基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi模型降阶方法

基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi模型降阶方法
徐康丽;杨志霞;蒋耀林
【摘要】Krylov子空间模型降阶方法是模型降阶中的典型方法之一，Arnoldi模型降阶方法是这类方法中的一类基本方法。

运用重正交化的Arnoldi算法得到r步Arnoldi分解；执行Krylov-Schur重启过程，导出基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi模型降阶方法。

运用此方法对大规模线性时不变系统进行降阶，得到具有较高近似精度的稳定的降阶系统，从而改善了Krylov子空间降阶方法不能保持降阶系统稳定性的不足。

数值算例验证了此方法是行之有效的。

%Krylov subspace method is one of the typical model reduction methods, in which Arnoldi model reduction method is the basic method. Re-orthogonalizational Arnoldi algorithm is proposed to obtain r step Arnoldi decomposition. Next, this paper restarts Krylov-Schur process and drives Arnoldi model reduction method based on implicitly restarted Krylov-Schur technology to reduce the large scale linearly time invariant systems. By this method, it can obtain a stable order-reduced system with higher accuracy, which can improve the drawback of Krylov subspace methods. Finally, simula-tions of a linearly time invariant system will be conducted to illustrate the effectiveness of the proposed method.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2016(052)012
【总页数】5页(P251-255)
【关键词】模型降阶;Krylov子空间方法;重正交化;Krylov-Schur重启技术
【作者】徐康丽;杨志霞;蒋耀林
【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐 830046;新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐 830046;西安交通大学数学与统计学院，西安 710049【正文语种】中文
【中图分类】TP39
XU Kangli,YANG Zhixia,JIANG Yaolin.
Computer Engineering andApplications,2016,52（12）：251-255.
在众多工程技术领域，随着问题复杂性的提高，系统也变得越来越庞大，如：电力系统、流体机械系统、超大规模集成电路系统等，都涉及大型或复杂动力系统的计算机设计、仿真、优化与控制。

这些工程系统一般用微分方程组来描述，方程维数通常比较高。

由于计算机内存、计算速度的限制，要模拟仿真和控制这些大型系统是比较困难的。

模型降阶正是处理大型系统近似过程的一类有效方法，其基本思想是在某种情况下将一个较大系统转化为一个近似的较小系统，使其在某种范数意义下能够很好地或最佳逼近原始系统，同时要求降阶系统能保持原始系统的某些特性，如无源性、结构性和稳定性等。

近年来，模型降阶技术已成功应用于超大规模集成电路等工业领域。

Krylov子空间模型降阶方法是模型降阶中的一类基本方法，通常采用所构造的标
准列正交向量基对原始系统进行降阶。

相对于平衡截断降阶方法[1-2]，Krylov子
空间降阶方法算法稳定、实现简单，能够保持原始系统传递函数一定数量的矩。

在Krylov子空间降阶方法中，常用的是Arnoldi和Lanczos模型降阶方法[1，3-4]。

Arnoldi算法最初是用来求解大规模稀疏矩阵的特征值问题的。

在此算法的基础上
发展了一系列的Arnoldi模型降阶方法，如：Jbilou[5]和Lee[6]分别给出了关于
单输入单输出系统的Arnoldi及自适应Arnoldi模型降阶方法；Chu[7]给出了关
于多输入多输出系统的整体Arnoldi模型降阶方法等。

为进一步精确求解大型稀
疏矩阵的特征值，释放计算机内存，Sorensen[8]提出了隐式重启 Krylov子空间
方法，后来Stewart[9]提出了Krylov-Schur重启方法，使得古老的Krylov子空
间方法又焕发了青春。

基于这种重启技术，Grimme[10]，Jaimoukha[11]和Papakos[12]先后给出了隐式重启的Lanczos模型降阶方法。

然而，Krylov子空
间降阶方法仍存在诸多不足：（1）不能保持系统的稳定性，即使原始系统是稳定的，降阶系统也可能不稳定；（2）在低频率处的近似程度较低。

因此，该领域还有很广阔的研究空间。

本文提出基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi模型降阶方法。

具体地，首先，利用重正交化的Arnoldi算法对原始系统进行降阶，得到r步Arnoldi分解。

接下来，执行Krylov-Schur重启过程得到最终的降阶系统。

值得一提的是，在此过程中由于利用实Schur分解标准形的对角块排序技术，去除了破坏降阶系统稳定性
的因素；同时去除了影响近似误差精度的因素，从而提高了降阶系统的稳定性和近似精度。

本文主要内容如下：第二部分给出了关于传统Arnoldi模型降阶方法的预备知识，并给出了系统的各阶矩。

第三部分给出了基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi
模型降阶方法，并讨论了降阶系统的稳定性及无源性。

