最新-人教A版高中数学必修四课件：25 平面向量应用举例5 精品

2
2
，所
AC BD
2.方法一：设 AB a，AD b，
则 AF a 1 b，ED b 1 a，
2
2
所以 AF ED (a 1 b) (b 1 a) 1 b2 1 a2 3 a b.
2
2224
又AB AD，且 AB AD ，
所以a2=b2，a·b=0，所以AF ED=0，所以 AF 即EDA，F⊥DE.
DP 0＜＜ 2a ，
则F( 2 ，0)，P( 2 ， 2 )，E(a， 2 )，A 0，a ，
2
22
2
所以EF ( 2 a， 2 )，PA ( 2 ，a 2 )，
2
2
2
2
因为 EF 2 2 2a a2，PA 2 2 2a a2，
所以 EF PA ，即PA EF.
类型二 平面几何中的长度问题 【典例】1.已知在△ABC中，∠A=60°，BC=a，AC=b，AB=c，AP是BC 边上的中线，则AP的长为( )
因为D为AB的中点，所以
D( n ，m )， 22
所以 CD 1 n2 m2，AB m2 n2， 2
所以 CD 1 AB ，即CD 1 AB.
2
2
(2)因为E为CD的中点，所以
设F(x，0)，则
E(
n ，m 44
)，
因 即为 (x，A，-mE，)=F三A点E共 (线n4，，所43 m以)，AF x， m．
【证明】以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，
DP 0 2 ，
则A 0，1，P( 2 ， 2 )，E(1， 2 )，F( 2 ，0)，
22
2
2
于是PA ( 2 ，1 2 )，EF ( 2 1， 2 )，
2
2
2
2
因为PA EF ( 2 ) ( 2 1) (1 2 ) ( 2 )
2.5 平面向量应用举例
【知识提炼】 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤” (1)建立平面几何与向量的联系，用_____表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为_________. (2)通过_________研究几何元素之间的向量关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【解题探究】1.典例1中
的夹角是多少？如何利用
表
示向量 ？
AB与AC
AB与AC
提示：
的夹角为60°，根据平行四边形法则和两个向量共线的
条件，可AP以用
表示向量 .
2提.示典：例A利2B中与用，AAC，如E何，求F三点？共线，
AB与AC
AP
AF
AF AE.
【解析】1.选B.因为AP是BC边上的中线， 所以向量
在怎样的位置关系？
AC与BD
提示：由
=0，可知AC⊥BD，即平行四边形的对角线互相垂直.
2.典例2中，要证明AF⊥DE，如何采用向量法求证？
提示：证明AC BD

AF DE 0.
【解析】1.选C.因为 =1×(-4)+2×2=0，所以 以四边形ABCD的面积AC是 BD
1 | AC | BD 1 5 20 5.
速度， 表示船实际OA速度，∠AOC=30O°B，| |=5km/h.
因为四边形OACB为矩形，
OC
OB
所OA以水流AC速度为O5B km 5/h3，k船m 实/ h际，速度为10 km/h.
44
| AE | AE ( n )2 ( 3 m)2 1 n2 9m2 .
4
4
4
2.(改变问法)典例2中若条件不变，如何求BE的长. 【解析】由题知B(n，0)，
则
所以BE
(
3 4
n，m 4
)，
E( n ，m )， 44
即BE的BE长为
(
3 4
n)2
(m)2 4
1 4
9n2 m2，
1 9n2 m2 . 4
问题1：在物理学中，你知道哪些知识与向量的线性运算有关系？ 问题2：如何利用向量方法解决物理中的相关问题？
【总结提升】 向量在物理中应用时要注意的三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成 数学模型. (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.
(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相 关知识： ①力、速度、加速度和位移都是向量； ②力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法； ③动量mv是数乘向量； ④功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积.
所 =1以+B54D-+22aaa··bbb==46，a，2所所以2以aab·bb=2 即，A1又C =4 2=.a|ab+b|25=a22a+2ba·2，b+b2
答案：
1
2
AC
2
AC 6，
6
6
2.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰
DC上的动点，则
【知识探究】 知识点1 向量在平面几何中的应用 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：向量方法可解决平面几何中的哪些问题？ 问题2：利用向量法如何证明相等、平行、垂直、三点共线及求角？
【总结提升】
向量方法在平面几何中应用的五个主要方面
(1)要证明两线段相等，如AB=CD，则可转化为证明
(2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使
(提2示)向：量A不B一C定D是.的因夹为角直是线直AB线，ACBD，的C夹D的角夹范角围吗为？ 所以当
的夹角是锐角或A直B 角C时D ，即为直线AB与CD的夹角，否则不是.
AB，CD
[0， ]， 2
AB与CD
2.若向量 为( )
OF1
=(2，2)，
OF2
=(-2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1+F2|
AF AE.
