第四章单自由度系统振动
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比较式（6）（7）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影.
i (t ) x A sin(t ) Im Ae
(8)
在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其 虚部.
等效质量和等效刚度
建立系统的力学模型，就要确定系统的等效质量和等效刚度。 等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在
用两个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用多个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用无限多 个自由度 才能确定 的系统用 振动
描述系统的微分方程
振动
线性振动 非线性振动
用线性微分方程来描 述振动
用非线性微分方程来 描述振动
4.1.2 振动问题的求解步骤
1、建立振动系统的力学模型； m-c-k系统。 2、建立振动系统的数学模型； 建立运动微分方程。用牛 顿第二定律和拉格朗日方程。 3、求解运动微分方程。用解析法。
n
v0
（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出 线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软， 则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹 簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。 k n
m
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
机械系统动力学
Dynamics of Mechanical System
太原科技大学：宁少慧
第4章 单自由度系统振动
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
振动分类及求解步骤 振动系统模型及其简化 单自由度系统的自由振动 谐波激励下的强迫振动 周期性激励下的强迫振动 任意激励下的强迫振动 单自由度系统振动的应用
此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效刚度。 等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要 在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标 上的等效质量 。
2014年12月14日 《振动力学》 34
4、等效刚度 刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。
Fx K x
一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭 转刚度。
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
Βιβλιοθήκη Baidu
求解该方程
x C1 cos nt
或
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
(1)
x C2 sin nt 代入式（1）均满中该方程
无阻尼系统的固 有角频率rad/s
为两个任意常数，则通解可写为：
x(t ) A1 cosnt A2 sin nt A sin(nt ) A A A
2 1 2 2
A1 arctan A 2
(2)
系统固有圆频率，单位是1/s
k n m
振动固有周期单位是s
1 m T 2 f k
振动固有频率单位是Hz
f
n 1 2 2
k m
零时刻的初始条件：
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
例1 锻锤模型
锤体
砧座 弹性垫阻尼 基础 土壤阻尼 砧座和基础 土壤阻尼 土壤刚度
x1 弹性垫刚度 x2 土壤刚度
锤体
x1
4.2.2 单自由度系统模型的简化
例1 简化机床的力学模型： 机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基 础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大 的弹性变形，当弹簧来处理。 基础和机床
杆长l 截面积A 截面惯性矩I 截面极惯性矩IP 材料弹性模量E 切变模量G
拉压刚度
弯曲刚度
扭转刚度
结论：机械系统中同一元件、同 一点，根据所要研究的振动方向 不同，会出现不同的刚度。
组合刚度 例：串联系统
在质量块上施加力 P
P 弹簧1变形： 1 k1
k1 k2
m
弹簧2变形： 2
4.1 振动分类及求解步骤
2、分类 系统的输入 系统的输出 系统的自由度 描述系统的微分方程
系统的输入
振动
强迫振动 自激振动 参数振动
自由振动
在特定的 初始位移 和初始速 度下产生 的振动
系统在给 定的外界 激励作用 下的振动
激励受系 统振动本 身控制的 振动
通过改变 系统的物 理特性参 数实现振 动
P k2
1 1 总变形： 1 2 ( ) P k1 k 2
k1k2 根据定义：K e k1 k2
1 1 1 K e k1 k2
P
P
1 1 1 keq k1 k2
《振动力学》
1 kn
39
例：并联系统
k1
在质量块上施加力 P
k2
m
两弹簧变形量相等：
受力不等：P 1 k1
P2 k 2
P
由力平衡： P P 1P 2 (k1 k2 ) 根据定义： K e
P
k1 k 2
keq k1 k2
kn
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
40
例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度 其中：AB是具有铝心的钢轴； BC是固体钢轴； DE是固体铝轴。
& x ( 0 ) v0
x(t ) x0 cos(nt )
2
sin( nt ) A sin( t ) 0 n
2
v0
v0 A x0 n
tg
1
x0n v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t ) Asin(nt ) （2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条 2 件。 1 x0n v0 2 tg A x0
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率； 2、求解标准方程。
3.简谐振动的表示法
1.三角函数 x A sin(nt )
（1） （2） （3）
v x n A sin(nt ) 2
2 a x n Asin(nt )
例2 电机和梁组成的振动系统的力学模型。 电机质量简化为m，忽略梁质量，梁的弹 性简化为k，忽略电机的弹性。
4.3 单自由度系统的自由振动
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分 方程及其系统特性 4.3.2 振动系统的线性化处理 4.3.3 单自由度无阻尼系统的自由振动 4.3.4 固有频率的计算方法 4.3.5 有阻尼系统的自由振动
x0 arctan n x0
简谐运动可用模为 A的旋转矢量在坐标轴 x上的投影来表示。
3.以复数表示的简谐振动
模为A的矢量OP旋转，其复数表示为
Z Acos(nt ) i sin(nt ) (6)
根据欧拉公式
ei cos i sin i (t ) (7) 式（6）可表示为： Z Ae
圆盘转动惯量 I k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选
k
I
扭振固有频率
一根半径作为角位移的起点位置。
由牛顿第二定律：
I k 0 & & 2 0 0
《振动力学》
& &
0 k / I
系统的输出
振动
简谐振动 振动量为 时间的正 弦或余弦 函数 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
系统的自由度
振动
两自由 度振动 多自由 度振动 连续系 统振动
单自由 度振动
用一个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
4.1 振动分类及求解步骤
离散系统是具有集中参数元件所组成的系 统，具有有限多个自由度； 连续系统是由连续参数元件组成的系统， 有无限多个自由度。在离散系统中，最简 单的最基本的是单自由度振动系统。
4.1.1 振动的分类
1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡 位置附近所做的往复性机械运动。 有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机 器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、 振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振 子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转， 影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、 精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受 命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。
加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移 ，加 2 加速度的相位超前位移
