2020-2021高三数学下期末第一次模拟试卷(附答案)(13)

2020-2021高三数学下期末第一次模拟试卷(附答案)(13)
一、选择题
1．若复数2
1i
z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i
B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
2．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．
110
B ．
310
C ．
35
D ．
25
3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 4．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）
A ．28
B ．32
C ．33
D ．27 5．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A ．
12
B ．
512
C ．
14
D ．
16
7．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
8．已知函数()32cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是
A ．（1,2）
B ．[1,2）
C ．（1,2]
D ．[l,2]
9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=
B ．4a b +>
C ．()()2
2
112
a b -+-<
D ．228a b +>
10．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )
A ．相交
B ．平行
C ．异面而且垂直
D ．异面但不垂直
11．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，
()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若3
2
BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）
A ．
12
B ．
12
2
± C ．
110
2
± D ．
322
2
± 12．设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
二、填空题
13．若函数3
21
1()23
2f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.
14．函数2()log 1f x x =-的定义域为________．
15．若,满足约束条件
则的最大值 ．
16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
17．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则
ACB =∠______________.
18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.
19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C
c B B
+=+，C 是锐角，且27a =，1
cos 3
A =，则ABC △的面积为______．
20．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是
________． 三、解答题
21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==
，
2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．
22．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆22
34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为
1．
（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程． （2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．
23．设函数22()ln (0)f x a x x ax a =-+>（Ⅰ）求()f x 单调区间（Ⅱ）求所有实数a ，使2
1()e f x e -≤≤对[1,e]x ∈恒成立 注：e 为自然对数的底数
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.
4πρθρθ⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）
112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为
()33{,,.1
2
x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 26．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,
3
AC BC B C ACB π==∠=
（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)
z z +=
==+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】
设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：
()255
P x y ≤=
=，故本题选C .
【点睛】
本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有1
4C 4=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有0
4C 1=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】
因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4
y x =-=，故所给的复数的模该为5，故
选D.
考点：复数相等，复数的模.
6．B
解析：B 【解析】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，
即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512
故选B.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】
设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：利用辅助角公式化简函数为
()3sin 2cos 2f x x x m
=+-,令,则,所以此时函数即为
.令
有
,根据题意可知
在
上有两个解,
根据在函数图像可知,
.
考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，
33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题
10．D
解析：D 【解析】
解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r
，再根据向量的数
量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】
∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，
∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1
2λ=.
故选：A. 12．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为
，
，所以，
，且，所以
，
，所以
,
故选D.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1(,)9
-+∞ 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：2
211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
14．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞） 【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
15．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法 解析：
【解析】
作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
考点：线性规划解法
16．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=11111
1201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
17．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30°
【解析】 【分析】
作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解
cos ACB ∠即可. 【详解】
如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =
在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =. 在ABC V 中,()222
10103103cos 2
210103ACB +-∠==⨯⨯,∴30ACB ∠=︒.
故答案为：30°
【点睛】
本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.
18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：33或93 【解析】
【分析】
做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.