第四部分通过数值算例验证该方法的可行性。

本章提出基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi模型降阶方法：首先，运用重正交化的Arnoldi算法对原始系统进行降阶，得到r步 Arnoldi分解；为进一步提高降阶系统的稳定性和近似精度，在执行Krylov-Schur重启过程中运用实Schur分解标准形的对角块排序技术，从而去除破坏降阶系统稳定性的因素，同时去除影响
近似误差精度的因素。

由于运用重正交化的Arnoldi算法[14]，保证了变换矩阵V是列正交的。

V的列向量构成Krylov子空间Kr(G,l)的一组基。

将标准列正交变换矩阵V作为线性时不变系统（2）的变换矩阵得到降阶系统（3）。

若降阶系统稳定，则系统（3）即为所求的降阶系统。

然而，仅仅通过一次重正交化的Arnoldi算法往往得不到稳定的
降阶系统。

因此继续执行重正交化的Arnoldi算法。

但由于计算机内存的限制，r
不能无限增大。

为充分利用计算机内存，同时得到稳定的降阶系统，执行Krylov-Schur重启过程。

重新启动的思想在于：通过r步重正交化Arnoldi算法得
到长度为r 的Arnoldi分解，其中，r已经达到了计算机内存允许的最大值，但此时的结果无法满足对降阶系统稳定性及其近似精度的要求。

需从Krylov
子空间Kr(G,l)中重新选取初始向量，其中p(t)=(t-λk+1)(t-λk+2)…(t-λr)为过滤多项式。

接下来继续以为初始向量，通过重正交化Arnoldi算法计算新的Arnoldi
分解，直到得到的降阶系统满足要求为止。

需指出的是，在形如（1）的线性时不变系统中，若A的特征值均位于左半开平面，则称该系统是稳定的。

所以在Krylov-Schur重启过程中，通过重排Hr的Schur分解的标准形T，得到T的对
角块T1和T2，T1的特征值均位于左半开平面且主对角线元素按降序排列，而T2中存在位于虚轴或右半开平面的特征值。

因此，将T2剔除，保留T1，使得所有
特征值均位于左半开平面，从而得到稳定的降阶系统。

具体算法步骤如下。

分别运用传统的Arnoldi算法[5]、修正的Arnoldi算法[6]，自适应Arnoldi算法[15-16]对原大规模线性系统进行降阶，其优点在于：（1）计算复杂度低。

由于Arnoldi算法只涉及矩阵与向量的乘法因此可充分利用矩阵的稀疏性及其结构特征，所需要计算的乘法次数为O(nr2)或O(rn2)（与矩阵稀疏性有关），而平衡截断降阶方法所需计算的乘积次数为O(n3)；（2）数值稳定。

通过数值稳定的Arnoldi
算法构造标准列正交的变换矩阵避免了计算矩数值不稳定问题。

但Arnoli模型降
阶方法也存在诸多不足：（1）运用r步Arnold算法构造列正交的变换矩阵V时，列向量间的正交性很快就会损失掉。

（2）r的大小受计算机存储空间的限制。

因
此可能会面临如下问题：由于计算机内存的限制，r已经不能再增加了，但降阶系统与原线性时不变系统的近似精度较低。

（3）不能保证降阶系统是稳定的。

本文提出的基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi模型降阶方法解决了以上问题。

下面证明由算法1得到的降阶系统是稳定的，并且在一定条件下能保持原始系统
的无源性。

下面通过数值算例验证本文所给出的方法是可行的。

例考虑106阶的动力系统，其中，，，。

该模型类似于FOM模型[17]。

对该系
统采用基于Krylov-Schur重启技术的Arnoldi方法进行降阶。

假设降阶系统的阶数为r。

为更好地体现本文所提出的降阶方法的优点，分别取r=2,4对降阶系统与原始系统进行模拟比较。

图1是2阶降阶系统与原始系统进行模拟得到的Bode 图，图2是4阶降阶系统与原始系统进行模拟得到的Bode图。

图1和图2中“The original system”表示原始系统，“The reduced system”表示降阶系统。

每个Bode图由两张图组成，一张是对数幅频特性曲线，一张是对数相频特性曲线。

由图1，2可以看出，当对数幅频特性曲线穿越0 dB线时，对数相频特性曲线大
于180°，故降阶系统稳定。

并且降阶系统与原始系统在频率域上吻合得较好，从
而说明该方法的可行性。

具体计算结果见图1，2。

针对Krylov子空间模型降阶方法，首先，运用重正交化的Arnoldi算法，以保持
降阶过程所需变换矩阵的正交性；然后，为提高降阶系统的稳定性，基于Krylov-Schur重启技术，导出Krylov-Schur重启Arnoldi模型降阶方法。

运用此方法对大规模线性时不变系统进行降阶，得到具有较高近似精度的稳定的降阶系统。

数值算例验证了该方法是可行的。

【相关文献】
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