安徽省示范高中2014届高三数学上学期第一次联考试题文(扫描版)新人教A版

省示高中2014届高三数学上学期第一次联考试题文〔扫描版〕新人教A版
2014届省示高中高三第一次联考
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1.B 【解析】2
{|20}A x x x =-≤{|02}x x =，(){|lg 10}B x x =-{}|011x x =<-＝{|12}x x <，所以
A B ={|12}x x <，应选B ．
2.C 【解析】f (0)＝1，f (f (0))＝f (1)＝2－1＝1．应选C ．
3.C 【解析】假设OA OB ⊥，结合图形可知，OA OB AB +==()
2
2
1212+
+=．应选C ．
4.B 【解析】5cos()cos 3παα-=-=
5cos 3α=，又α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴sin α2
1cos α-2
52133⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
．∴sin(π＋α)＝－sin α＝－23．应选B ．
5.D 【解析】圆C 的标准方程为()2214x y ++=，直线l 过定点〔0,1〕，代入()2
214x y ++=，可知直线过圆上的点，所以直线与圆相切或相交．应选D ． 6.D 【解析】函数()y f x c =-与x 轴有两个不同交点，即方程()0f x c -=有两个不同的解，由()f x c =知，()y f x =与y c =有两个不同的交点，结合图形可知[)
()2,0.5 1.1,1.8c ∈--．应选D ．
7.B 【解析】S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝0，又a 4＝1，∴a 5＝－1．∴22b =，又2
5124b b b =，即2
2
324b b =，∴22
322
4b q b ==，
2q =．所以889102222b b q ==⨯=，所以92102log log 29b ==．
8.A 【解析】f (x )的最小正周期54126T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
，故22T πω==．由262ππϕ⨯+=得6πϕ=，由图可知A ＝2．故函数f (x )的解析式为()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
．所以(0)2sin
16
f π
==．应选A ．
9.B 【解析】①样本容量为39186÷
=，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1
(123345)35
+++++=，中位数为3，众数为3，都一样，②是真命题；③56910575x ++++==乙，2s =乙1
5
[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]
＝15
×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 甲2＞s 乙2
，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为4
10＝0.4，⑤是真命题．
10.B 【解析】由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得0
01(0)23a f a a <<⎧⎨=--⎩
，化简得1
03a <． 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11．0【解析】根据程序框图，当1i =时，1S =-；当2i =时，110S =-+=；当3i =时，011S =-=-；当4i =时，110S =-+=；…，即当i 为奇数时S 为－1，当i 为偶数时S 为0，因为2014i ≤所以输出的S 为0．
12.
43π【解析】由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是14
球，其半径为1，下面是半圆柱，底面半圆直径为1，高为2．所以组合体的体积为21414124323
V π
ππ=⨯+⨯⨯⨯=．
13．4【解析】作出可行域如图，是三条直线围成的三角形区域．又2224
x x y
y -=，
作直线20x y -=，向下平移此直线，当过点〔2，0〕时，2x y -取得最大值2，所以2224
x x y y -=的最大值为2
24=．
14．
1
5
【解析】三棱锥中两条相对的棱所在是直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，利用列举法可知有15种取法，∴取到两条棱异面的概率是31
155
=．
15．①②③④【解析】①中由可得四边形ADEF 是菱形，那么,DE GA DE GF '⊥⊥，所以DE ⊥平面A FG '，所以面A FG '⊥面ABC ，①正确；又BC ∥DE ，∴BC ∥平面A DE '；，②正确；当面A DE '⊥面ABC 时，三棱锥A DEF '-的体积达到
最大，最大值为23
1113464
a a ⨯
=，
③正确；由面A FG '⊥面ABC ，可知点A '在面ABC 上的射影在线段AF 上，所以④正确；在旋转过程中DF 与直线A E '始终异面，⑤不正确．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：〔Ⅰ〕()1
()21cos 22
f x x x m =
-++1sin 262x m π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．……………………2分
因为点,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，所以1sin 201262m ππ⎛⎫
⋅-+-= ⎪⎝⎭
，
解得1
2
m =
． ……………………4分 ∴()sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭． 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
-
+
，k Z ∈，得6
3
k x k π
π
ππ-
+
，
∴函数()f x 的单调增区间为,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
． ……………………6分
〔Ⅱ〕1()sin 2236g x x ππ⎛⎫=⨯+-
⎪⎝⎭sin 6x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∵当x B =时，()g x 取得最大值，
2
163161242a c +⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭
．
∴2b ，又4b a c <+=．
∴b 的取值围是[)2,4．……………………12分
17．解：〔Ⅰ〕由茎叶图可知分数在[50,70) 围的有2人，在[110,130)围的有3人， ∴2
0.120
a =