由式（1）（2）（3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与
2.以旋转矢量表示的简谐振动
式（ 4 ）可写为： x 式中：
2 0
A sin(nt )
2
(5)
x0 A x n
静平衡时：
mg k s 0
k
任意时刻由牛顿第二定律有：
& & m x (t ) k ( s x) m g
上式代入： 引用符号
x(t )
s
弹簧原长位置 静平衡位置
& & m m x kx 0 k n 运动微分方程法计算固有角频率 m
得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：
0 k / I
& &
x
2014年12月14日
《振动力学》
22
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含
着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生 使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭 转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率 降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。
2014年12月14日
21
可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与
直线振动的数学描述完全相同。
如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚 度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。
& & m x kx 0
0 k / m
k
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
k
I
I k 0
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。 单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了， 这种系统称为单自由度系统.
0 k mt m
x
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
单自由度线性系统的 微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。 线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。
& & & x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
角振动：
例：圆盘转动
单自由度线性系统的微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微 分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反 映的是振动系统本身的自然特性，右边是 外加激励，反应系统的输入特性。
5、等效质量
－ 求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元 件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因 此算出的固有频率是实际值的上限; － 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问 题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例 而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效 质量。
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分方程及 其系统特性
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律 能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法： 直线振动：
x(t )
Fs (t )
m
x(t )
F (t )
F (t )
Fd (t )
& & m x (t ) F (t ) Fs (t ) Fd (t )
弹簧原长位置
0 k / m
k
m
0
静平衡位置
k
I
0 k / I
x
4.3.2 振动系统的线性化处理
利用泰勒级数展开作线性化处理。
4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动
1、自由振动微分方程及其解 & & & & & m x (t ) kx(t ) 0 m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
i (t ) x A sin(t ) Im Ae
(8)
在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其 虚部.
等效质量和等效刚度
建立系统的力学模型，就要确定系统的等效质量和等效刚度。 等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在
用两个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用多个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用无限多 个自由度 才能确定 的系统用 振动
描述系统的微分方程
振动
线性振动 非线性振动
用线性微分方程来描 述振动
用非线性微分方程来 描述振动
4.1.2 振动问题的求解步骤
1、建立振动系统的力学模型； m-c-k系统。 2、建立振动系统的数学模型； 建立运动微分方程。用牛 顿第二定律和拉格朗日方程。 3、求解运动微分方程。用解析法。
n
v0
（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出 线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软， 则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹 簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。 k n
m
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
机械系统动力学
Dynamics of Mechanical System
太原科技大学：宁少慧
第4章 单自由度系统振动
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
振动分类及求解步骤 振动系统模型及其简化 单自由度系统的自由振动 谐波激励下的强迫振动 周期性激励下的强迫振动 任意激励下的强迫振动 单自由度系统振动的应用
此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效刚度。 等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要 在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标 上的等效质量 。
2014年12月14日 《振动力学》 34
4、等效刚度 刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。
Fx K x
一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭 转刚度。
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
Βιβλιοθήκη Baidu
求解该方程
x C1 cos nt
或
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
(1)
x C2 sin nt 代入式（1）均满中该方程
无阻尼系统的固 有角频率rad/s
为两个任意常数，则通解可写为：
x(t ) A1 cosnt A2 sin nt A sin(nt ) A A A
2 1 2 2
A1 arctan A 2
(2)
系统固有圆频率，单位是1/s
k n m
振动固有周期单位是s
1 m T 2 f k
振动固有频率单位是Hz
f
n 1 2 2
k m
零时刻的初始条件：
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
例1 锻锤模型
锤体
砧座 弹性垫阻尼 基础 土壤阻尼 砧座和基础 土壤阻尼 土壤刚度
x1 弹性垫刚度 x2 土壤刚度
锤体
x1
4.2.2 单自由度系统模型的简化
例1 简化机床的力学模型： 机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基 础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大 的弹性变形，当弹簧来处理。 基础和机床
杆长l 截面积A 截面惯性矩I 截面极惯性矩IP 材料弹性模量E 切变模量G
拉压刚度
弯曲刚度
扭转刚度
结论：机械系统中同一元件、同 一点，根据所要研究的振动方向 不同，会出现不同的刚度。
组合刚度 例：串联系统
在质量块上施加力 P
P 弹簧1变形： 1 k1
k1 k2
m
弹簧2变形： 2
4.1 振动分类及求解步骤
2、分类 系统的输入 系统的输出 系统的自由度 描述系统的微分方程
系统的输入
振动
