2个体的风险态度
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• 对现实现象的解释2：实行处罚制度，预防不法行为
社会治安应该以预防为主，而实行处罚制度是预防不法 行为的有效途径，可为社会节约大量的管理成本。那么，处 罚金定为多少才合适呢？一般来说，人们越是厌恶风险，处 罚金也就越低。
设Law为某一法律规定。假定经济人违反Law时，自己可
得到价值 m元的非法收入。
这一特性意味着风险爱好者的效用函数是一个凸函数: u[E(W)]≤E[u(W)]
一、风险态度
问题： “风险偏好就是愿冒大险而获得较小的收益”。这一
说法正确吗？
一、风险态度
3、风险中性（risk neutral） 如果一个经济行为主体认为是否接受这样的公平博彩， 没有什么区别，我们把他称为风险中性者，对于一个风险 中性者来说， 我们可以有：
对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由 于不知名而让消费者感到购买它具有较高的风险，因而风 险金（风险溢价）较高。这说明购买非名牌产品之行为的 确定性等价的价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等 价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较高的价格。 这就是所谓的名牌效应。
二、风险厌恶的度量
（二）公平博彩 （fair game)
公平博彩: 不改变个体当前期望收益的赌局，如一
个博彩的随机收益为 ，其期望收益为 E() 0 ，我们
就称其为公平博彩。 注：既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大
于零，即其收益不会是确定值零。
或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当 和入局费相等的博彩。
例如：给定风险水平，预期利润是500元。决策者认 为该利润与无风险时的300元是无差异的。300元的无风险 利润就是有风险的500元预期利润的确定性等价
二、风险厌恶的度量
定义：如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益
为，则我们有：E [u(w g) ]u(w )u(C)E
这里，g 为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），
一、风险态度
假定一个公平博彩有两种可能的结果，以p的概率 获得正的收益z1，或者以（1－p）的概率获得负的收益 z2。由于是一个公平的博彩，所以：
p1z(1p)z20
因此所谓公平赌博：
某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人
应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变
得公平。
或公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有
社会需要定出一个处罚金标准 M，并要确定出违法者被 抓获的概率 p，使得按照这个处罚标准 M和这个抓获违法者 的可能性 p，就可阻止不法行为的发生。
二、风险厌恶的度量
w为初始禀赋 ， 被称之为马科维兹风险溢价（Markowitz
risk premium）。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越
高。w为确定性等价收益。
即确定性等价为决策者对于一项博彩行为的支付意愿， 实际上就是风险中性者对一项博彩行为的期望值。
二、风险厌恶的度量
• 对于风险厌恶者，CE<E(g) • 对于风险爱好者，CE>E(g) • 对于风险中性者， CE=E(g)
二、风险厌恶的度量
保险公司在投资者支付保费时赔付金额的期望值为： ah=0.05*80000=4000元
所以保险公司的预期利润为： 5900-4000=1900元
——实际上还是求确定性等价CE的问题
二、风险厌恶的度量
• 对现实现象的解释1：名牌效应
名牌产品：质量好意味着消费者购买该产品后预期收 益大，性能稳定和售后服务好又意味着消费者购买该产品 后面临的风险小，因而保险费较低。
一、风险态度
这一特性意味着风险厌恶的经济行为主体的效用函数是 一个凹函数：u[E(W)]≥E[u(W)]
定义：对于函数u(·)，如果x, y 和 a[0,1] ，
u ( a ( 1 x a ) y ) a ( x ) u ( 1 a ) u ( y )
则我们称u(·)为凹的。
定理 效用函数的凹性对应着个体风险厌恶；效用函 数的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。
U(x) B
C
tu (x1)(1t)u(x2)
A
x1
tx1(1t)x2x 2
风险厌恶者的效用函数
u(tx 1(1t)x2)
x
一、风险态度
