最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是
（ ） A ．线段
B ．圆
C ．双曲线
D ．椭圆
2．已知11z ≠-，111i 1
z b z -=+（b ∈R ），214
1(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ）
A ．圆上
B ．抛物线上
C ．双曲线上
D ．椭圆上
3．设2i
2i 1i
z =
++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i - 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3i
B ．3i -
C ．3
D ．-3
5．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ） A ．2- B ．12
-
C ．
12
D ．2
6．若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．化简
31i
i
-++＝（ ） A ．12i -+
B ．12i -
C ．12i +
D ．12i --
8．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则1
22
z z z +=（ ） A ．22i + B ．22i -
C ．2i -+
D ．2i --
9．复数
421i
i
-=+（ ） A ．13i + B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
10．下列命题
①命题“若22am bm >，则a b >”的逆命题是真命题； ②若()4,3a =，()2,1b =-，则b 在a 上的投影是5-
③在16
4
x x 的二项展开式中，有理项共有4项； ④已知一组正数1x ，2x ，3x ，4x 的方差为()2
2222
12341164
s x x x x =
+++-，则数据12x +，22x +，32x +，42x +的平均数为4；
⑤复数
32i
i
+的共轭复数是(),a bi a b R +∈，则6ab =-. 其中真命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．设i 是虚数单位，复数1a i
i
-+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．-1
D ．2
12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1
B ．2
C
D ．3
二、填空题
13．已知i 为虚数单位，则220191i i i +++⋯+=_________________. 14．设复数cos sin z i θθ=+，则z i -的最大值是______. 15．已知复数z
i =，i 为虚数单位，则z =____________
16．已知 ,a b R ∈，i 是虚数单位．若a i -与 2bi +互为共轭复数，则
()
2
a bi +=__________．
17．若复数23z i =+，则
1i
z
+=__________． 18．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．
19．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为______． 20．有以上结论：
①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；
③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则
()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．
三、解答题
21．已知集合{}
11|22,A z z z C =-<∈，111|,,2B z z z i b z A b R ⎧⎫==
+∈∈⎨⎬⎩⎭
. （1）当0b =时，写出集合B 在复平面内所表示的区域； （2）当A
B =∅时，求b 的取值范围.
22．复数z 满足()()12123z z i z i z ⋅+-++=，求z 的最大值．
23．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()
22
45215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；
（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 24．(1)
，求实数a 的值；
(2)若复数z ＝
21i
i
-，求|z ＋3i|. 25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ． 26．
设复数2(1)3(1)
2i i z i ++-=+，若21z az b i ++=+，求实数,a b 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】
复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,F
F 为焦点，长轴长为4的椭圆上． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．
2．B
解析：B 【分析】 先求出2
14+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b
+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】
由题得22111111122211111123(23)3134
1(+1)(+1)(+1)+1+1+1
z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=
-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1
z bi
bi bi bi b z z z -+=-
⋅=--⋅=-. 所以2
14+1
bi
z b z =-
因为111i 1z b z -=+，所以2
1112121i(1),1b bi z b z z b
-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b
+=+，代入2
14+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
3．A
解析：A 【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】
由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i
2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
4．C
解析：C 【分析】
本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】
设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C.
本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.
5．D
解析：D 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】
()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】
本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意
2
1i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及
()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.
6．B
解析：B 【解析】
分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，
因此复数的虚部为
，选B.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如
复数
的实部为、虚部为、模为
、对应点为
、共轭为
7．A
解析：A 【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则有：
()()()()
31324121112i i i i
i i i i -+--+-+===-+++-. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．A
解析：A
分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，
则：()12
22212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：1
22
22z z i z +=+. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．B
解析：B 【解析】
()()()22421424422261311(1)
12i i i i i i i
i i i i i -----+-====-++-- 故选B
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
①、写出原命题的逆命题，并利用特殊值判断①不正确；②、计算出b 在a 上的投影，由此判断②不正确；③利用二项式展开式的通项公式求得有理项，由此判断③错误；④、利用方差的计算公式、平均数的计算公式，判断④正确；⑤化简32i
i
+并求得其共轭复数，由此求得ab ，判断⑤不正确. 【详解】
根据题意，依次分析命题：
①，命题“若22am bm >，则a b >”的逆命题为“若a b >，则22am bm >”，当0m =时，命题不成立，则①不正确； ②b 在a 上的投影是
1a b a
⋅=-，则②
不正确；
③16
的展开式通项为
323164116162r
r r r r r
r T C C x --+=⋅⋅=⋅，当0,4,8r =时，为有理项，则其有理项共3项，则③错误；
④根据题意，由方差的计算公式()
22
2222
1234144
S x x x x x =
+++-，而这组数据的方差为
()22222
12341164
s x x x x =
+++-，则这组数据1x ，2x ，3x ，4x 的平均数为2，即()12341
24
x x x x +++=，则()12348x x x x +++=，那么数据12x +，22x +，32x +，42x +的平均数为
()1234122224x x x x +++++++()12341
844
x x x x =++++=，则④正确； ⑤复数3223i
i i
+=-，则其共轭复数是23i +，则2a =，3b =，有6ab =，则⑤不正确；
有1个命题正确； 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查二项式定理；命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算，属于中档题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据复数的运算得
11
122
a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为11
(
,)22
a a -+-，代入直线的方程，即可求解． 【详解】
由题意，复数
()()()()1(1)(1)11
111222
a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-， 所以复数在复平面内对应的点为11
(,)22
a a -+-， 则
11
1022
a a -+++=，解得1a =-，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】
因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.
二、填空题
13．【分析】化简得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了复数的计算意在考查学生的计算能力
解析：【分析】
2020
22019
1i 1i i i
1i -+++⋯+=
-，化简得到答案. 【详解】
202022019
1i 1i i i
01i
-+++⋯+==-. 故答案为：0. 【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
14．2【分析】根据复数模的公式知再由三角函数的最值求得答案【详解】当时的最大值是2故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的模三角函数最值的求法属于中档题
解析：2 【分析】
根据复数模的公式知z i -=，再由三角函数的最值求得答案．
【详解】
z cos isin θθ=+，
(
)1z i cos sin i θθ∴-=+-==
∴当1sin θ=-时，z i -的最大值是2．
故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查了复数的模，三角函数最值的求法，属于中档题．
15．1-2i 【分析】化简得到计算得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了复数的计算意在考查学生的计算能力
解析：1-2i 【分析】
化简得到2i z i
+==
，计算得到答案. 【详解】
i =
，故212i
z i i
+=
=
=-. 故答案为：12i -.
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
16．【分析】根据共轭复数的定义求出再把展开即得【详解】与互为共轭复数故答案为：【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法属于基础题 解析：34i +
【分析】
根据共轭复数的定义，求出
,a b ，再把()2
a bi +展开即得. 【详解】
a i -与 2bi +互为共轭复数，2,1a
b ∴==,
()()22
224434a bi i i i i ∴+=+=++=+.
故答案为：34i +. 【点睛】
本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.
17．【解析】分析：由题意利用共轭复数的定义和复数的运算法则计算求解即可求得的值详解：由题意可得：点睛：本题主要考查共轭复数的概念复数的四则混合运算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：15
1313
i -
+ 【解析】
分析：由题意利用共轭复数的定义和复数的运算法则计算求解即可求得
1i
z
+的值. 详解：由题意可得：
()()()()123111515232323131313
i i i i
i i z i i i ++++-+====-+--+. 点睛：本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．5【解析】
解析：5 【解析】
5z ==.
19．【解析】因为所以即复数的实部为
解析：1
2
【解析】
因为()1i z i +=,所以112i i z i +=
=+ ,即复数z 的实部为12
20．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相
同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性
解析：③
【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()
a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()
a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.
点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中
,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排
除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.
三、解答题
21．（1）()2
211x y +-<，表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的点；（2）
()
,2222,⎡-∞-++∞⎣
【分析】
（1）设,,z x yi x y R =+∈，当0b =时，求得()12212z y xi -=--，由此能求出集合B 在复平面所表示的区域是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的点； （2）由已知得|()|1z b i -+<，要使A B =∅，则有圆|2|2z -=和|()|1z b i -+=外切或
外离，由此能求出实数b 的取值范围． 【详解】
解：（1）设,,z x yi x y R =+∈， 当0b =时，12z i z =
，即122222z x yi
z y xi i i
+=
==-， ∴()12212z y xi -=--，
∵1|2|2z -<， ()11y xi ∴--<，
∴()2
2
11x y +-<，
∴集合B 在复平面所表示的区域是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的点；
（2）∵1|2|2z -<， ∴1||12
z i
i -<， ∴1|
|12
z i
b b i +--<， |()|1z b i ∴-+<，
要使A B =∅，
则有圆|2|2z -=和|()|1z b i -+=外切或外离，
即|()2|3b i +-≥，
2(2)19b ∴-+≥，即2440b b --≥， 解得222b ≤-或222b ≥+， 综上：b 的取值范围是()
,222222,⎤⎡-∞-++∞⎦
⎣． 【点睛】
本题主要考查复平面中所表示的区域的求法，解题时要认真审题，注意复数性质的合理运用，属于中档题． 22．522+
【分析】
设z a bi =+(),a b ∈R ，则z a bi =-，代入()()12123z z i z i z ⋅+-++=，得()()22
128a b +++=，则z 在复平面内所对应点的轨迹为以()1,2--为圆心，以22为半径的圆，数形结合求z 的最大值.
【详解】
解：设z a bi =+(),a b ∈R ，则z a bi =-，
代入()()12123z z i z i z ⋅+-++=，
得()
()2224223a b a b b a b a i ++++--+=， 即22243a b a b +++=，化为()()22128a b +++=，
∴z 在复平面内所对应点的轨迹为以()1,2--为圆心，以22为半径的圆，
∴22z a b =+，
则z 的最大值为221222522++=+.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是中档题.
23．（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）1z i =-2【分析】
（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程的z ，再根据共轭复数概念
以及模的定义的结果.
【详解】
（Ⅰ）∵z 为纯虚数，
∴225145053
2150m m m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠≠---≠⎩⎩或且，∴1m =-；
（Ⅱ）()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴1z i =-， ∴()21212z i i i i +=-+=+=
. 【点睛】
本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题. 24．(1)2-;(2)5.
【解析】
分析：(1)根据复数乘法，转化为两个复数相等，再根据复数相等得实数a 的值；（2）先化简z ，再求共轭复数，代入化简，最后根据复数的模求结果.
详解：
（1）由题意可知
2+ai=-i(1+i)=-
i-(i)2=2-i.故a=-. （2）因为z=
==i(1+i)=-1+i ， 所以=-1-i ，所以+3i=-1+2i ，故|+3i|=|-1+2i|=.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi
25．242z i =+
【解析】
解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）
设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）
26．34
a b =-⎧⎨=⎩ 【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,然后把z 代入21z az b i ++=+,整理后利用
复数相等的条件可求得,a b 的值.
【详解】
()()
()()21313235512255
i i i i i i z i i i ++-----=====-++， ()()()221121z az b i a i b a b a i i ∴++=-+-+=+-+=+，
121a b a +=⎧∴⎨+=-⎩，解得34
a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题.。