第四章单自由度系统振动
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结构动力学4
瞬态反应和稳态反应 稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
p0 1 u (t ) sin t 2 k 1 ( / n )
u0—稳态反应的振幅：
p0 1 u0 k 1 ( / n ) 2
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
p0 u st k
u0 1 Rd 2 u st 1 ( / n )
(1) 当
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
时， ( Rd ) max
1 2 1 2 1 。 2
, (
) 峰值 1 2 2 。 n
(3) 当 / n 1 （共振时） ， Rd (4) 当 / n
2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t ) e
nt
( A cos Dt B sin Dt )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) C sin t D cost
p0 2 n u n u u sin t m
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
u c (t ) A cos n t B sin n t
n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
ku p0 sin t mu
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) C sin t D cost
待定系数A、B由初值条件确定
A u (0) (0) p0 / n u B 2 n k 1 ( / n )
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
p0 1 u (t ) sin t 2 k 1 ( / n )
u0—稳态反应的振幅：
p0 1 u0 k 1 ( / n ) 2
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
p0 u st k
u0 1 Rd 2 u st 1 ( / n )
(1) 当
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
时， ( Rd ) max
1 2 1 2 1 。 2
, (
) 峰值 1 2 2 。 n
(3) 当 / n 1 （共振时） ， Rd (4) 当 / n
2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t ) e
nt
( A cos Dt B sin Dt )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) C sin t D cost
p0 2 n u n u u sin t m
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
u c (t ) A cos n t B sin n t
n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
ku p0 sin t mu
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) C sin t D cost
待定系数A、B由初值条件确定
A u (0) (0) p0 / n u B 2 n k 1 ( / n )
单自由度系统自由振动
取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴顺弹簧 变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置 时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微 分方程为
mx mg k ( st x)
mx kx
k 固有圆频率 令 ： 0 m 无阻尼自由振动微分方程 2018年9 月4日
周期 T 2
0
; 则
1 0 2 2f T
f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz
0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2秒内振动
2018年9月4日 《振动力学》
的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
8
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。
2018年9月4日 《振动力学》
3
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
2018年9月4日 《振动力学》
c1 A sin ,
c2 A cos
x t A sin 0 t
2018年9月4日 《振动力学》
无阻尼自由振动是简谐振动.
7
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
1.2 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 ( t T ) 0t 2
振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由
02单自由度系统的振动
ka2 2 0 ml
ka 2 ( o ) mgl ml 2
k o a a mgl 0
l
mg
A
知识要点: 线弹性 恢复力作用下单自由度无阻尼自由振动微分方程是： 2 n x x0
(1) 振动方程的解为:
nt x A sin
如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平 衡或力矩平衡时, 以静平衡位置作为坐标原点而建立 的振动方程中不会出现重力项.
2 n 2. 方程 x x 0 的解
用特征根法 方程的解
2 2 n 0
in
A1
2 A12 A2
x A1 cos n t A2 si n n t
16/96
注意: 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用(如重力)，该常 力只影响静平衡点o的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频 率、振幅和相位等。所以, 以静平衡点为坐标原点的振动方程是标 准方程.
k
k
a
O
a
st
O
O
l
mg A l
k A
mg
x k x0 m
A
x
ka2 2 0 ml
(3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数 . (如: m、 k、J 等 )。 此外, 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力
只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动
频率、振幅和相位等。
10/96
例1. 一弹簧振子的物块重量为P, 已知在静力平衡时, 弹簧的伸 长为st . 试写出系统的振动方程.
2 x0
2 n
2 0 x
ka 2 ( o ) mgl ml 2
k o a a mgl 0
l
mg
A
知识要点: 线弹性 恢复力作用下单自由度无阻尼自由振动微分方程是： 2 n x x0
(1) 振动方程的解为:
nt x A sin
如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平 衡或力矩平衡时, 以静平衡位置作为坐标原点而建立 的振动方程中不会出现重力项.
