确定圆的条件优秀教案

确定圆的条件
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）知识目标
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

（二）能力目标
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力；通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。

（三）情感与价值观目标
形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

【教学重难点】
三个点确定一个圆的探索过程，过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。

【教学过程】
一、创设问题情境，引发探究。

我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索。

作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题。

因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小。

确定了圆心和半径，圆就随之确定。

二、做一做。

1．作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
2．作圆，使它经过已知点A、B。

你是如何作的？你能作出几个这样的
圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
3．作圆，使它经过已知点A、B、C（A、B、C三点不在同一条直线上）。

你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
分析：
1．因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来。

所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆。

由于圆心是任意的。

因此这样的圆有无数个，如图（1）。

2．已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径。

因此圆心到A、B的距离相等。

根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上。

在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径。

圆就确定下来了。

由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个。

如图（2）。

3．要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等。

因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心。

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆。

图示
的垂直
相
为半
就是所要求作的圆。

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等，连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等。

ED与FG的交点O满
足OA=OB=OC，因此这样的画法满足条件。

由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆。

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

四、有关定义。

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

这个三角形叫这个圆的内接三角形。

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

五、课堂练习。

已知锐角三角形、直角-三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆。

它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图。

锐角三角形直角三角形钝角三角形。

O为外接圆的圆心，即外心。

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部。

六、课时小结。

本节课所学内容如下：
（一）经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程。

（二）过不在同一条直线上的二个点作圆的方法。

（三）了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。

【作业布置】
如图，CD所在的直线垂直平分线段AB。

怎样使用这样的工具找到圆
形工件的圆心？
【第二课时】
【教学目标】
一、知识教学点。

（一）使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理；
（二）使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题。

二、能力训练点。

（一）培养学生观察、分析、概括的能力；
（二）培养学生言必有据和准确简述自己观点的能力。

三、德育渗透点。

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，渗透数学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点。

【教学重难点】
重点：圆内接四边形的性质定理。

难点：理解“内对角”这一重点词语的意思。

【教学过程】
一、明确目标。

同学们，前面我们学习了圆内接三角形和三角形的外接圆的概念。

本节课我们学习圆的内接四边形概念，那么什么叫做圆的内接四边形呢？
二、整体感知。

（一）复习提问：
1．什么叫圆内接三角形？
2．什么叫做三角形的外接圆？
（二）观察圆内接四边形对角之间有什么关系？
学生一边观察，教师一边点拨。

从观察中让学生首先知道圆内接四边形的对角是圆周角，由圆周角性质定理可知一条弧所对的圆周角等于它们对的圆心角的一半。

如何建立圆周角与圆心角的联系呢？由学生联想到了构造圆心角，从而得到对角互补这一结论。

接着由学生自己探索得到一外角和内对角之间的关系。

教师首先解释“内对角”的含义后，引导学生思考，议论、发现结论。

由学生口述证明结论的成立。

这样由学生通过观察、比较获得圆内接四边形的性质的过程，促使知识转化为技能，发展成能力，从而提高应用的素养。

三、重点、难点的学习及目标完成过程。

由学生自己通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。

定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一外角都等于它的内对角。

为了巩固圆内接四边形的性质出示练习题。

在⊙O中，A、B、C、D、E都在同一个圆上。

1．指出图中圆内接四边形的外角有几个？它们是哪些？
2．∠DCH的内对角是哪一个角，∠DBG呢？
3．与∠DEA互补的角是哪个角？
4．∠ECB+（）=180°。

这组练习题的目的是巩固圆内接四边形的性质，加强对性质中的重点词语“内对角”的理解，同时也逐步训练学生在较复杂的几何图形中，能准确地辨认图形，较熟练地运用性质。

例1 如图，ΔABC的外角平分线AD交外接圆于D，求证：DB=DC。

解：∵AD是∠EAC的平分线
∴∠DAC=∠DAE
∵四边形ABCD内接于圆。

∴∠DCB=∠DAE
∵圆周角∠DBC和∠DAC所对的弧都是CD。

∴∠DBC=∠DAC
∴∠DBC=∠DCB
∴DB=DC。