2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅰ卷) 数学真题第22题题目及答案
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设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，而 ， ，有来自个不同的零点即 的解的个数为2.
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同 交点，
故 ，
此时 有两个不同的零点 ，
此时 有两个不同的零点 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学真题
第22题题目及答案
22．（12分）
已知函数 和 有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
22.（1）
（2）由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个零点，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无零点，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
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设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，而 ， ，有来自个不同的零点即 的解的个数为2.
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同 交点，
故 ，
此时 有两个不同的零点 ，
此时 有两个不同的零点 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学真题
第22题题目及答案
22．（12分）
已知函数 和 有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
22.（1）
（2）由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个零点，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无零点，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，