2 n 2. 方程 x x 0 的解
用特征根法 方程的解
2 2 n 0
in
A1
2 A12 A2
x A1 cos n t A2 si n n t
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注意: 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用(如重力)，该常 力只影响静平衡点o的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频 率、振幅和相位等。所以, 以静平衡点为坐标原点的振动方程是标 准方程.
k
k
a
O
a
st
O
O
l
mg A l
k A
mg
x k x0 m
A
x
ka2 2 0 ml
(3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数 . (如: m、 k、J 等 )。 此外, 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力
只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动
频率、振幅和相位等。
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例1. 一弹簧振子的物块重量为P, 已知在静力平衡时, 弹簧的伸 长为st . 试写出系统的振动方程.
2 x0
2 n
2 0 x
单自由度系统的自由振动
固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统振动理论及应用
这是单自由度系统最简单的振动方程,接下来将研究它的解.
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２.２
无阻尼单自由度系统的自由振动
所谓无阻尼自由振动,是指振动系统受到初始扰动(激励)以后即不再受外
力作用,也不受阻尼的影响所做的振动.
图２-３所示为单自由度系统的自由振动,设振动体的质量为m,它所受的
重力为W ,弹簧刚度为k.弹簧挂上质量块后的静变形为δj,此时系统处于
、弹簧和阻尼器三个基本元件,在质量块上作用有随时间变化的外力.质
量块、弹簧和阻尼器分别描述系统的惯性、弹性和耗能.一个单自由度系
统模型是对实际振动系统的高度抽象和概括.例如,升降机吊篮、列车的
一节车厢、高楼的一层、弹性体上的一点在某一方向振动都可简化为该
模型.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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２.１
单自由度系统振动微分方程
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
5. 2. 2静态显示电路的结构及原理
在单片机应用系统中，LED显示器常用的显示方式有静态显示和动态显
示两种。
静态显示是指LED显示器显示某一字符时，相应段的发光二极管处于恒
定导通或截止状态，直至需要显示下一个字符为止。静态显示又分为并
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[任务5.4]步进电机控制
5. 4. 1概述
步进电机是机电控制中一种常用的执行机构，它的用途是将电脉冲转化
为角位移，通俗地说:当步进驱动器接收到一个脉冲信号，它就驱动步进
字形代码比如，对于共阴LED显示器，当公共阴极接地(为低电平)，而
阳极dp, g, f, e, d, c, b, a各段分别为01110110时，显示器显示“H”
同济大学机械振动机械振动分析讲义-单自由度系统振动分析-上课
3. 典型单自由度振动系统：任何形式的单自由度振动系统都可以转 化到的一种标准形式。
2013-09-24
单自由度振动分析
4
2
单自由度振动系统
2013-09-24
单自由度振动分析
5
基本要素
典型单自由度振动系统包括四个基本要素：
• 等效质量 • 等效刚度 • 等效阻尼
me ke
m
k
ce
• 等效外界激振力
无阻尼自由振动形式
单自由度振动分析
23
固有振动特性
x (t )
系统固有(圆)频率
n
k m
kx 0 m x
2013-09-24
2 n x x0
单自由度振动分析 24
12
系统固有频率的求法
系统固有频率
n
k m k mg / g m m
n 1 2 2
2
me m2 m1
2 l2 l12
单自由度振动分析
15
分析实例
k1 l3 l1
P x 1
等效刚度（定义法）：
M Pl
1
k 2l1 k1
l3 l3 0 l1
l32 l12
x
l3 l3 l1 l1
k2 x k2
k e P k 2 k1
等效刚度（能量法）：
2013-09-24 单自由度振动分析 9
等效质量的确定
1. 等效质量 me的确定方法 • 定义法：使系统在选定的独立坐标上产生单位加速度时，而需要在该坐标上施加
的作用力，称为系统对应于该坐标的等效质量。
• 能量法：按照选定的独立坐标将系统的动能综合归纳为 T
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出 发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，
Tmax Umax 响应为同步振动。系统的动能可表示为：
T 1 X&T MX& 2
系统的势能
U 1 X T KX 2
设 X {ui}sin nit
带入得最大动能
Tmax
2 ni 2
2k 2m k
=0
k k 22m
即： (2k 2m)(k 22m) k 2=0
可得固有频率
12
=0.2192
k m
22
=2.2808
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
{ui }T
M {ui}
最大势能
U max
1 2
{ui
}T
K{ui }
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
带入公式 Tmax Umax 得：
2 ni
{ui}T K{ui} {ui}T M{ui}
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前
K{u2} M {u2}
=
{1
1} k
1}
m 0
k
1
0 1 2m 1
5k 3m
1.667
k m
与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差 1.35%
二阶固有频率的相对计算误差 -26.92%
第四章单自由度系统振动分解PPT课件
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律
能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法：
直线振动：
x(t)
Fs (t)
F (t )
Fd (t)
x(t)
m
F (t )
&& m x (t) F (t) Fs (t) Fd (t)
单自由度线性系统的微分方程：
&& & m x (t) cx(t) kx(t) F (t)
)
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t) Asin(nt )
（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条
件。
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
➢ 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。
单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，
这种系统称为单自由度系统.
0
x
k mt
m
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
动
➢系统的输出
振动
简谐振动 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量为 时间的正 弦或余弦
函数
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法：
直线振动：
x(t)
Fs (t)
F (t )
Fd (t)
x(t)
m
F (t )
&& m x (t) F (t) Fs (t) Fd (t)
单自由度线性系统的微分方程：
&& & m x (t) cx(t) kx(t) F (t)
)
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t) Asin(nt )
（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条
件。
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
➢ 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。
单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，
这种系统称为单自由度系统.
0
x
k mt
m
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
动
➢系统的输出
振动
简谐振动 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量为 时间的正 弦或余弦
函数
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
单自由度系统振动
齿轮减（变）速器：轴——齿轮的扭转振动 汽轮机、发电机：转子不平衡引起的扭转振动
讨论：请列举其他单自由度振动的实际例子（工程中、家用设备、相关课程中涉及到的）
1.2 单自由度系统振动
单自由度振动系统类型：
1.无阻尼自由振动 2.有阻尼自由振动 3.有阻尼受迫振动 4.MATLAB数值仿真
动拉力与静拉力之比为动力放大系数
Fmax 64268 3.2134 G 20000
结论：当紧急制动时，起重机钢丝绳中的动拉力是正常提升时的3.2134倍
2.有阻尼自由振动解
单自由度有阻尼系统振动方程为：
cx kx 0 m x
其通解为： x e
n
n t
通解为： x Ae nt sin( 1 2 n t )
ξ>1时，称为强阻尼状态
2 1 ) n t
通解为： x c1e (
c2 e (
2 1 ) n t
ξ=1时，称为临界阻尼状态
n
V0 ( 2 1)n x0 c1 2n 2 1 V0 ( 2 1)n x0 c2 2n 2 1
1.无阻尼自由振动解
单自由度无阻尼系统振动方程为：
kx 0 m x 方程的通解为： x a sin n t b cos n t
k k 令 n 则固有频率为 n m m x 0 V0 若振动的初始条件： xt 0 x0 x
2
则其解为： x sin n t x0 cos n t
钢丝绳长度为 l 16m ，钢丝绳弹性模量 E 1.78105 MPa
机械振动基础-单自由度系统振动
u(t ) C1u1 (t ) C2u2 (t ) C1 , C2
也是方程(1)的解。
为任意常数。
问题：
u(t ) C1u1 (t ) C2u2 (t ) 是齐次方程的通解么
?
机械振动基础
2014年7月14日11时7分
9
航空工程系
补充知识：二阶常系数线性微分方程的解
定理2（通解的结构定理）： 若 u1 (t ), u2 (t ) 是齐次方程(1)的 两个线性无关的特解，则
(mx) x (kx) x 0
由于 x 0，则有：
mx kx 0
此处，综合应用了达朗 贝尔原理和虚位移原理
2014年7月14日11时7分
22
航空工程系
机械振动基础
1.2.0 用其它方法建立系统的运动微分方程
3.能量守恒定律 物体在力场中运动，作用于物体的力所做 的功只和力作用点的初始位置好终了位置 有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力 场称为势力场（保守力场）。在势力场中 国，物体受到的力称为有势力（保守力） 。如：重力、弹性力、万有引力
2014年7月14日11时7分
5
航空工程系
机械振动基础
补充知识：微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,
或
,y )0
( n)
y
(n)
f ( x, y, y,
2014年7月14日11时7分
21
航空工程系
机械振动基础
1.2.0 用其它方法建立系统的运动微分方程 如图所示弹簧-质量系统。在运动过程中， 当质量块有一虚位移 x 时，弹簧力所做的 虚功为：Ws (kx) x ，惯性力所做的虚功 Wi (mx) x 。根据虚位移原理有： 为：
第四章 单自由度机械系统动力学
摩擦力:由运动副表面摩擦产生的有害阻力， 摩擦力 由运动副表面摩擦产生的有害阻力，作负功 ； 由运动副表面摩擦产生的有害阻力 一些效率较低的机构则应计入摩擦力的影响 在动力分析中主要涉及的力是驱动力和生产阻力
常见的生产阻力有： 常见的生产阻力有： 生产阻力为常数：如起重机的起吊重量； 生产阻力为常数：如起重机的起吊重量； 生产阻力随位移而变化： 生产阻力随位移而变化：如往复式压缩机中活塞上 作用的阻力； 作用的阻力； 生产阻力随速度而变化:如鼓风机 离心泵的生产阻力 生产阻力随速度而变化 如鼓风机,离心泵的生产阻力； 如鼓风机 离心泵的生产阻力； 生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。 生产阻力随时间而变化：如揉面机的生产阻力。 驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况： 驱动力与发动机的机械特性有关，有如下几种情况： 驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况； 驱动力是常数：如以重锤作为驱动装置的情况； 驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时， 驱动力是位移的函数：如用弹簧作驱动件时，驱动力 与变形成正比； 驱动力是速度的函数：如一般电动机，机械特性均表 驱动力是速度的函数：如一般电动机， 示为输出力矩随角速度变化的曲线。 示为输出力矩随角速度变化的曲线。
??d2deeeeejjjmjt???引入变换dd???dd??ddddtt????21????d??2deee?mjj??令21????2??eee?mjfj??则d????df?可利用龙格库塔法求解求出各值下的3加平衡机构法用加齿轮机构的方法平衡惯性力时平衡效果好但采用平衡机构将使结构复杂机构尺寸加大这是此方法的缺点
4.2单自由度系统等效力学模型 单自由度系统等效力学模型 对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究， 对单自由度系统，可以采用等效力学模型来研究，将系统 的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。 的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题。 过程如下： 取做直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统 过程如下： 取做直线运动的构件作为等效构件时， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的 （1）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件； ）选取等效构件，通常选主动构件为等效构件； 全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量 （2）计算等效力，根据做功相等的原则进行； ）计算等效力，根据做功相等的原则进行； （3）计算等效质量，根据动能相等的原则，将各个 ）计算等效质量，根据动能相等的原则， 构件向等效构件进行等效； 构件向等效构件进行等效； 取做定轴转到的构件作为等效构件时， 取做定轴转到的构件作为等效构件时，作用于系统 （4）对等效构件列运动方程； ）对等效构件列运动方程； 上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩， 上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统 5）解方程。 （的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转 ）解方程。 动惯量
单自由度系统的自由振动
思考与练习
应用matlab或excel软件绘制自由振动曲线
xt e
nt
0 n x0 x 2 2 x cos 1 t sin 1 t 0 n n 2 1 n
10 已知 n 100, 0.01, x0 0, x
运动微分方程的解
周期 T
2 m 2 n k
1 1 T 2 k m
频率 f
振动系统质量越大，弹簧刚度越小，则系统固有频率越 低，周期越长。反之结论亦成立。在连续系统中，刚度、质 量体现在材料方面。
运动微分方程的解
单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，统称 为谐波函数表示，故称为简谐振动，这种系统又被称为谐振 子。 自由振动的角频率即系统的自然频率，仅由系统本身的参数 所确定，而与外界激励、初始条件等均无关。这说明自由振 动显示了系统内在的特性。 无阻尼自由振动的周期即线性系统自由振动的周期也仅由其 本身的参数决定，而与初始条件及振幅的大小无关。这种现 象称为谐振子振动的“等时性”。 自由振动的幅值和初相角由初始条件所确定。 单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统 一旦受到初始激励就将按振幅始终振动下去，这显然是一种 理想情况。
能量守恒原理
T
d T U 0 dt
1 2 mx 2
U
1 2 kx 2
kx 0 m x
铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程
W mg k st
k x st W m x
kx 0 m x
当质量块在竖直方向上运动时，如果以静平衡位置为坐标 原点，在列质量块的运动微分方程时就不用考虑重力。
第4章：单自由度系统的振动
兰州理工大学李有堂编著机械系统动力学第四章单自由度系统的振动4.1 振动分类及求解步骤一、振动及其分类✓机械振动：简称振动，是在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性机械运动。
✓机械振动是最典型的一类动力学问题，是工程实际中常见的物理现象。
✓振动现象多种多样，既有有利的性质，也有有害的性质。
研究机械振动问题，就是要采取适当的措施防止振动有害的一面，应用有利的一面。
✓分类方式：输入、输出、系统自由度和系统方程性质按系统的输入(激励)✓自由振动：系统受到初始激励作用，也就是在特定的初始位移和初始速度下产生的振动。
✓ 强迫振动：系统在给定的外界激励作用下的振动。
✓自激振动：激励受系统振动本身控制的振动。
在适当的反馈作用下，系统将自动地激起定幅的振动。
✓参数振动：激励方式是通过改变系统的物理特性参数而实现的振动。
振动自由振动强迫振动自激振动参数振动(Parametric vibrations)(Self-excited vibrations)(Forced vibrations)(Free vibrations)按系统的输出(响应)✓ 谐波振动：振动量为时间的正弦或余弦函数，即谐波函数。
✓周期性振动：振动量为时间的周期函数。
✓瞬态振动：振动量为时间的非周期函数，通常只在一定时间内存在。
✓随机振动：振动量为时间的随机性函数，不能预测而只能用概率方法来研究。
振动简谐振动周期性振动瞬态振动随机振动(Simple harmonic vibrations)(Periodic vibrations)(Transient vibrations)(Random vibrations)按系统的自由度✓单自由度系统的振动：用一个独立广义坐标就能确定的系统振动。
✓两自由度系统的振动：用两个独立广义坐标能确定的系统振动。
✓多自由度系统的振动：用多个独立广义坐标才能确定的系统振动。
✓连续系统的振动：须用无限多个自由度才能确定的系统振动。
振动力学 单自由度系统自由振动
l/2
3
m h
0
l/2
静平衡位置
m gl 由材料力学 ： 48EJ
自由振动频率为 ： 0
2016年4月26日 《振动力学》
x
g
48EJ m l3
16
单自由度系统自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
m h
0 2gh x
则自由振动振幅为 ：
x 0 A x0 0
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
k 0 I 2 0
0
扭振固有频率
0 k / I
18
2016年4月26日 《振动力学》
单自由度系统自由振动 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则 弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧 质量系统是广义的
初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能
2016年4月26日 《振动力学》
x0
0
A
0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t ) x0 cos(0t )
0
0 x
sin( 0t ) A sin( 0t )
在静平衡位置： 则有：
k 0 m
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
m g k
k
x
k g 0 m
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该 式计算是较为方便的
3
m h
0
l/2
静平衡位置
m gl 由材料力学 ： 48EJ
自由振动频率为 ： 0
2016年4月26日 《振动力学》
x
g
48EJ m l3
16
单自由度系统自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
m h
0 2gh x
则自由振动振幅为 ：
x 0 A x0 0
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
k 0 I 2 0
0
扭振固有频率
0 k / I
18
2016年4月26日 《振动力学》
单自由度系统自由振动 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则 弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧 质量系统是广义的
初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能
2016年4月26日 《振动力学》
x0
0
A
0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t ) x0 cos(0t )
0
0 x
sin( 0t ) A sin( 0t )
在静平衡位置： 则有：
k 0 m
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
m g k
k
x
k g 0 m
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该 式计算是较为方便的
机械动力学-单自由度系统的振动
Machinery Dynamics
机械动力学
Raymond Ding ©
2 无阻尼自由振动 Free Vibration without Damping
A 运动方程及其求解
k
m cx kx 0 x c 0
n x 0 x
2
m kx 0 x
x A sin( n t )
机械动力学
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单自由度机械系统的振动 Chapter 6 Vibration of Mechanical System with Single DOF
Machinery Dynamics
机械动力学
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1
单自由度系统的振动模型
2
无阻尼自由振动
3 4 5
E 系统固有频率的求法
( M m ) g R k st 2 R
F k ( st 2 x ) M m 2