强迫振动 自激振动 参数振动
自由振动
在特定的 初始位移 和初始速 度下产生 的振动
系统在给 定的外界 激励作用 下的振动
激励受系 统振动本 身控制的 振动
通过改变 系统的物 理特性参 数实现振 动
P k2
1 1 总变形： 1 2 ( ) P k1 k 2
k1k2 根据定义：K e k1 k2
1 1 1 K e k1 k2
P
P
1 1 1 keq k1 k2
《振动力学》
1 kn
39
例：并联系统
k1
在质量块上施加力 P
k2
m
两弹簧变形量相等：
受力不等：P 1 k1
P2 k 2
P
由力平衡： P P 1P 2 (k1 k2 ) 根据定义： K e
P
k1 k 2
keq k1 k2
kn
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
40
例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度 其中：AB是具有铝心的钢轴； BC是固体钢轴； DE是固体铝轴。
& x ( 0 ) v0
x(t ) x0 cos(nt )
2
sin( nt ) A sin( t ) 0 n
2
v0
v0 A x0 n
tg
1
x0n v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t ) Asin(nt ) （2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条 2 件。 1 x0n v0 2 tg A x0
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率； 2、求解标准方程。
3.简谐振动的表示法
1.三角函数 x A sin(nt )
（1） （2） （3）
v x n A sin(nt ) 2
2 a x n Asin(nt )
例2 电机和梁组成的振动系统的力学模型。 电机质量简化为m，忽略梁质量，梁的弹 性简化为k，忽略电机的弹性。
4.3 单自由度系统的自由振动
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分 方程及其系统特性 4.3.2 振动系统的线性化处理 4.3.3 单自由度无阻尼系统的自由振动 4.3.4 固有频率的计算方法 4.3.5 有阻尼系统的自由振动
x0 arctan n x0
简谐运动可用模为 A的旋转矢量在坐标轴 x上的投影来表示。
3.以复数表示的简谐振动
模为A的矢量OP旋转，其复数表示为
Z Acos(nt ) i sin(nt ) (6)
根据欧拉公式
ei cos i sin i (t ) (7) 式（6）可表示为： Z Ae
圆盘转动惯量 I k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选
k
I
扭振固有频率
一根半径作为角位移的起点位置。
由牛顿第二定律：
I k 0 & & 2 0 0
《振动力学》
& &
0 k / I
系统的输出
振动
简谐振动 振动量为 时间的正 弦或余弦 函数 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
系统的自由度
振动
两自由 度振动 多自由 度振动 连续系 统振动
单自由 度振动
用一个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
4.1 振动分类及求解步骤
离散系统是具有集中参数元件所组成的系 统，具有有限多个自由度； 连续系统是由连续参数元件组成的系统， 有无限多个自由度。在离散系统中，最简 单的最基本的是单自由度振动系统。
4.1.1 振动的分类
1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡 位置附近所做的往复性机械运动。 有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机 器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、 振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振 子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转， 影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、 精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受 命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。
加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移 ，加 2 加速度的相位超前位移
由式（1）（2）（3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与
2.以旋转矢量表示的简谐振动
式（ 4 ）可写为： x 式中：
2 0
A sin(nt )
2
(5)
x0 A x n
静平衡时：
mg k s 0
k
任意时刻由牛顿第二定律有：
& & m x (t ) k ( s x) m g
上式代入： 引用符号
x(t )
s
弹簧原长位置 静平衡位置
& & m m x kx 0 k n 运动微分方程法计算固有角频率 m
得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：
0 k / I
& &
x
2014年12月14日
《振动力学》
22
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含
着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生 使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭 转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率 降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。
2014年12月14日
21
可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与
直线振动的数学描述完全相同。
如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚 度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。
& & m x kx 0
0 k / m
k
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
k
I
I k 0
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。 单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了， 这种系统称为单自由度系统.
0 k mt m
x
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
单自由度线性系统的 微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。 线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。
& & & x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
角振动：
例：圆盘转动
单自由度线性系统的微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微 分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反 映的是振动系统本身的自然特性，右边是 外加激励，反应系统的输入特性。
5、等效质量
－ 求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元 件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因 此算出的固有频率是实际值的上限; － 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问 题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例 而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效 质量。
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分方程及 其系统特性
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律 能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法： 直线振动：
x(t )
Fs (t )
m
x(t )
F (t )
F (t )
Fd (t )
& & m x (t ) F (t ) Fs (t ) Fd (t )
弹簧原长位置
0 k / m
k
m
0
静平衡位置
k
I
0 k / I
x
4.3.2 振动系统的线性化处理
利用泰勒级数展开作线性化处理。
4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动
1、自由振动微分方程及其解 & & & & & m x (t ) kx(t ) 0 m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )