z-=∑和11Nkk k a z-=-∑两部分网络级联组成，第一个网络实现零点，第二个网络实现极点，从图中又可看出，直接I 型结构需要N M +级延时单元。
数字信号处理第五章chhy
1 1 H1 ( z ) 1 H1 ( z ) 1 0.8 z 1 0.15z 2 1 2 1 1 0.8 z 0.15z 2 1.5 2.5 1.5 2.5 H 2 ( z) H 2 ( z ) 1 0.3z 1 1 0.5 z 1 1 1 2 1 0.3z 1 1 0.5 z 1 1 1 1 1 H3 ( z) H 3 ( z ) 1 0.3z 1 1 0.5 z 1 1 1 3 1 0.3z 1 1 0.5 z 1
5.3 IIR系统的基本网络结构
例：已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的直接型结构。
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 5 3 1 1 z 1 z 2 z 3 4 4 8
5 3 1 y (n 1) y (n 2) y (n 3) 4 4 8 5 3 1 y (n) y (n 1) y (n 2) y (n 3) 8 x(n) 4 x(n 1) 11x(n 2) 2 x(n 3) y (n)
i 0 i 1
M
N
对输入信号的直接算法，
其系统函数H(z)为： M
刻以前的y(n-i)，可以 y (n ) bi x (n i ) ai y (n
i 0 递推出y(n) i 1
已知x(n)、ai、bi和n时 M
N
N i i 0 YY z z Y i Y( 1) ii aNz NaaYY ( ()z )zjiz,Hj((,zH z )( z( ))) ( z)0 i bi z i j i i i0 i ) ) X X z i ( z )z Y ( z )Y ( zY (bi bi( z()z (z z z ja j Y z , H z ) ( z bi X ) i 0 H ( z ) X ( )) X ( z )NN j jN i 1 j 1 1 X (z z N i 0 i 0 i 0 j j i=11 a j j z i X ( z ) 11 a1z a 1 j1 ai z j 1 j 1
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5.2 连续时间信号的抽样
三者的频谱描绘如下:
g1 (t ) cos(6t )
6
G1 ( j)
G1 ( j) [ ( j ( 6 )) ( j ( 6 ))] g 2 (t ) cos( t ) 14
g 3 (t ) cos(26t )
1 2
H M ()
P( j)
M 4
T
G p ( j )
2 H T 2 M H 2
5.3 带通信号的抽样
如果 H 不是带宽H - L 的整数倍，我 们可以向左或向右人为地扩展带宽，使 得带通信号的最高频率是扩展后的带宽 的整数倍。
g 3 (t ) cos(26t )
由于:
G1 ( j) [ ( j ( 6 )) ( j ( 6 ))]
G2 ( j) [ ( j ( 14 )) ( j ( 14 ))]
G3 ( j) [ ( j ( 26 )) ( j ( 26 ))]
n
p (t )
返回
sin( c (t nT )) g a [ n] (t nT ) / T n
内插公式
5.3 带通信号的抽样
带通信号: 带限的连续时间信号频率范围在L到H 之间，这样的信号称为带限信号。 通过对一个低通信号进行调制可以得到 带通信号：
低通信号
x(t )
xb (t ) 带通信号
cos(ct )
5.3 带通信号的抽样
我们当然可以用大于两倍信号最高频率的 抽样率对带通信号进行抽样,即通过保证
T 2 H
来防止混叠。
G( j)
1 2
G p ( j )
1 2
T
间隔
5.3 带通信号的抽样
接下来我们介绍一种更实用有效的办法：
G( j)
L H
5.3 带通信号的抽样
如果 H 不是带宽H - L 的整数倍，我 们可以向左或向右人为地扩展带宽，使 得带通信号的最高频率是扩展后的带宽 的整数倍。
G( j)
o L H
5.3 带通信号的抽样
如果 H 不是带宽H - L 的整数倍，我 们可以向左或向右人为地扩展带宽，使 得带通信号的最高频率是扩展后的带宽 的整数倍。
G( j)
o L H
P( j)
1/ T
T 2
0
G p ( j )
5.3 带通信号的抽样
• 带通信号的抽样定理 • 对于连续时间带通信号，如果抽样率满 足如下条件：
2 H T 2 M
M 为整数。
则原连续时间带通信号可以由抽样序列 恢复出来，因为抽样后的频谱不存在混 叠。 返回
第五章
连续时间信号的 数字处理
内容
• • • • • 连续时间信号的数字处理 数字频率的理解 带通信号的抽样 模拟低通滤波器的设计 作业
连续时间信号的数字处理
下图描述了连续时间信号的数字系统处理 过程(DSP)。
xa (t )
反混叠 滤波器
ya (t )
S/H A/D DSP D/A)
n
g a (nT )e jnT
5.2 连续时间信号的抽样
即有G(ejω) 和Ga(j)之间的关系如下：
G ( e ) G p ( j )
j
T
1 2 Ga j ( k ) T k T T
6 c
6
c
对 g3(t)
26
T
G3 ( j)
26
G3 p ( j)
10
6 20
c
20
6 c
重叠!
