2016-2017年山西省大同一高二(下)5月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年山西省大同一高二（下）5月月考数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有
且只有一项符合题目要求.
1．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1 2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z＝25，则z＝（）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
3．（5分）由曲线y＝x2，y＝0，x＝1所围成图形的面积为（）
A．B．C．D．
4．（5分）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（）
A．种B．种
C．种D．种
5．（5分）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A．36种B．12种C．18种D．48种
6．（5分）袋中有红、黄、蓝三色球各一个，每次从中任取一个，有放回的取三次，则颜色不全相同的概率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）若f（x）＝﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2＝（）
A．B．C．D．
9．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10B．20C．30D．60
10．（5分）函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0、b＝f（）、c＝f（log28），则（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 11．（5分）函数f（x）＝2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a 的取值范围是（）
A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）12．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）”（n∈N+）时，从“n＝k到n＝k+1”时，左边应增添的式子是（）
A．2k+1B．2（2k+1）C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若则．
14．（5分）某校高三年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排2名，则不同的安排方案种数．（用数字作答）
15．（5分）请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12+a22＝1，那么a1+a2．证明：构造函数f（x）＝（x﹣a1）2+（x﹣a2）2＝2x2﹣2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a1+a2）2﹣8≤0，所以a1+a2．根据上述证明方法，若n个正实数满足a12+a22+…+a n2＝1时，你能得到的结论为．16．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y＝0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．
18．（12分）如果（+）n（x≠0）展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为，（1）求n的值；
（2）求展开式中常数项的值；
（3）求展开式中各项的系数和．
19．（12分）一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球（球的大小均一样）
（1）从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？
（2）取得一个红球记为2分，一个白球记为1分．从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？
20．（12分）我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；
在35微克/立方米﹣75微克/立方米以下的空气质量为二级；75微克/立方米以下的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，但发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，请据此解答以下问题．
（1）求m的值，并分别计算频率分布直方图中[75，95]和[95，115]这两个矩形的高；（2）通过频率分布直方图估计这m天的日均值的中位数（结果保留分数形式）；
（3）从这m天的PM2.5的日均值中随机抽取2天，记X表示抽到PM2.5超标的天数，求随机变量X的分布列．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的极值；
（3）求证：ln（n+1）＞．
2016-2017学年山西省大同一高二（下）5月月考数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有
且只有一项符合题目要求.
1．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1【解答】解：y＝x2+ax+b的导数为y′＝2x+a，
可得在点（0，b）处的切线斜率为a，
由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，
可得a＝1，b＝1，
故选：A．
2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z＝25，则z＝（）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
【解答】解：∵满足（3﹣4i）z＝25，则z＝＝＝3+4i，
故选：D．
3．（5分）由曲线y＝x2，y＝0，x＝1所围成图形的面积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵曲线y＝x2和直线L：x＝2的交点为A（1，1），
∴曲线C：y＝x2、直线L：x＝1与x轴所围成的图形面积为：
S＝x2dx＝x3＝．
故选：B．
4．（5分）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，
如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（）
A．种B．种
C．种D．种
【解答】解：先从除了甲乙之外的8种种子中选出一种，放入1号瓶内，方法有8种，
然后再剩下的9种种子中选出5种放入其余的5个瓶子内，方法有种，
根据分步计数原理求得不同的放法共有8种，
故选：D．
5．（5分）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A．36种B．12种C．18种D．48种
【解答】解：根据题意分2种情况讨论，
①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33＝24；
②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32＝12，
共有选法12+24＝36种，
故选：A．
6．（5分）袋中有红、黄、蓝三色球各一个，每次从中任取一个，有放回的取三次，则颜色不全相同的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：所有的取法共计有33＝27种，而颜色全相同的取法只有3种（都是红球、都是黄球、都是蓝球），
用1减去3只球颜色全相同的概率，即为3只球颜色不全相同的概率，
故3只球颜色不全相同的概率为1﹣＝．
故选：A．
7．（5分）若f（x）＝﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y＝x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）＝﹣1，所以b≤﹣1，
故选：C．
8．（5分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d＝0，0+0+0+d＝0，
8+4b+2c+d＝0，∴d＝0，b＝﹣1，c＝﹣2
∴f′（x）＝3x2+2bx+c＝3x2﹣2x﹣2．由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，
故有x1和x2是f′（x）＝0的根，∴x1+x2＝，
故选：A．
9．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10B．20C．30D．60
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1＝，
令r＝2，则（x2+x）3的通项为＝，
令6﹣k＝5，则k＝1，
∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为＝30．
故选：C．
10．（5分）函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0、b＝f（）、c＝f（log28），则（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【解答】解：∵x∈（﹣∞，1）时，