【详解】
正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2
1642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得
到0
3sin 60= 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S ⨯⨯V
代入数据得到111333224⨯⨯⨯⨯
⨯=或者11333322⨯⨯⨯⨯⨯=
故答案为：
4或4
【点睛】
这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理
解析：【解析】
【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B
=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求
出b c ==
【详解】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B
=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B
=， ∴sin2sin2B C =，
又,B C 为三角形的内角，
∴B C =或2B C π+=
， 又1cos 3
A =， ∴
B
C =，于是b c =． 由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-
即(222223b b b =+-，
解得b =，故c =
∴11sin 223
ABC S bc A ∆===
故答案为．
【点睛】
正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．
20．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间 解析：6
π-
. 【解析】 分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-
+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=±
⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22
k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
三、解答题
21．（1）见解析（2
）
4
（3
）7 【解析】
【分析】 （1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知CO ⊥BD ．在△AOC
中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；
（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME
中，11EM AB OE DC 122=
===，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；
（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD
中，CA CD 2AD ===
，
ACD 1S 2==V ，由AO ＝1
，知2CDE 1S 22==V ，由此能求出点E 到平面ACD 的距离．
【详解】
（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，
∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．
在△AOC
中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2，
∴AO 2+CO 2＝AC 2，
∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．
∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，
∴AO ⊥平面BCD ．
（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，
知ME ∥AB ，OE ∥DC ，
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．
在△OME
中，111222
EM AB OE DC ====， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴112
OM AC ==，
∴1114cos OEM +
-∠==， ∴异面直线AB 与CD
所成角大小的余弦为4
（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．
E ACD A CDE V V --=Q ， 1133ACD CDE h S AO S ∴=V V ．．．
， 在△ACD 中，22CA CD AD ===
，， ∴212724222ACD S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
V ， ∵AO ＝1，213322CDE S =
⨯⨯=V ， ∴312127
2
CDE ACD AO S h S ⨯⋅===V V ， ∴点E 到平面ACD 的距离为
217．
【点睛】
本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．
22．（1）20x y ++=（2）3【解析】
【分析】
【详解】
Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．
因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．
于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．
由2234{x y y x n
+==-+，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，
所以212640n ∆=-+>，解得4343n <<．
设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，， 则1232n x x +=，212344
n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以122
n y y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫
⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144
n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==．
所以菱形ABCD 的面积2S AC =
．
由（Ⅰ）可得2223162
-+==n AC ，
所以2(316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭
，
故当0n =时，有max 16=
=S 23．（1）()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）a e = 【解析】
【分析】
【详解】
：（Ⅰ）因为22()ln (0)f x a x x ax a =-+>所以
2()(2)()2a x a x a f x x a x x
-+'=-+=-由于0a > 所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．
（Ⅱ）由题意得(1)11f a e =-≥-即a e ≥．由（Ⅰ）知()f x 在[1,]e 单调递增，要使21()e f x e -≤≤
对[1,e]x ∈恒成立，只要222(1)11{()f a e f e a e ae e
=-≥-=-+≤解得a e =
24．（Ⅰ）3
；（Ⅱ）7；（Ⅲ）4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异
面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即
可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r
，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉u r r 即可；
（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ， （Ⅰ
）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，
所以111111cos ,3||||AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 设异面直线AC 与11A B 所成角为α，
则cos α
=11|cos ,|AC A B 〈〉=u u u r u u u u r 所以异面直线AC 与11A B
所成角的余弦值为
3. （Ⅱ
）易知111(AA AC ==u u u r u u u u r ，
设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =， 则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v
，即00
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
令x =
z =
，所以m =u r ，
同理，设平面111
B A
C 的法向量(,,)n x y z =r ， 则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v
，即00
⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，
令y =
z =
n =r ，
所以2cos ,7||||77m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅u r r u r r u r r ， 设二面角
111A AC B --的大小为θ， 则22
35sin 1()7θ=-=， 所以二面角111A AC B --的正弦值为35. （Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得2325,,N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设(,,0)M a b ，则2325,,222MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u u r ， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，即 2(22)022325(2)(2)5022a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛
⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩， 解得222
4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故22,,024M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10||BM =u u u u r .
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
25．（I ）(4,),(22,)24ππ
（II ）1,2a b =-=
【解析】
【分析】
【详解】
（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=
联立得22(2)4{40
x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,),(22,)24ππ
（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为20x y -+=
由参数方程可得122
b ab y x =-+，所以1,12,1,222b ab a b =-+==-=解得 26．（1）详见解析；（2）
431. 【解析】
【分析】
（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M P ，由此能证明1B Q P 平面11A ACC ．
（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值．
【详解】
证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ．
因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点，
又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC P ，且12
MQ BC =， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C P ，且11MQ B C =，
所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M P ，
因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ，
故1B Q P 平面11A ACC ．
（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===， 则()3,1,0A -，()
13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ，
所以()113,2,0B A =-u u u u r ，()10,1,2B B =-u u u r ．
设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r ，
则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即32020
x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则()
4,23,3m =u r 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =r ，所以431cos ,3131m n m n m n ===u r r u r r g u r r g ． 故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为43131
．
【点睛】
线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.。