2、风险偏好（risk preference） 如果一个经济行为主体愿意接受这样的公平博彩，我们 把他称为风险爱好者，对于一个风险爱好者来说，我们有：
u ( w 0 ) p ( w 0 u z 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
即：
u ( p ( w 0 z 1 ) ( 1 p ) w 0 ( z 2 ) p ) ( w 0 z u 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
为196元。
风险溢价为：
p ix i C 0 . 2 E * 9 0 0 . 8 * 1 0 1 0 6 9 0 ( 元 4 6
二、风险厌恶的度量
注：1、u（CE）=u（196）=0.2u(900)+0.8u(100)， 说明什么？
对该投资者而言，下面两个偏好无差异或效用相等， 即两个选择等价：
u ( w 0 ) p ( w 0 u z 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 ) 即： u ( p ( w 0 z 1 ) ( 1 p ) w 0 ( z 2 ) p ) ( w 0 z u 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
如果三个点是：u(10)= 1； u(4)= 0.4；u（-2）=0.2 那么该投资者又是怎样的风险态度？
二、风险厌恶的度量
（一）Markowtz风险溢价 1、风险溢价（risk premium） 定义： 风险溢价是一个经济行为主体因承受风险而
获得的收益补偿。或让一个经济行为主体避免承担风险而 愿意放弃的投资收益。
风险溢价是正的； 风险溢价是负的； 风险溢价等于零。
二、风险厌恶的度量
对于一个概率分布F的不确定性收益的确定性等价 CE 可以通过下式求得：
U ( C ) E p iu (x i） u 或 (x )d(x F )
期望效用
风险溢价则可以表示为：
p ix i C 或 E x( d x ) F CE
一、风险态度
就是比较u（1/2（a1+a3））和u（a1）/2+u（a3）/2的大小： a2 =4 =（a1+a3）/2 =（10-2）/2 = 4 u（ （a1+a3）/2 ）= u（a2）=u（4）=0.6 u（a1）/2+u（a3）/2 = 1/2 +0/2 =0.5 所以：u（1/2（a1+a3））> u（a1）/2+u（a3）/2 可以判断：预期效用函数u（x)是凹函数，该投资者是风险 厌恶的。
解：
lnC ( E )1lnw (h)1lnw (h)
2
2
1
1
ln[w(h)(wh)]2 lnw (2h2)2 w
1
CE(w2 h2)2 w
1 (w h ) 1 (w h ) C w E (w 2 h 2 )1 2 0
2
2
因此该投资者是风险厌恶的，将放弃这个投资
二、风险厌恶的度量
练习题2：考虑一个投资者购买保险的问题。假定他 的效用函数为u(w)=w0.5。其初始禀赋为w0=90000元，一 旦发生火灾其损失为h=80000元，发生火灾的概率为 a=5%。求投资者愿意支付的保险价格R，以及保险公司 支付赔付时能获得的期望利润。
解：投资者有两个选择： 确定性：90000-R 不确定性：95%*90000+5%*10000 u(w0-R)=95%*900000.5+5%*100000.5 (90000-R)0.5=95%*900000.5+5%*100000.5 R=5900元
确定选择： 100%获得196元； 不确定选择：20%获得900元 + 80%获得100元
2、如果计算得出的CE恰好等于260，那么投资者是 哪种风险态度？
如果 CE pixi 260
因此该投资者是风险中性 u ( C ) U E ( p ix i)p iu ( x i)
二、风险厌恶的度量
第2章 个体的风险态度
杜晓蓉 金融工程系
一、风险态度
（一）问题的提出 经济行为主体对待风险的态度存在着差异。一些人爱
好风险，一些人觉得风险无所谓，一些人则是风险厌恶者。
例如:有一个掷硬币的赌局，正面朝上可以赢2000元， 反面朝上1分钱也没有。现在入局费为多少，才能使这场 赌博为一场公平的赌博？
一、风险态度
彩，我们把他称为风险厌恶者，对于一个风险厌恶者 来说，我们有：
u ( w 0 ) p ( w 0 u z 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
即： u ( p ( w 0 z 1 ) ( 1 p ) w 0 ( z 2 ) p ) ( w 0 z u 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
风险溢价=风险证券的预期收益率-无风险证券的收益率 =博彩行为的预期价值-确定性等价收益
二、风险厌恶的度量
2、确定性等价（certainty equivalent） 如果找到一个确定性情况下的利润水平，该利润与有 风险情况下的预期效应没有差异。决策者可以用这个确定 性的利润替代风险情况下的预期利润，以此来对决策效果 进行判断，并根据决策标准选择最优的决策。
一、风险态度
思考：效用函数为凹的经济含义？ u(·)：消费的直接效用 u´(·)：消费的边际效用
偏好的单调性要求u´(·)>0 u´´(·)：消费边际效用的边际效用(风险态度）
偏好的凸性要求u´´(·)≤0
一、风险态度
个体风险厌恶：个体不愿意接受或至多无差异于任何 公平的赌博。
个体严格风险厌恶：个体不乐意接受任何公平的赌博
为（1u－(wp0）) 。的如概果率他获参得加w博0 彩z，2 。则这他样有他p的的期概望率效获用得值w0为：z1，
p(w u 0 z 1 ) ( 1 p ) u (w 0 z 2 ) 比较投资者对二者之间的态度，可以判断投资者的风 险态度
一、风险态度
1、风险厌恶(risk aversion) 如果一个经济行为主体不愿意接受这样的公平博
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的资金量相等。
一、风险态度
思考：有这样一个赌局：抛一次硬币，正面朝上你能 得到200元，否则你什么都得不到。如果参加的本金分别 为100，50，0，判断是否为公平博彩？
一、风险态度
确定性等价
（三）风险态度的描述
对于一个具有效用函数u(x)，初始财富为w 0 的经济行
为主体，如果他不参加博彩行为，那么他的消费效用值
预期收益
二、风险厌恶的度量
例子：某彩票有赢或输两种可能性，赢则获得900元， 概率为0.2；输则获得100元，概率为0.8。消费者的效用函
数形式为：u w 。问消费者愿意花多少钱去购买？风
险溢价为多少？ 解：u（CE）=0.2u(900)+0.8u(100) 即： C E 0 .290 0 .0 810 104 确定性等价为： CE=196元, 因此他对该彩票的最高出价
3、确定性等价和风险溢价由什么决定？
p ix i C ; u ( C E ) E p i u ( x i)
u(x) x,u(x)0,凹函数
两者都由投资者的效用函数决定
0 ，风险厌恶； 0 ，风险中性；
0 ，风险偏好。
二、风险厌恶的度量
练习题1：假定某投资者效用函数为u（w)=ln(w)。他想购 买一只股票，预计净赚h元和亏h元的可能性各占50%，投资 者的初始禀赋为w。求该项投资的CE，判断是否投资 。
这类决策者的效用函数是直线：u(E(W))=E(u(W)) 。
三种风险态度的效用函数图示：
U 风险厌恶
风险中性
风险爱好 X
一、风险态度
练习题： 如果某投资者期望效用函数u（x)是连续单调函数， 曲线上有三个点： a1=10元，a2=4元，a3=-2。对应纵坐标为： u(a1)= u(10)= 1 u(a2)= u(4)= 0.6 u(a3)= u(-2)= 0 请问该投资者是怎样的风险态度？
社会治安应该以预防为主，而实行处罚制度是预防不法 行为的有效途径，可为社会节约大量的管理成本。那么，处 罚金定为多少才合适呢？一般来说，人们越是厌恶风险，处 罚金也就越低。
设Law为某一法律规定。假定经济人违反Law时，自己可
得到价值 m元的非法收入。
这一特性意味着风险爱好者的效用函数是一个凸函数: u[E(W)]≤E[u(W)]
一、风险态度
问题： “风险偏好就是愿冒大险而获得较小的收益”。这一
说法正确吗？
一、风险态度
3、风险中性（risk neutral） 如果一个经济行为主体认为是否接受这样的公平博彩， 没有什么区别，我们把他称为风险中性者，对于一个风险 中性者来说， 我们可以有：
对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由 于不知名而让消费者感到购买它具有较高的风险，因而风 险金（风险溢价）较高。这说明购买非名牌产品之行为的 确定性等价的价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等 价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较高的价格。 这就是所谓的名牌效应。
二、风险厌恶的度量
（二）公平博彩 （fair game)
公平博彩: 不改变个体当前期望收益的赌局，如一
个博彩的随机收益为 ，其期望收益为 E() 0 ，我们
就称其为公平博彩。 注：既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大
于零，即其收益不会是确定值零。
或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当 和入局费相等的博彩。
例如：给定风险水平，预期利润是500元。决策者认 为该利润与无风险时的300元是无差异的。300元的无风险 利润就是有风险的500元预期利润的确定性等价
二、风险厌恶的度量
定义：如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益
为，则我们有：E [u(w g) ]u(w )u(C)E
这里，g 为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），
一、风险态度
假定一个公平博彩有两种可能的结果，以p的概率 获得正的收益z1，或者以（1－p）的概率获得负的收益 z2。由于是一个公平的博彩，所以：
p1z(1p)z20
因此所谓公平赌博：
某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人
应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变
得公平。
或公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有
社会需要定出一个处罚金标准 M，并要确定出违法者被 抓获的概率 p，使得按照这个处罚标准 M和这个抓获违法者 的可能性 p，就可阻止不法行为的发生。
二、风险厌恶的度量
w为初始禀赋 ， 被称之为马科维兹风险溢价（Markowitz
risk premium）。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越
高。w为确定性等价收益。
即确定性等价为决策者对于一项博彩行为的支付意愿， 实际上就是风险中性者对一项博彩行为的期望值。
二、风险厌恶的度量
• 对于风险厌恶者，CE<E(g) • 对于风险爱好者，CE>E(g) • 对于风险中性者， CE=E(g)
二、风险厌恶的度量
保险公司在投资者支付保费时赔付金额的期望值为： ah=0.05*80000=4000元
所以保险公司的预期利润为： 5900-4000=1900元
——实际上还是求确定性等价CE的问题
二、风险厌恶的度量
• 对现实现象的解释1：名牌效应
名牌产品：质量好意味着消费者购买该产品后预期收 益大，性能稳定和售后服务好又意味着消费者购买该产品 后面临的风险小，因而保险费较低。
一、风险态度
这一特性意味着风险厌恶的经济行为主体的效用函数是 一个凹函数：u[E(W)]≥E[u(W)]
定义：对于函数u(·)，如果x, y 和 a[0,1] ，
u ( a ( 1 x a ) y ) a ( x ) u ( 1 a ) u ( y )
则我们称u(·)为凹的。
定理 效用函数的凹性对应着个体风险厌恶；效用函 数的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。
U(x) B
C
tu (x1)(1t)u(x2)
A
x1
tx1(1t)x2x 2
风险厌恶者的效用函数
u(tx 1(1t)x2)
x
一、风险态度
2、风险偏好（risk preference） 如果一个经济行为主体愿意接受这样的公平博彩，我们 把他称为风险爱好者，对于一个风险爱好者来说，我们有：
u ( w 0 ) p ( w 0 u z 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
即：
u ( p ( w 0 z 1 ) ( 1 p ) w 0 ( z 2 ) p ) ( w 0 z u 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
为196元。
风险溢价为：
p ix i C 0 . 2 E * 9 0 0 . 8 * 1 0 1 0 6 9 0 ( 元 4 6
二、风险厌恶的度量
注：1、u（CE）=u（196）=0.2u(900)+0.8u(100)， 说明什么？
对该投资者而言，下面两个偏好无差异或效用相等， 即两个选择等价：
u ( w 0 ) p ( w 0 u z 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 ) 即： u ( p ( w 0 z 1 ) ( 1 p ) w 0 ( z 2 ) p ) ( w 0 z u 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
如果三个点是：u(10)= 1； u(4)= 0.4；u（-2）=0.2 那么该投资者又是怎样的风险态度？
二、风险厌恶的度量
（一）Markowtz风险溢价 1、风险溢价（risk premium） 定义： 风险溢价是一个经济行为主体因承受风险而
获得的收益补偿。或让一个经济行为主体避免承担风险而 愿意放弃的投资收益。
风险溢价是正的； 风险溢价是负的； 风险溢价等于零。
二、风险厌恶的度量
对于一个概率分布F的不确定性收益的确定性等价 CE 可以通过下式求得：
U ( C ) E p iu (x i） u 或 (x )d(x F )
期望效用
风险溢价则可以表示为：
p ix i C 或 E x( d x ) F CE
一、风险态度
就是比较u（1/2（a1+a3））和u（a1）/2+u（a3）/2的大小： a2 =4 =（a1+a3）/2 =（10-2）/2 = 4 u（ （a1+a3）/2 ）= u（a2）=u（4）=0.6 u（a1）/2+u（a3）/2 = 1/2 +0/2 =0.5 所以：u（1/2（a1+a3））> u（a1）/2+u（a3）/2 可以判断：预期效用函数u（x)是凹函数，该投资者是风险 厌恶的。
解：
lnC ( E )1lnw (h)1lnw (h)
2
2
1
1