∴（x﹣1）f'（x）＜0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，
又∵f（x）＝f（2﹣x），
∴f（x）图象关于x＝1对称，
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，
又∵a＝f（0）＝f（2），b＝f（），c＝f（log28）＝f（3），
∴3＞2＞，
∴c＜a＜b．
故选：C．
11．（5分）函数f（x）＝2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a 的取值范围是（）
A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）
【解答】解：∵f′（x）＝2x﹣2﹣a在（1，2）上是增函数，
∴若使函数f（x）＝2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，
则f′（1）f′（2）＜0，
即（﹣a）（3﹣a）＜0，
解得，0＜a＜3，
故选：C．
12．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）”（n∈N+）时，从“n＝k到n＝k+1”时，左边应增添的式子是（）
A．2k+1B．2（2k+1）C．D．
【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，
从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是＝2（2k+1）．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若则﹣．
【解答】解：
两边同时取积分，
∴f（x）dx＝x2dx+[2f（x）dx]dx，
∴f（x）dx＝x3x+[2f（x）dx]，
∴f（x）dx＝+2f（x）dx，
∴f（x）dx＝﹣
故答案为：．
14．（5分）某校高三年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排2名，则不同的安排方案种数90．（用数字作答）
【解答】解：先将4名学生均分成两组方法数为C42，再分配给6个年级中的2个分配方法数为A62，
∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为C42•A62＝90
故答案为：90．
15．（5分）请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12+a22＝1，那么a1+a2．证明：构造函数f（x）＝（x﹣a1）2+（x﹣a2）2＝2x2﹣2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a1+a2）2﹣8≤0，所以a1+a2．根据上述证明方法，若n个正实数满足a12+a22+…+a n2＝1时，你能得到的结论为a1+a2+…+a n≤
．
【解答】解：构造函数f（x）＝（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣a n）2＝nx2﹣2（a1+a2+…
+a n）x+1，
由对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，得a1+a2+…+a n≤
故答案为：a1+a2+…+a n≤
16．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m＝﹣3e．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
．
当f′（x）＝0时，，此时x＝﹣m，如果m≥0，则无解．
所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（1）＝﹣m＝4，m＝﹣4，矛盾舍去；
当m＜0时，
若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（﹣m）＝ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；
①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝﹣m
＝4，所以m＝﹣4（矛盾）；
②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝1﹣＝4．所
以m＝﹣3e．
③当1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）＝ln（﹣m）
+1＝4．此时m＝﹣e3＜﹣e（矛盾）．
综上m＝﹣3e．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y＝0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b＝4①式…（1分）f'（x）＝3ax2+2bx，则f'（1）＝3a+2b…（3分）
由条件②式…（5分）
由①②式解得a＝1，b＝3
（2）f（x）＝x3+3x2，f'（x）＝3x2+6x，
令f'（x）＝3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）
∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）
∴m≥0或m+1≤﹣2
∴m≥0或m≤﹣3
18．（12分）如果（+）n（x≠0）展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为，（1）求n的值；
（2）求展开式中常数项的值；
（3）求展开式中各项的系数和．
【解答】解：（1）第三项系数为，第五项系数为，
由第五项与第三项系数之比为，得，解得n＝10．
（2）令第r+1项为常数项，则＝（﹣1），令40﹣5r＝0，解得r＝8，
故所求的常数项为．
（3）令x＝1得各项数和为．
19．（12分）一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球（球的大小均一样）
（1）从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？
（2）取得一个红球记为2分，一个白球记为1分．从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？
【解答】解：（1）由题意知本题可以采用分类加法，恰好为同色球包括同为白色的球，同为红色的球．
任取三球恰好为红球的取法为C43＝4种
任取三球恰好为白球的取法为C63＝20种
∴任取三球恰好为同色球的不同的C43+C63＝24种
（2）设五个球中有x个红球，y的白球，从口袋中取出五个球，
使总分不小于7分的不同取法满足
∴或或
∴总分不小于7分的不同取法C42C63+C43C62+C44C61＝120+60+6＝186种．
20．（12分）我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；
在35微克/立方米﹣75微克/立方米以下的空气质量为二级；75微克/立方米以下的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，但发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，请据此解答以下问题．
（1）求m的值，并分别计算频率分布直方图中[75，95]和[95，115]这两个矩形的高；（2）通过频率分布直方图估计这m天的日均值的中位数（结果保留分数形式）；
（3）从这m天的PM2.5的日均值中随机抽取2天，记X表示抽到PM2.5超标的天数，求随机变量X的分布列．
【解答】解：（1）由茎叶图知PM2.5的日均值在[15，35]的只有1天，
结合频率分布直方图得＝0.0025×20，解得m＝20，
由频率分布直方图得矩形[75，95）rymo，
矩形[95，115]的高为．
（2）观察两图可知其中位数在矩形[75，95]中间，
设中位数为x，
则（x﹣75）×0.0225+20×0.01+20×0.005+20×0.0025＝（95﹣x）×0.0225+20×0.01，
解得x＝，故中位数为．
（3）由题意知，这20天中，空气质量为一级的有1天，
空气质量为二级的有6天，超标的有13天，
X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
∴X的分布列为：
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的极值；
（3）求证：ln（n+1）＞．
【解答】（1）解：f′（x）＝+，a＝1时，f′（0）＝1+1＝2．又f（0）＝0．∴函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣0），可得：y＝2x．（2）解：f′（x）＝（x＞﹣1）．
a≥0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）时单调递增，无极值．
a＜0时，f′（x）＝，
由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜﹣1﹣a，可得函数f（x）在（﹣1，﹣1﹣a）上单调递减；由f′（x）＞0，解得﹣1﹣a＜x，可得函数f（x）在（﹣1﹣a，+∞）上单调递增．
∴x＝﹣1﹣a时取得极小值，f（﹣1﹣a）＝ln（﹣a）+1+a．
无极大值．
（3）证明：由（2）可知：a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．x＝0时取得极小值即最小值，
∴ln（x+1）﹣＞ln1+1﹣1＝0，又，
令x＝，可得：ln（n+1）﹣lnn＞＞．
∴ln（n+1）＝[ln（n+1）﹣lnn]+[lnn﹣ln（n﹣1）]+…+（ln2﹣ln1）+ln1＞++…
+．
即ln（n+1）＞．。