离散型随机变量的分布列 课件

m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*， 称分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则
称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
求离散型随机变量的分布列 [典例] 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 ξ 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 ξ 的分布列． [解] 随机变量 ξ 的可能取值为 3,4,5． 当 ξ＝3 时，即取出的三只球中最大号码为 3，则其他 两只球的编号只能是 1,2，故有 P(ξ＝3)＝CC5322＝110；
知 a13＋312＋…＋31n＝1． 则 a·1311－－1331n＝1． ∴a＝23×n－31n．
离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求 出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
两点分布
[典例] 袋中有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 X
当 ξ＝4 时，即取出的三只球中最大号码为 4，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3 的 3 只球中取 2 只， 故有 P(ξ＝4)＝CC2335＝130； 当 ξ＝5 时，即取出的三只球中最大号码为 5，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3,4 的 4 只球中取 2 只，故有 P(ξ＝5)＝CC2435＝160＝35． 因此，ξ 的分布列为
＝01，，[解两两] 球球由全非题红全意，红知，，X求服随从机两变点量分X布的，分P布(X列＝．0)＝CC21261＝131，所 以 P(X＝1)＝1－131＝181．
所以随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
3 11
8 11
两点分布的 4 个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应 1，另一个对应 0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知 P(X＝0)(或 P(X＝1))， 便可求出 P(X＝1)(或 P(X＝0))． (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机 事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
超几何分布
[典例] 从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放 回地任取 3 件，求取得次品数 ξ 的分布列．
[解] 设随机变量 ξ 表示取出次品的件数，则 ξ 服从超几何 分布，其中 N＝15，M＝2，n＝3，ξ 的可能的取值为 0,1,2，它 相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝CC02C135313＝2325；P(ξ＝1)＝CC12C315123＝1325；
离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2，…，xi，…，xn, X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X ＝xi)＝pi，则称表：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量 X 的 概率分布列，简称为 X 的 分布列．
P(ξ＝2)＝CC22C135113＝315． 所以 ξ 的分布列为
ξ
0
P
22 35
1
2
12
1
35
35
求解超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到 的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}．这里 N 是产品总数，M 是产品中次 品数，n 是抽样的样品数． (3)如果随机变量 X 服从超几何分布，只要代入公式即可求 得相应概率，关键是明确随机变量 X 的所有取值． (4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
2．两个特殊分布
(1)两点分布
随机变量 X 的分布列是：
X
0
1
P
1－p
p
则称离散型随机变量 X 服从两点分布，称 p＝P(X＝1)
为 成功概率 ．
(2)超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X
件次品，则事件{X＝k}发生的概率 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，
用等式可表示为 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n, 也可以用 图象来表示 X 的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
n
② pi＝1 ． i＝1
[点睛] 对离散型随机变量分布列的三点说明 (1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取 的一切可能的值， 而且也能看出取每一个值的概率的大小， 从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况． (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取 这个范围内各值的概率之和． (3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示．
ξ
3
4
5
P
1 10
3 10
3 5
பைடு நூலகம்
求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量 X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列．
离散型随机变量分布列的性质
[典例] 设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝k)＝a13k．(k＝ 1,2，…，n)，求实数 a 的值．
[解] 依题意，有 P(ξ＝1)＝13a， P(ξ＝2)＝132a，…，P(ξ＝n)＝13na， 由 P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋…＋P(ξ＝n)＝1，