1 2 MR
2
st
M m 2k
g
g 2 kx
x R
L A ( M m ) xR J ( M m ) xR
m
A
( F ) ( M m ) gR F 2 R 4 kxR
2 2
能量法
E k m ax E p m ax
从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振
动系统的固有频率是更为简便的一种方法
Machinery Dynamics
机械动力学
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2 无阻尼自由振动 Free Vibration without Damping
E 系统固有频率的求法 能量法算例
机械动力学
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2 无阻尼自由振动 Free Vibration without Damping
A 运动方程及其求解
k
m cx kx 0 x c 0
n x 0 x
2
m kx 0 x
x A sin( n t )
机械动力学
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单自由度机械系统的振动 Chapter 6 Vibration of Mechanical System with Single DOF
Machinery Dynamics
机械动力学
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1
单自由度系统的振动模型
2
无阻尼自由振动
3 4 5
E 系统固有频率的求法
( M m ) g R k st 2 R
F k ( st 2 x ) M m 2
1 2 MR
2
st
M m 2k
g
g 2 kx
x R
L A ( M m ) xR J ( M m ) xR
m
A
( F ) ( M m ) gR F 2 R 4 kxR
2 2
能量法
E k m ax E p m ax
从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振
动系统的固有频率是更为简便的一种方法
Machinery Dynamics
机械动力学
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2 无阻尼自由振动 Free Vibration without Damping
E 系统固有频率的求法 能量法算例
4 单自由度系统的自由振动
g 1 f 2π st
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
st
mgl 3 48EI
1 f 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
1.1 无阻尼系统的自由振动
1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn
kb 2 IB
1.3 瑞利法 利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能， 仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。 应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。 对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位 移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截 面的静变形一样。 根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。 依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
st
mgl 3 48EI
1 f 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
1.1 无阻尼系统的自由振动
1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn
kb 2 IB
1.3 瑞利法 利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能， 仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。 应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。 对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位 移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截 面的静变形一样。 根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。 依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
单自由度系统振动
（弹簧质量系统的固有频率和自激振动、自由振动、受迫震动）一、实验目的通过单自由度振动系统的弹簧刚度，掌握固有频率n??与振动质量m和系统弹簧刚度k 之间的一个极为重要的关系mk??n??。
演示自激振动现象及其与自由振动和强迫振动的区别。
因为平时人们往往常遇见或能理解的自由振动和强迫振动的现象比较多，如单摆的振动、汽车的振动、电机由于转子不平衡引起的振动等等。
但自激振动的现象又很难被人们所认识，如比较典型的自激振动有钟表、电铃等。
前者的摆轮和后者的摆锤的振动容易被理解是强迫振动。
因此，我们把演示自激振动作为理论力学一个实验从反面让学生搞清自激振动和强迫振动的概念。
二、实验原理（一）单自由度线性系统的自由振动由一个质量块及弹簧的系统，在受到初干扰（初位移或初速度）后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近所作的振动称为自由振动。
其运动微分方程为：0kxxm（无阻尼）其解为：sinntA 其中：2n2020??vxA，00narctanvx （二）单自由度线性系统的强迫振动在随时间周期性变化的外力作用下，系统作持续振动称为强迫振动，该外力称为干扰力。
其振动微分方程为thxxnxmsin22n（有阻尼）方程全解为：sinsin220BtnAext 强迫振动的振幅B可以表示为2020220041 nBB 式中：kHhB200?? 称为静力偏移，表示系统在干扰力的幅值H 的静力作用下的偏移。