ln[w(h)(wh)]2 lnw (2h2)2 w
1
CE(w2 h2)2 w
1 (w h ) 1 (w h ) C w E (w 2 h 2 )1 2 0
2
2
因此该投资者是风险厌恶的，将放弃这个投资
二、风险厌恶的度量
练习题2：考虑一个投资者购买保险的问题。假定他 的效用函数为u(w)=w0.5。其初始禀赋为w0=90000元，一 旦发生火灾其损失为h=80000元，发生火灾的概率为 a=5%。求投资者愿意支付的保险价格R，以及保险公司 支付赔付时能获得的期望利润。
解：投资者有两个选择： 确定性：90000-R 不确定性：95%*90000+5%*10000 u(w0-R)=95%*900000.5+5%*100000.5 (90000-R)0.5=95%*900000.5+5%*100000.5 R=5900元
确定选择： 100%获得196元； 不确定选择：20%获得900元 + 80%获得100元
2、如果计算得出的CE恰好等于260，那么投资者是 哪种风险态度？
如果 CE pixi 260
因此该投资者是风险中性 u ( C ) U E ( p ix i)p iu ( x i)
二、风险厌恶的度量
第2章 个体的风险态度
杜晓蓉 金融工程系
一、风险态度
（一）问题的提出 经济行为主体对待风险的态度存在着差异。一些人爱
好风险，一些人觉得风险无所谓，一些人则是风险厌恶者。
例如:有一个掷硬币的赌局，正面朝上可以赢2000元， 反面朝上1分钱也没有。现在入局费为多少，才能使这场 赌博为一场公平的赌博？
一、风险态度
彩，我们把他称为风险厌恶者，对于一个风险厌恶者 来说，我们有：
u ( w 0 ) p ( w 0 u z 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
即： u ( p ( w 0 z 1 ) ( 1 p ) w 0 ( z 2 ) p ) ( w 0 z u 1 ) ( 1 p ) u ( w 0 z 2 )
风险溢价=风险证券的预期收益率-无风险证券的收益率 =博彩行为的预期价值-确定性等价收益
二、风险厌恶的度量
2、确定性等价（certainty equivalent） 如果找到一个确定性情况下的利润水平，该利润与有 风险情况下的预期效应没有差异。决策者可以用这个确定 性的利润替代风险情况下的预期利润，以此来对决策效果 进行判断，并根据决策标准选择最优的决策。
一、风险态度
思考：效用函数为凹的经济含义？ u(·)：消费的直接效用 u´(·)：消费的边际效用
偏好的单调性要求u´(·)>0 u´´(·)：消费边际效用的边际效用(风险态度）
偏好的凸性要求u´´(·)≤0
一、风险态度
个体风险厌恶：个体不愿意接受或至多无差异于任何 公平的赌博。
个体严格风险厌恶：个体不乐意接受任何公平的赌博
为（1u－(wp0）) 。的如概果率他获参得加w博0 彩z，2 。则这他样有他p的的期概望率效获用得值w0为：z1，
p(w u 0 z 1 ) ( 1 p ) u (w 0 z 2 ) 比较投资者对二者之间的态度，可以判断投资者的风 险态度
一、风险态度
1、风险厌恶(risk aversion) 如果一个经济行为主体不愿意接受这样的公平博
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的资金量相等。
一、风险态度
思考：有这样一个赌局：抛一次硬币，正面朝上你能 得到200元，否则你什么都得不到。如果参加的本金分别 为100，50，0，判断是否为公平博彩？
一、风险态度
确定性等价
（三）风险态度的描述
对于一个具有效用函数u(x)，初始财富为w 0 的经济行
为主体，如果他不参加博彩行为，那么他的消费效用值
预期收益
二、风险厌恶的度量
例子：某彩票有赢或输两种可能性，赢则获得900元， 概率为0.2；输则获得100元，概率为0.8。消费者的效用函
数形式为：u w 。问消费者愿意花多少钱去购买？风
险溢价为多少？ 解：u（CE）=0.2u(900)+0.8u(100) 即： C E 0 .290 0 .0 810 104 确定性等价为： CE=196元, 因此他对该彩票的最高出价
3、确定性等价和风险溢价由什么决定？
p ix i C ; u ( C E ) E p i u ( x i)
u(x) x,u(x)0,凹函数
两者都由投资者的效用函数决定
0 ，风险厌恶； 0 ，风险中性；
0 ，风险偏好。
二、风险厌恶的度量
练习题1：假定某投资者效用函数为u（w)=ln(w)。他想购 买一只股票，预计净赚h元和亏h元的可能性各占50%，投资 者的初始禀赋为w。求该项投资的CE，判断是否投资 。
这类决策者的效用函数是直线：u(E(W))=E(u(W)) 。
三种风险态度的效用函数图示：
U 风险厌恶
风险中性
风险爱好 X
一、风险态度
练习题： 如果某投资者期望效用函数u（x)是连续单调函数， 曲线上有三个点： a1=10元，a2=4元，a3=-2。对应纵坐标为： u(a1)= u(10)= 1 u(a2)= u(4)= 0.6 u(a3)= u(-2)= 0 请问该投资者是怎样的风险态度？