=，b ＝3． ……………………4分 从茎叶图可知分数在[90,150]围的有13人， 所以估计全校数学成绩与格率为
13
6520
=%． ……………………6分 〔Ⅱ〕设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分〞，由茎叶图可知大于等于
110分有5人，记这5人分别为,,,,a b c d e ，……………………7分 那么选取学生的所有可能结果为：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e (,),(,)c d c e ,(,)d e ，根本事件数为10，…………………9分
事件“2名学生的平均得分大于等于130分〞 ，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260〞，所以可能结果为：〔118,142〕，〔128,136〕，〔128,142〕，〔136,142〕，
共4种情况，根本事件数为4，……………………11分 所以42
()105
P A ==． ……………………12分
18．解：〔Ⅰ〕如图可知五面体是四棱锥11A BCC B -，∵侧面11BCC B 垂直于底面ABC ， ∴正三角形ABC
的高h =11A BCC B -的高， 又2AB =
，1BB = 于是1
1
1
113A BCC B BCC B V S h -=
⨯四棱锥
矩形1
243
=⨯=．…………………4分 〔Ⅱ〕当点D 为AC 中点时，1AB ∥平面1BDC ．
证明：连结11B C BC O 交于，连结DO ，∵四边形11B BCC 是矩形， ∴O 为C B 1中点，
∵1AB ∥平面1BDC ，平面1ACB 平面1BDC ＝DO ，
∴DO ∥AB 1，∴D 为AC 的中点． ……………………8分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知当1AB ∥平面1BDC 时，D 为AC 的中点． ∵△ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ， 由CC 1⊥平面ABC ，∴1BD CC ⊥， 又1AC
CC C =，∴BD ⊥平面11ACC A ，
又BD ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面11ACC A ． ……………………12分
19.解：〔Ⅰ〕当0x <时，0x ->，那么()12
()log f x x -=-，……………………2分
∵函数()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， ……………………4分
∴函数()f x 是偶函数的解析式为()1212
log ,0
()0,0log ,0x x f x x x x >⎧⎪⎪
==⎨⎪-<⎪⎩……………………6分
〔Ⅱ〕∵12
(4)log 42f ==-，……………………7分
∵()f x 是偶函数，∴不等式2(1)2f x ->-可化为2
(|1|)(4)f x f ->，
……………………9分
又∵函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，∴2
|1|4x -<
，解得：x <<
A 1
B 1
C 1
C
B
A
A 1
B 1
C 1
O
D C B
A
即不等式的解集为(……………………12分
20．解：〔Ⅰ〕 1120n n n a S S +++=，∴1120n n n n S S S S ++-+=，……………………2分 即112n n n n S S S S ++-=，
111
2n n
S S +-=， ∴数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． ……………………4分 由上知数列1n S ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以2为公差的等差数列，首项为11
1S =，……………………5分 ∴
1
12(1)21n
n n S =+-=-，∴121n S n =
-．……………………7分 ∴()()
1112
21232123n n n a S S n n n n -=-=
-=-----． 〔或由1120n n n a S S +++=得()()
1112
2221232123n n n a S S n n n n +=-=-⨯⨯=-----〕 由题知，11a =
综上，),2(,)32)(12(2
)
1(1N n n n n n a n ∈≥⎪⎩
⎪
⎨⎧---==……………………9分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知21n n S b n =
+1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
，……………………10分 ∴1111111
112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，……………………12分 ∴11122121
n n
T n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭． ……………………13分
21．解：〔Ⅰ〕设圆心C (a ，b )，那么A ，C 中点坐标为21,2
2a b ++⎛⎫
⎪⎝⎭，……………………1分 ∵圆心C 与点A 〔2,1〕关于直线4x ＋2y －5＝0对称，
∴()2
1425022121
2
a
b b a ++
⎧⨯+⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，……………………3分
∴圆心C (0，0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离r ，
……………………4分
∴求圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝2．……………………5分
设Q (x ，y )，那么x 2＋y 2
＝2，
∴PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2
＋x ＋y －4＝x ＋y －2， ……………………6分 作直线l ：x ＋y ＝0，向下平移此直线，当与圆C 相切时x ＋y 取得最小值，这时切点坐标为〔－1,－1〕， 所以PQ ·MQ 的最小值为－4．……………………8分
〔Ⅱ〕由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，
PB ：y －1＝－k (x －1)，由22
1(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0． 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得22211A k k x k --=+，同理，22
21
1B k k x k
+-=+， 那么()()11B A B A AB B A B A k x k x y y k x x x x -----=
=--()21A B OP B A
k k x x k x x -+===-．
所以，直线AB 和OP 一定平行．……………………14分。