5.2 连续时间信号的抽样
对 g2(t)
14
T
G2 ( j)
G2 p ( j)
14
10
20
20
6 c
6
G p ( j )
1/ T
T
T
T
m m
5.2 连续时间信号的抽样
• 在时域的理解
g a (t )
g p (t )
Hr(j )
g a (t )
g p (t )
n
g
a
(nT ) (t nT )
sin( c t ) sin( ct ) hr (t ) T t T t / 2 g a (t ) hr (t ) * g a [n] (t nT )
T
p (t )
y (t )
1/ T
T
T
m m
5.2 连续时间信号的抽样
根据 假设T>2 m， gp(t) 的频谱可描绘如下图所示：
1
Ga ( j)
1 G p ( j) Ga j ( kT ) T k
T 2m
m
m
Y ( j)
T
T FT
返回
5.2 连续时间信号的抽样
5.2.2 模拟信号的恢复
g a (t )
g p (t )
Hr(j )
g a (t )
p (t )
T , c H r ( j) 0, c
1 G p ( j) Ga j ( kT ) T k
G( j)
L H
5.3 带通信号的抽样
如果 H 不是带宽H - L 的整数倍，我 们可以向左或向右人为地扩展带宽，使 得带通信号的最高频率是扩展后的带宽 的整数倍。
G( j)
L H o
5.3 带通信号的抽样
在这种情况下，抽样信号gp(t)的频谱如下 图所示：
26
G2 ( j)
6
14
14
G2 ( j) [ ( j ( 14 )) ( j ( 14 ))]
G3 ( j)
26
G3 ( j) [ ( j ( 26 )) ( j ( 26 ))]
5.2 连续时间信号的抽样
5.2 连续时间信号的抽样
因此, 如果利用离散时间系统处理连续 时间信号ga(t), 必须对信号ga(t)进行抽样， 而且抽样频率必须大于奈奎斯特频率， 即2m.
5.2 连续时间信号的抽样
例 5.1 考虑三个纯余弦信号：
g1 (t ) cos(6t ) g 2 (t ) cos( t ) 14
xa (t )
返回
ya (t ) 理想 x[n] 离散时间 y[n] 理想内插器 抽样器 处理器
5.2 连续时间信号的抽样
5.2.1 抽样在频域中的效应
g a (t )
p (t )
g p (t )
5.2 连续时间信号的抽样
g a (t )
p (t )
g p (t )
g p (t )
n
5.4 模拟低通滤波器的设计
已经提出来的设计模拟低通滤波器的逼 近技术有很多，主要有四种。 这节，讨论如下内容： 滤波器特性 巴特沃兹逼近 切比雪夫逼近 使用MATLAB进行模拟滤波器设计 返回
滤波器特性
5.4.1滤波器特性 为设计滤波器，我们首先需知道滤波器特 性。 典型模拟低通 滤波器幅度响 应|Ha(j)| 给 定如下：
c
对 g3(t)
26
G3 ( j)
重建信号为 y(tT) Gcos(6t ) ( j )
3p
26
10
20
返回
6 c
6
20
c
重叠!
5.2 连续时间信号的抽样
• DTFT和CTFT之间的关系 比较通过抽样得到的ga(t)的CTFT的表达 式：
1 G p ( j) Ga j ( kT ) T k
n
5.2 连续时间信号的抽样
根据 假设T>2 m， gp(t) 的频谱可描绘如下图所示：
1
Ga ( j)
1 G p ( j) Ga j ( kT ) T k
T 2m
m m
g a (t )
g p (t )
H(j )
G p ( j )
滤波器特性
通常，滤波器性能指 标以损益函数或衰减 函数a()表征，它定 义为增益的负值，单 位为dB ，即：
1 j Ga ( 2k ) T k T
或者
1 G (e jT ) Ga j ( kT ) T k
T
T
5.2 连续时间信号的抽样
现让我们对数字频率ω和模拟频率之间 的关系进行解释：
T
T FT
对 g1(t)
6
T
G1 ( j)
6
G1 p ( j)
T =20 rad/sec
10
20
T c 10 2
20
6 c
6
c
无重叠
5.2 连续时间信号的抽样
对 g2(t)
14
T
G2 ( j)
G2 p ( j)
14
10
20
20