专题求参数取值范围一般方法

专题——求参数取值范围一般方法
观点与用法
恒成立问题是数学中常有问题，也是历年高考的一个热门。

题型特色大多以已知一个 变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。

这样的题型会出现于代数中的不等 式里也会出此刻几何里。

就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。

题型以及解题方法
一，分别参数
在给出的不等式中，假如能经过恒等变形分别出参数，即：若a f x 恒成立，只须 求出 f x ，则
max
a f x ；若 a f x 恒成立， 只须求出
max
f x ，则
min
a f x ，
min
转变为函数求最值。

a
例 1、已知函数 lg 2
f x x
x
，若对随意 x 2, 恒有 f x 0，试确立 a 的
取值范围。

a
解：依据题意得：x 2 1在x 2, 上恒成立，
x
即：
2
3
a x x 在 x 2, 上恒成立，
设
2
3
f x x x ，则
f x x
2 3 9 2 4
当 x 2时，
f x max 2 因此 a 2
例2．已知当x R 时，不等式a+cos2x<5 4sinx+ 5a 4 恒成立，务实数a 的取值范围。

剖析：在不等式中含有两个变量a 及x ，此中x 的范围已知（x R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分别。

解：原不等式即：4sinx+cos2x< 5a 4 a+5
要使上式恒成立，只要5a 4 a+5 大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转变成 求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin 2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,
∴5a 4 a+5>3 即5a 4 >a+2 a
5a 5a 2 4 4 0 0 (a
2) 2
或
a 5a 2 4 0 0
，解得 4
5 上式等价于a<8.
说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1 2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则
可把原不等式转变成对于t 的二次函数种类。

二，变主换元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x当作是主元（未知数），而把另
一个变量a 当作参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

假如把已知取值范围的变量作为 主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例3．对于知足|p| 2 的全部实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

剖析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,重点在于该把哪个字母当作是一个变量，另 一个作为常数。

明显可将p 视作自变量，则上述问题即可转变为在[ 2，2]内对于p 的一次 函数大于0 恒成立的问题。

解：不等式即(x 1)p+x 2 2x+1>0, 设f(p)= (x 1)p+x 2 2x+1,则f(p)在[ 2,2]上恒大于0， 故有： f f (
2) (2)
0 即 x x 2 2 4x 1 0 3 0 解得： x x 3或x 1或x 1
1
∴x< 1 或x>3. 例 4、若不等式 2
2x 1 m x 1 对知足 m 2的全部 m 都成立，求 x 的取值范围。

解：设
2
1 2 1
f m m x x ，对知足 m 2的 m ， f m 0恒成立，
2
2 x 1 2x 1 0
f
2 0
2
f 2 0 2 x 1 2x 1 0
解得：
1 7 1 3
x
2 2
三，利用二次函数根的散布
例5.设f(x)=x 2 2ax+2, 当x [ 1,+ )时，都有f(x) a 恒成立，求a 的取值范围。

剖析：题目中要证明f(x) a 恒成立，若把a 移到等号的左侧，则把原题转变成左侧二 次函数在区间[ 1,+ )时恒大于0 的问题。

解：设F(x)= f(x) a=x 2 2ax+2 a.
ⅰ)当=4（a 1)(a+2)<0 时，即2<a<1 时，对全部x [ 1,+ )，F(x) 0 恒成立；
ⅱ）当=4（a 1)(a+2) 0 时由图可得以下充要条件：
y
0 (a 1)( a 2) 0 f ( 1) 0 即a 3 0
2a 2
1,
得 3 a 2;
a 1,
-1 o
x
综合可得a 的取值范围为[ 3，1]
四，利用会合与几何之间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，便可利用会合与会合之间的包括关 系来求解，即：m,n f a , g a ，则f a m 且g a n ，不等式的解即为实数
a 的取值范围。

例 6、当
1
x 时， log a x 1恒成立，务实数 a 的取值范围。

,3 3
解：1 log 1
Q a x
1 a x a
，则问题转变为
11
,3,
3a
a
a
3
3
11
a
（1）当a1时，a3
（2）当0 a1时，a x
1
a
，则问题转变为
1
1
,3
a,
3
a
a
1
a
1
3
3
0a
1
3
综上所得：0
1 a或a3
3
五，几何中的求参
要确立变量k的范围，可先成立以k为函数的目标函数kf(t)，进而使这类拥有函数背景的范围问题水到渠成。

小练一下
2x
1．已知函数f(x)ax4xx,(0,4]时f(x)0恒成立，务实数a的取值范围。

2.已知不等式(x1)m2x1对x0,3恒成立，务实数m的取值范围。

3.已知不等式(x1)m2x1对m0,3恒成立，务实数x的取值范围。

4.已知不等式2220
x ax对x R恒成立，务实数a的取值范围。

5.已知不等式2220
x ax对x1,2恒成立，务实数a的取值范围。

6.已知不等式2220
x ax对x1,2恒成立，务实数a的取值范围。

2axa
7.对随意a[1,1]，不等式(4)420
x恒成立，求x的取值范围。