则
故λ(=n，， 3即mx).= ，所以
44
所以x
n 4
，
即AF的长4 为
m
3 4
m，
3
AF 1 n2 9m2，
3
n
F( n，0)，
3
3
1 n2 9m2 . 3
【延伸探究】 1.(改变问法)典例2中若条件不变，如何求AE的长. 【解析】建立坐标系后，由题知，
则
AE ( n， 3 m)
的最小值为_______．
【解析】方法一：以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴建立 如图所示的平面直| P角A 坐3标PB系| ，
设DC=a，DP=x. 所以D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，
P(0，x)，
所以
=PA(5，23，a-x4，xP)B， 1，a x，
所 答以 案：PA5 3P的B最小值为5.
2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD= AB.
A(2. 1)若aE2 为 bC2D的ab中点B，. 1 连b接2 AcE2并 b延c 长C交. 1BC于a2 F，c2求 aAcF的D长. 1度(b用2 mc，2 nb表c
示2).
2
2
2
1 2
2
PA
3PB
2
25
2
DA
2
5
3
4x DA DC
3
4x 2
2
DC
4
2
25
(3
4x)2
2
DC
25，
| PA 3PB |
类型三 向量在物理中的应用
【典例】1.一航船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际
航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________；船的实际速
度为________. 2.已知两恒力F1=(3，4)，F2=(6，-5)作用于同一质点，使之由点 A(20，15)移动到点B(7，0). 试求：(1)力F1，F2分别对质点所做的功. (2)F1，F2的合力对质点所做的功.
【补偿训练】1.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角 线BD=2，则对角线AC的长为____．
【解题指南】求线段长度的问题可以转化为求向量的模，写出 后会发现未知量可由 计算出．
| BD |2
| AC |2
【解析】设
而
AD a，AB b，则BD a b，AC a b，
向量问题
向量运算
2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与位移s的数量积.
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)若
，则直线AB与CD平行吗？
提示：不一定.
，则直线AB与CD平行或重合.
2
2
2
2
2 ( 2 11 2 ) 2 0 0，
22
2
2
所以PA EF，即PA EF.
【延伸探究】若本题条件不变，用向量法证明PA=EF.
【解题指南】本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标
系，用向量坐标来解决，为此只要写出
的坐标，证明其模
相等即可.
PA和EF
【证明】建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为a，则A(0，a). 设
A.(0，5)
B.(4，-1)
C.2
D.5
【解析】选D.因为F1+F2=(2，2)+(-2，3)=(0，5)，
所以|F1+F2|=5.
2
3.力F=(-1，-2)作用于质点P，使P产生的位移为s=(3，4)，则力F对 质点P做的功是________. 【解析】因为W=F·s=(-1，-2)·(3，4)=-11，所以力F对质点P做 的功是-11. 答案：-11
AP 1 (AB AC)， 2
所以AP2 1 (AB AC)2 4
1
2
(AB
2AB
AC
2
AC
)
4
1
(
AB
2
2
|
AB |
AC
cos
60
AC
2
)
1
c2 bc b2
，
4
4
所以 AP 1 b2 c2 bc，即AP的长为 1 b2 c2 bc.
2
2
2.(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立 平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n，0)．
方法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1.
则A(0，0) ，
D(0，1).
所以
又
E( 1 ，0)，F(1，1 )，
2
2
所以 AF (即1，1A)F⊥0，D0E . (1，1)，
2
2
DE (1，0) 0，1 (1，1)，
2
2
AF DE (1，1) (1，1) 0， 22
PA 3PB 2 25 3a 4x 2 25，
| PA 3PB |
方法二：设 所以
DP xDC0 x 1，
PC 1 xDC，
PA DA DP DA xDC，PB PC CB 1 x DC 1 DA，
2
所所以以PA 3P的B 最5小DA值为35.4xDC，
答案：5
【解题探究】1.典例1中，船在河水中航行要考虑哪三个速度？ 提示：水流速度、船在静水中速度、船的实际速度. 2.典例2中如何用坐标表示质点的位移？求力做功可以利用向量的哪
种运算？ 提示：用终点坐标减去起点坐标可以求出质点的位移坐标，求力做功 可以利用向量数量积运算.
【解析】1.如图， 表示水流速度， 表示船向垂直于对岸行驶的
AF DE，
【方法技巧】利用向量解决垂直问题 (1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件， 即向量的数量积为0. (2)途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
【变式训练】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上一点， PFCE是矩形， 证明：PA⊥EF.
成立，且AB与CD无公共点.
2
(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量A积B
2
CD .
(4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使
(5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量 与向量 的夹角即可.
AB CD
AB CD 0.
BA
BC
AB AC.
知识点2 向量在物理中的应用 观察如图所示内容，回答下列问题：
【方法技巧】 1.用向量法求长度的策略 (1)利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2=a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x，y)，则 |a|=
x2 y2 .
2.用向量解决平面几何问题的两种思想 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将 题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计 算. (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题 中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【题型探究】
类型一 平面几何中的垂直问题
【典例】1.在四边形ABCD中， =(1，2)， =(-4，2)，则该四边形
的面积为( )
A.
B.2
CA.C5
BD D.10
2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点.
求证：AF⊥DE(利用向量证明).
5
5
【解题探究】1.典例1中由
的坐标表示，可以得出AC，BD存