（三）自激振动的基本特性：自激振动是一种比较特殊的现象。
它不同于强迫振动，因为其没有固定周期性交变的能量输入，而且自激振动的频率基本上取决于系统的固有特性。
它也不同于自由振动，因为它并不随时间增大而衰减，系统振动时，维持振动的能量不象自由振动时一次输入，而是象强迫振动那样持续地输入。
但这一能源并不象强迫振动时通过周期性的作用对系统输入能量，而是对系统产生一个持续的作用，这个非周期性作用只有通过系统本身的振动才能不断输入振动才能变为周期性的作用，也只用成为周期性作用后，能量才能不断输入振动?低常 佣 窒低车淖约ふ穸 Ｒ虼耍 肭科日穸 囊桓鲋匾 鹪谟谙低趁挥谐跏荚硕 筒换嵋 鹱约ふ穸 科日穸 虿蝗弧?三、实验项目：（一）.求单自由度系统的振动频率已知：高压输电模型的质量kgm138.0??，砝码规格分别为100克和200克。
单自由度系统自由振动课件-精
m h
0
l/2
x
静平衡位置
11
无阻尼自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律： I k 0 02 0
扭振固有频率
0 k / I
12
无阻尼自由振动
• 特征方程：
2 02 0 i0
• 方程有两个复数解 ：
ei0t cos0tisin0t
ei0t cos0tisin0t
• 通解：
x(t) c1cos(0t)c2 sin(0t)
Asin(0t )
A c12 c22
tan 1 c1
c2
ω0称为固有圆频率，固有频率 f= ω0 /2π ， A称为振幅，φ称为 相位。
x
k
0 k( x)dx
（重力势能）
（弹性势能）
V
mgx
13
无阻尼自由振动
▪ 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹 性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质 量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大
5
无阻尼自由振动
设 t 的位移和速度为：
x( ) x
x( ) x
带入通解式可以得到 ：
x Asin(0 ),x A0 cos(0 )
求解可得 ：
A
x
2
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单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率； 2、求解标准方程。
3.简谐振动的表示法
1.三角函数 x A sin(nt )
（1） （2） （3）
v x n A sin(nt ) 2
2 a x n Asin(nt )
单自由度线性系统的 微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。 线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。
& & & x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
角振动：
例：圆盘转动
机械系统动力学
Dynamics of Mechanical System
太原科技大学：宁少慧
第4章 单自由度系统振动
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
振动分类及求解步骤 振动系统模型及其简化 单自由度系统的自由振动 谐波激励下的强迫振动 周期性激励下的强迫振动 任意激励下的强迫振动 单自由度系统振动的应用
圆盘转动惯量 I k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选
k
I
扭振固有频率
一根半径作为角位移的起点位置。
由牛顿第二定律：
I k 0 & & 2 0 0
《振动力学》
& &
0 k / I
& x ( 0 ) v0
x(t ) x0 cos(nt )
2
sin( nt ) A sin( t ) 0 n
2
v0
v0 A x0 n
tg
1
x0n v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t ) Asin(nt ) （2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条 2 件。 1 x0n v0 2 tg A x0
静平衡时：
mg k s 0
k
任意时刻由牛顿第二定律有：
& & m x (t ) k ( s x) m g
上式代入： 引用符号
x(t )
s
弹簧原长位置 静平衡位置
& & m m x kx 0 k n 运动微分方程法计算固有角频率 m
得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：
5、等效质量
－ 求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元 件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因 此算出的固有频率是实际值的上限; － 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问 题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例 而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效 质量。
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
求解该方程
x C1 cos nt
或
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
(1)
x C2 sin nt 代入式（1）均满中该方程
无阻尼系统的固 有角频率rad/s
为两个任意常数，则通解可写为：
x(t ) A1 cosnt A2 sin nt A sin(nt ) A A A
4.1 振动分类及求解步骤
离散系统是具有集中参数元件所组成的系 统，具有有限多个自由度； 连续系统是由连续参数元件组成的系统， 有无限多个自由度。在离散系统中，最简 单的最基本的是单自由度振动系统。
4.1.1 振动的分类
1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡 位置附近所做的往复性机械运动。 有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机 器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、 振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振 子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转， 影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、 精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受 命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。
2014年12月14日
21
可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与
直线振动的数学描述完全相同。
如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚 度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。
& & m x kx 0
0 k / m
k
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
k
I
I k 0
例1 锻锤模型
锤体
砧座 弹性垫阻尼 基础 土壤阻尼 砧座和基础 土壤阻尼 土壤刚度
x1 弹性垫刚度 x2 土壤刚度
锤体
x1
4.2.2 单自由度系统模型的简化
例1 简化机床的力学模型： 机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基 础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大 的弹性变形，当弹簧来处理。 基础和机床
2 1 2 2
A1 arctan A 2
(2)
系统固有圆频率，单位是1/s
k n m
振动固有周期单位是s
1 m T 2 f k
振动固有频率单位是Hz
f
n 1 2 2
k m
零时刻的初始条件：
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
用两个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用多个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用无限多 个自由度 才能确定 的系统用 振动
描述系统的微分方程
振动
线性振动 非线性振动
用线性微分方程来描 述振动
用非线性微分方程来 描述振动
4.1.2 振动问题的求解步骤
1、建立振动系统的力学模型； m-c-k系统。 2、建立振动系统的数学模型； 建立运动微分方程。用牛 顿第二定律和拉格朗日方程。 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分方程及 其系统特性
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律 能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法： 直线振动：
x(t )
Fs (t )
m
x(t )
F (t )
F (t )
Fd (t )
& & m x (t ) F (t ) Fs (t ) Fd (t )
单自由度线性系统的微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微 分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反 映的是振动系统本身的自然特性，右边是 外加激励，反应系统的输入特性。
受力不等：P 1 k1
P2 k 2
P
由力平衡： P P 1P 2 (k1 k2 ) 根据定义： K e
P
k1 k 2
keq k1 k2
kn
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
40
例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度 其中：AB是具有铝心的钢轴； BC是固体钢轴； DE是固体铝轴。
此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效刚度。 等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要 在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标 上的等效质量 。
2014年12月14日 《振动力学》 34
4、等效刚度 刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。
Fx K x
一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭 转刚度。
4.1 振动分类及求解步骤
2、分类 系统的输入 系统的输出 系统的自由度 描述系统的微分方程
系统的输入
振动
强迫振动 自激振动 参数振动
自由振动
在特定的 初始位移 和初始速 度下产生 的振动
系统在给 定的外界 激励作用 下的振动
激励受系 统振动本 身控制的 振动
通过改变 系统的物 理特性参 数实现振 动
n
v0
（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出 线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软， 则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹 簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。 k n
m
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移 ，加 2 加速度的相位超前位移
由式（1）（2）（3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与
2.以旋转矢量表示的简谐振动
式（ 4 ）可写为： x 式中：
2 0
A sin(nt )
2
(5)
x0 A x n
弹簧原长位置
0 k / m
k
m0Βιβλιοθήκη 静平衡位置kI
0 k / I
x
4.3.2 振动系统的线性化处理
利用泰勒级数展开作线性化处理。
4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动
1、自由振动微分方程及其解 & & & & & m x (t ) kx(t ) 0 m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )